考研知识点(下册)

SECTIONSIX微分方程

—、基本概念

1.常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的

方程式称为微分方程，而当未知函数是一元函数

时就称为常微分方程。

2.线性微分方程与非线性微分方程

以未知函数和它的各阶导数作为总体是一次的就

称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程。

3.微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数。

4.微分方程的解代人微分方程使之成为恒等式的函数(通常还

要求解具有和阶数一样的连续导数，如二阶方程

的解应具有连续的二阶导数)。

5.微分方程的通解和特解通解含有数目与微分方程的阶数相

同的独立常数，通解也可以称为一般解；不含任

意常数或任意常数解定后的解称为特解。

6.微分方程的初始条件能确定通解中的任意常数的条件称为

定解条件，初始条件是定解件中最常见的类型，

初始条件的形式与方程的阶数有关，•般说n阶

微分方程的初始条件为：

y汽，山,.二%，…，儿-i，

其中先,必,是任意给定的常数。

二、一阶微分方程

――阶微分方程的一般形式为Z7。,》,y')=0或y'=/(x,y),

其中最基本的类型是变量分离的方程、一阶线性方程和全微分方

程。齐次方程通过变量代换可化为变量可分离的方程，伯努利方

程通过变量代换可化为一阶线性方程。除了齐次方程与伯努利方

程之外，还有一些一阶方程能通过简单的变量代换化为上述基本

类型。现将几种基本类型的解法列表如下:

类型通解的求法

变量可分离的方程分离变量法：

y'=/(x)g(y)两边同除g(y)(wO),把变量分离，并求积分

端邛⑶“x+c

一阶线性方程1.积分因子法

y'+p(x)y=q(x)方程两边同乘积分因子〃=0"""

改写成=

相应的齐次方程

y'+p(x)y=0积分得ye」'""=k(x)e'"""dx+c

2.公式法

非齐次方程的通解为

y=e"""[c+

相应的齐次方程的通解为y=Ce'^pMdx

3.常数变易法

先用分离变量法求相应的齐次方程的通解

c_(P(x)dx

y=CeJ

将C改为c(x),然后令y=c(x)e代人原

非齐次方程得

c'(x)eJ"""'=4(x),积分求出c(x)

全微分方程求原函数法

p(x,y)dx4-若求得u(x,y)使得du=Pdx+Qdy(称“(x,y)为

。(匕y)dy=0

Pdx+Qdy的原函数)，则通解为“(x,y)=C

求原函数的方法有以下三种：

*、#中dQap

并满足*=k1.特殊路径积分法：

oxoy

xy

〃(x,y)=Jp(x,y())dx+J0(x,y)dy

X。>'o

2.不定积分法：

由学■=p(x,y)对X积分得

dx

〃(x,y)=Jp(x,y)dx+C(y)

对y求导得9业1+g)，

dydy

它应等于。(x,y),由此求出C'(y)再积分求出

C(y)

3.凑微分法：P(x,y)dx+Q(x,y)dy-...=du

方程类型通解的求法变量代换可化

为的

基本

方程

令〃=),贝ijy'=〃+xu变

X里

于是原方程可化为可

齐次方程分

XU=f(u)—u

/=/(2)离

X其通解为X的

方

J上匚=隹+。=

程

/(W)-WX

In1x14-C

^u^ax+by+c,则原方程u=ax-Vby

y'=f(ax+by+c)+c

可化为/="+“(”)

即为变量可分离的方程

«1瓦

t普形1H0

a2b2

卓本线性方程组

qx+Ay+G=。

V

++c

y'=f(。/+姐+。2=()

u-x-a

a2x+b2y-^-c

设其解为Q,4)。v=y-P

贝|J令〃=x-a,v-=y-P

则原方,程可化为

dva{u、

duau+%叱

21

属于齐,次方程

a,b,

情形21'=0

a2b2

即”=%=力贝1

«l仇

y+q、

V)+C2>Z=。/+

令Z=。［产+仿丁,方程化

(+C1]

Z=%+4/.

+。2，

属于变量可积分小1方程

伯努利方程一阶

令名=、~，原方程可化为z=y]~a

线性

y+p(x)y=q(x)ya

方程

£+(l-a)p(x)z=

ax

(l-a)g(x)

属于一阶线性方程

dy__1dx

丁=p(y)x+q(y)(以y为自变量与■阶

dxp(y)x+q(y)dy

因变量互线性

自变量，x为因变量的•阶线换方程

性方程)

三、可降阶的高阶方程

类型通解的求法

经n次积分，得：

]n2

y=^....^f(x)dxdx....dx+C}x"~+C2x~+....+C,?

不显含y的二阶

令P=y',原方程化为P的未知函数，y为自变量的

方程

/=f(x,y)一阶方程：p=f(x,p)

不显含X的二阶

令〃=/，原方程可化为以p为未知函数，y为自变

方程

/=/(>'，/)量的一阶方程：p迎=/(y,p)

dy

四、线性微分方程解得性质与结构

这里只限于讨论二阶线性方程,其结论可推广到更高阶的方

程，二阶线性方程的一般形式为

y"+p(x))，+q(x)y=/(x)(6.1)

其中p(x),q(x),f(x)均为连续函数,当右端项/(x)三0时，称为

二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程。

解的性质与结构：

1.若%(x),为")为齐次方程y"+p(x)y'+q(x)y=。(6.2)

的两个特解，则其线性组合GM(X)+C2y2(组仍为(6.2)的解。

特别地，若y,(X)与%(X)线性无关(即H4)(常数)，则(6.2)

>2(X)

的通解为y(x)=C]y1(x)+C2y2(x)

2.设％(x)与乃(x)为非齐次方程(6.1)的两个特解，则其差

%(x)-%(x)为相应齐次方程(6.2)的特解。

3.设y*(x)为非齐次方程(6.1)的一个特解，y(x)为齐次方程

(6.2)的任意特解，则其和y*(x)+y(x)为(6.1)的解。特

别的，若月(x),为(X)为(6.2)的两个线性无关的特解，则(6.1)

的通解为y(x)=y*(x)+G>i(x)+C2y2。)，其中G.g为任意

常数。

4.线性方程(6.1)的通解即所有解。

5.(叠加原理)设弘(x),当(x)分别是方程

，

y"+p(x)y'+q(x)y=£(x)，/+p(x')y+q(x)y=f2(x)的两个特

解，则乂⑴+为⑴为方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)+/2(x)的特

解。

五二阶和某些高阶常系数齐次线性方程欧拉方程

(-)二阶常系数齐次线性方程

二阶常系数齐次线性方程的形式为)，"+py'+qy=O,其中p,q为

常数，其特征方程为k+〃/1+4=0

依据判别式的符号，其通解有三种形式：

(1)A=p2-4^>0,特征方程有两个相异实根4,几2,通解的

形式为

xx

y(x)=Cie^+C2e^；

(2)A=p2—4q=。,特征方程有重根，即％通解为

x

y(x)=(G+C2x)e^；

(3)A=p2-4q<0,特征方程具有共甄复根a±i£,通解为

y(x)=eax(Gcos做+C?sinfix)

(二)〃阶常系数齐次线性方程

(n2)

方程的一般形式为严++p2y-+...+p,y=0

其中pg=l,2,…“）为常数，相应的特征方程为

2

Z+pxX'-'+p2X'-+...+pn=0

特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似.具体结果是：

（1）若4,4,…,儿是〃个相异实根，则方程的通解为

xAx

>,（%）=。产4,+C2e^+...+C,,e"；

（2）若；1=4为特征方程的机24重实根，则方程的通解中

含有：（G+。2工+…

（3）若a±3为特征方程的-2kW"）重共轲复根，则方程的通解

中含有：

e"'［（G+。2工+…+C*/1）cos/3x+（Z）1+D-,x+...+Df,x1'1）sin/3x\

由于我们不能求出一般的三次以上的代数方程的根，也就

是说对于三次以上的特征方程一般不能得到其特征根，自然也就

不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的

只是某些特殊情形

（三）欧拉方程

n{n},

形如xy+aRiyST+...+an_lxy+any=0,（6.5）

的方程称为欧拉（Euler）方程.令x=e',即将自变量由x换成f,

则有虫=在包=e-，虫=，虫，

dxdtdxdtxdt

0=包色（当=e-，4-当=e-*-e"心=士（咤—当，

dx"dxdtdxdxdtdt2dtx~dt~dt

将这些关系代入，则（6.5）就化成了〃阶常系数线性方程.

特别令x=±e,，则f=InIxl,于是二阶欧拉方程

x2y"+pxy'+qy=f（x）

化成二阶线性常系数方程少+（p-1）虫+分=/（士力.

drdt

六、二阶常系数非齐次线性方程

/(X)的形式特解y*(x)的形式

0不是特征根：y*(x)=R“(x),

p“(x)为〃次多项式0是特征方程的单根：y*(x)=xR,(x),

0是特征方程的重根：y\x)=x2R„(x)

/(*)=P"(x)e"a不是特征根：y*(x)=R"(x)e",

，aI

a是特征方程的单根：y(x)=xRn(x)e,

2ax

a是特征方程的重根：y*(x)=xRn(x)e

ax

f(x)=pn(x)esinySra土i夕不是特征根：

或

y*(X)=e叫&(x)cosJ3x+Sn(x)sinpx\,

ax

f(x)=pn(x)ecospx

。土风是特征根：

j*(x)=xe^[Rn(x)cos+Sn(x)sinfix],

七、含变限积分的方程

对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化

为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解。

SECTIONSEVEN向量代数和空间解析几何

一、空间直角坐标系

为了确定空间点的位置，引进空间直角坐标系。这样，点与

三个有序实数所构成的数组就有一一对应的关系，进而曲面可建

立方程，对曲面儿何性质的研究就可转化为对方程解析性质的研

究。

从空间某定点。作三条互相垂直的数轴，他们都以。为原

点，具有相同的长度单位，三条轴分别为x轴(横轴)、y轴(纵

轴)和z轴(竖轴)，三个坐标轴的方向要符合右手定则，这样就

建立了空间直角坐标系。0Z,点。叫坐标原点。

如果曲面S与三元方程=0有如下关系：

(1)曲面S上的每个点的坐标都满足方程

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足此方程

则称这三元方程是曲面S的方程，而曲面S称为此方程的图形。

空间曲线。可以看成两个曲面号：F(x,y,z)=0和

52：尸(羽)")=0的交线，方程组称为空间曲线C

[G(x,y,z)=0

的一般方程。

对于空间曲线C上任意一点的直角坐标(x,y,z),若分别

X=x(f)

表示为参变量，的函数，即y=y(f),则称此方程组是空间曲线C

_z=z(f)

的参数方程。

二、向量的概念

既有大小又有方向的向量称为向量(或矢量)。通常用

a,00,6,第等形式表示向量，在建立空间直角坐标系后，若向量

a=OM,点M的坐标(x,y,z)就称为向量a的坐标，且有向量

a=xi+yj+zk,通常记为｛x,y,z｝。

起点是坐标原点。，终点是P的向量方称为点P的向径，

也常用r/o等形式表示。

向量a的大小(长度)称为向量的模，记作冏，模为1的向

量叫做单位向量，模为零的向量叫做零向量。

方向相同或相反的向量称为共线向量,平行于同一平面的向

量称为共面向量。

向量a与三个坐标向量a,j水的夹角a,夕,7称为向量a的方

向向量，方向角的余弦cosa,cos夕,cosy称为向量标的方向余

弦，如a=xi+yj+zk则cosa=T—：=/

冏J/+y2+)

+y+Z

cos2a4-cos2(3+cos2/=1。且方向余弦cosa,cosAcos/就是单

位向量8的坐标即a0=1^7={cosa,cosyff,cosy}。

囹冏

三、向量的运算

（-）定义与计算公式

设（Xj=Xji+坊j+zjk={xj,yj,.Zj,],j=1,2,3.

1、加法由平行四边形法则或三角形法则给出，用坐标运算则

有.+a2={%]+%2，乃+乃，石+22）-

2、数量相乘7a是一个向量，其模|/la|=风冏，而方向规定

为：若4>0,则几a与a同向，若4<0,则/la与a反向。

用坐标运算为：若。={》,）\z},则4a={双卷，句。

【注】AO=0,0a=0o

3、向量的数量积（点积，内积）是一个数，规定为

ava2=㈤同cos。,。是四，与鬼的夹角，用坐标运算则有

%%=xtx2+y1y2+ztz2，两个向量的夹角是指不超过〃的

那个角。

4、向量的向量积（叉积，外积）6xa2是一个向量，其模

a”％=闻％加46是%,%的夹角，其方向规定为与

四，%都垂直且囚，%,a1xa2符合右手系，用坐标作

iJk

运算为%*。2=占％Z1

々

5、混合积三个向量/，%的混合积(，，%，%)是

a2,

一个数，规定为(四，%)=(①义%＞。3，用坐标做运

a2,

王必z,

算就是(四，。

a2,a3)=x2y2z2

尤31工3Q

(二)、运算法则

1、加法与数乘

a+/3=/3+a(a+/)+/=&+(/+7)

〃〃a)=(4〃)a(A+〃)a=4a+

〃a+/)=4a+羽O+a=a

a+(-a)=0\a=a

2、数量积

(a+=a7+的(4a)4=4(明)

3、向量积

ax°=_°xa(A«)x(3=A(«x(3)

ax('+7)=ax〃+ax/axa=0

4、混合积

(a,B，/)=(/?,/,a)=(4a,价

(a,a,6)=(a,J3,a)=(a,4，尸)=0

(a,p,/)=Sa,7)(Aa,p,7)="a/,/)

a1+a2,/3,y)=(ofj,/3,a)+(a2,p,y)

(三)、几何应用

1、加法与数乘

（1）建立坐标系；建立直线方程；建立平面方程。

（2）过点尸。,方向向量为S的直线的方程是厂-6=抬

（3）过点Po,与（4，4不平行）都平行的平面的方程是

r-r0=ttUt+t2U2

2、数量积

（1）求模冏=",进而可求两点距离；

（2）求两个向量的夹角6,进而可求两条直线、直线与平面、两

个平面之间的夹角；

（3）判定垂直：四_L4o%4=0,进而可证两条直线、两个

平面的垂直关系，以及直线与平面的平行关系；

（4）建立平面方程（点法式）：万.（7-4）=0

3、向量积

（1）求平行四边形（三角形）面积，进而可求点到直线的距离

xS

d=--7—.----------

间

（2）求两个平面交线的方向向量S,从而可把直线的一般方程化

为直线的标准方程。设这两个平面的法向量分别是々和〃2,则交

线L与〃I，〃2都要垂直，故可取S=〃[X〃2。

（3）判断平行：

ajla2<=>«1xa2=0<=>—=—=—（坐标成比例，

/y2Z2

%=（*八力，Zj），j=l，2）

=存在实数4，使得=4a2或%=4al

4、混合积

（1）判断三个向量（或四个点）是否共面，进而可建立平面方程

（2）判断共面:

向量名={马,弘,©},a2={x2,y2,z2},4={*3，％，为}共面

=混合积（«|,%，%）=0

xxx2x3

0%J2%=0

Z

Z]2Z3

=存在不完全为零的数号,心水3，使得曷/+k2a2+k3a3=0

（3）若q=｛X”匕,2）,力=｛豕2黑,22｝不平行，则过点

尸o（Xo，y0,Zo）与■，氏都平行的平面的方程是（晤,〃,力）=0,

x-Xoy-y0z-z0

用坐标表示，则X\YxZ,=0

*2y2z2

（4）求平行六面体的体积（亦可求四面体），进而可求点到平面

的距离及两条异面直线公垂线的长.

（5）设平面n经过点尸“5与凡是平面n上两个不平行的向量,

舄是平面n之外的一点，以I/”。2,而为棱构造平行六面体，

则底面17”凡上的高就是点尸2到平面n的距离d.同时，若直线

4经过点4，方向向量是心，直线心经过点22，方向向量是巩，

那么4,匕是异面直线，d是公垂线的长，且

（朋,兄,巴）

d=—；------；—（7.12）

小力|

（6）可建立异面直线公垂线的一般方程

1（^P,t71,£71xtZ2）=O,

[（亏,l/2，U|XU2）=0

四、平面方程、直线方程

（-）平面方程

1、平面方程的基本形式

（1）点法式A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-Zo）=0>

（2）一般式Ax+By+Cz+D=O（A,B,C不全为零）

(3)向量式r-r0=t}U}+t2U2,其中？=0M,r=OP,P是

平面II上任意一点；

x=X/]+X2t2+x0

（4）参数式<y=Y/]+Y2f2+先

z=Z11+Z2t2+z（）

2、确定平面方程的两个基本思路

（1）如已知平面n上一点“（/,打，10）以及平面n的法向量

〃={A,B,C},则平面n被完全确定，它的方程是

/l（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O

（2）如已知平面n上一点〃（丸,》0,4））以及平面n平行的两个

不贡献的向量q={x,y”zj,U2={X2,Y2,Z2},则平面n被完

全确定。

（-）直线方程

1.直线方程的基本形式

4]%+修7+C]Z+R=0,

（1）一般式（交面式）

A2X+B2y+C2z+£>2=0,

其中（A，g,G）与（4，%。2）不平行;

x=x0+tl,

（2）参数式y=y0+tm,

z=z0+tn;

（3）对称式（标准式）-也==-1

Imn

2.确定直线方程的两个基本思路

（1）两个不平行的平面相交于一条直线

（2）已知直线L上一点M（x0,yn,z0）以及直线L的方向向量

S=（/,〃?,〃）可确定直线

五、平面直线之间的相互关系与距离公式

（一）两个平面间的关系

设n[：A]X+B]y+Gz+D|=0,fl2：&》+Jy+CzZ+O2=°，贝汁

A=旦=_G_工R

(1)口2宗

B2C2D2

(2)FI]_LFLo%.Ln20AA++Gg=°；

（3）几与n?的夹角e（法向量间夹角，指不大于90°的）

cos0=卜+4层+℃|______

同国JA：+B：+C：E+&2+C；

（二）两条直线间的关系

。一月二

设4:2出Z-Z]三"=01==1,则

11mx"i/2m2n2

(1)LJ/L,oSJ/S,即上="=五且(XQ”Z1)不满足L,

l2tn2n2

的方程；

(2)L,±L2<=>S,±S2即/|，2+加〃2+〃l〃2=°；

(3)4与人间的夹角，(方向向量间夹角，指不大于90°的)

cos0==厂卬2+叱^+〃同

22

+〃?j+“j+m2+n2

(三)直线与平面的关系

设L:士&=匕&=匚且,口：—+为+。2+。=0,贝1」

Imn

(1)乙〃n=S_L〃,Al4-Bm4-CH=0,HAx04-By0+Cz0+£>^0

ARC

(2)LJ_n=S〃〃，一=—=—；

Imn

(3)L与nD的夹角6=/-(S与〃的夹角)：

\AlBm+Cn\

sin0=/1—1.

dA2+B?+C?J产+〃?2+/

（四）平面束方程

通过直线“丁+%'+）+，］2的平面束方程是

gx++C2z+。2=0

+8|y+Gz+。］）+4（42%+斗丁+。2［+。2）=0,其中Z4是

不同时为零的任意常数。

（五）关于距离的坐标计算公式

（1）两点尸］（项,月,芍）,鸟*2，力，22）间的距离

222

d=g=7（x2-X］）+（y2-^!）+（z2-z,）.

（2）点与“0，先为）到直线L：三也且的距离是

Imn

ijk

x「XoyfZ|-Zo

/J（X|yo，Z|-Zo）x（/,"2,〃）|_I〃z〃

|U，九,〃）|yll2+m2+n2

（3）点心（%,光心）到平面0：4+的+0+。=0的距离为：

|Ax0+By,,+Cz0+p\

^A2+B2+C2

六、常用二次曲面的方程及其图形

（一）球面

设玲（Xo，yo，z（））是球心，R是半径，P（x,y,z）是球面上任意

一点，则|耳目=凡即（》一彳0）2+3-凡）2+仁一名（））2=废.

（二）旋转曲面

设L是xOz平面上一条曲线，其方程是［/*，z）=0，，心绕名

y=0.

轴旋转得到旋转曲面，设P（x,y,z）是旋转面上任一点，由点

玲(Xo，y()，Zo)旋转而来(点M(O,O,Z)是圆心)。

22

由闻=|何外卜|MP|=yjx+y,za=z得旋转面方程是

f(+y/x2+y2,z)=0;

或由参数方程x=/(f),y=g(f),z=〃0)«€(。,万)),，得旋转面的

X=⑺+g2«)cose

参数方程，y=J/2(f)+g2(f)sin6a<t</3,G<6<27r

Z=h(t)

(三)柱面

r是一条空间曲线，直线L沿「平行移动所产生的曲面叫柱面,

「称为柱面的准线，工叫柱面的母线。

1、准线方程是「:严?)=。

z=0

母线平行于z轴时，柱面方程是/(x,y)=0

/M4

母线的方向向量J=(/,机,〃)时，柱面方程/(x—z,y—z)=0

nn

x=f(t)

2、准线方程是「:，y=g«)tc(a,0)

Z=h(t)

母线的方向向量是8=(/,〃?,〃)，柱面方程是

-x=/(f)+/w

<y=g(t)+mu(a<t<£,-8<f<+8)

z=h(t)+nu

(四)二次曲面

曲面方程方程曲面名称方程

椭球面旋转抛物面

/+9+/-1

椭圆抛物面双曲抛物面

单叶双曲面双叶双曲面

二次锥面椭圆柱而

双曲柱面抛物柱面

七、空间曲线在坐标平面上的投影

设「是一条空间曲线，n是一张平面，对于「上任意一点尸，

令n（p）是点P在平面n上的投影点,所有投影点的集合称为r在

平面n上的投影曲线。而垂线所构成的曲面是以「为准线的柱面,

称为「到n的投影柱面。

1、O消去％得到例x,y）=。这是以「为准线，母

g（x,y,z）=O

线平行于Z轴的柱面方程。而是「在xoy平面的投影

2=0

曲线方程。

x=f(t)x=/Q）

2、rJy=g(f)则y=g«）是「在my平面的投影曲线方

z=h(t)z=0

程。

SECTIONEIGHT多元函数微分学

一、多元函数的概念、极限与连续性

（一）多元函数概念

1、二元函数的定义

（定义8.1）设。是平面上的一个点集，如果对每个点

P（x,y）eD,按照某一对应规则/,变量Z都有一个确定的值与之

对应，则称z是变量的二（或z=/（P））.。称为该函数的

定义域，数集｛zlz=/(x,y),(x,y)e£>｝称为该函数的值域。

2、二元函数的几何意义

空间点集｛(x,y,z)z=/(x,y),(x,y)e£)｝为二元函数

z=/(x,y)的图形,通常它是一张曲面。曲面z=/(x,y)与平面z=C

的交线在Oxy平面上的投影曲线：/(x,y=C)称为z=的等

高线。

3、一元函数与多元函数的联系与区别

(1)一元函数是二元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自

变量固定，或让(x,y)沿某曲线变动，

(2)一元函数中，自变量x代表直线上的点，只有两个变动方向，

而二元函数中，自变量(x,y)代表平面上的点，它有无数个变动方

向。

(3)一元函数y=/(x)(a<x<b),也可以看成二元函数，其定义

域是:a<x</?,-»<><y<+°°.

(-)二元函数的极限

1、二元函数极限定义

(定义&2)设函数/(X,)，)在开区或闭区域D有定义，M)(x0,y。)

是D的内点或边界点。lim/(x,y)=A或lim/(x,y)=A

人一而(x,y)T(S，)b)

即Ve>0J正数6当(x,y)e。，0<『+(y_y°)2<3

时,有|/(x,y)-A|<£

注意：这里的极限过程是点(x,y)在D内趋于点(%,%),它可以

按任何方式沿任意曲线趋于(%,凡)。

极限与无穷小的关系：

,Jim/(x,y)=AQ/(x,y)=A+a(x,y)((x,y)T(Xo，yJ),

其中a(x,y)=o(l)是无穷小((x,y)->Go，%)),即

limyr(x,y)=0

(x,yj(xo,九)

2、二元函数与一元函数有相同的极限原算法则与极限性质

求二元函数的极限常用方法：直接用极限运算法则，或通过

适当放大缩小法，变量替换法转化为求简单的极限或一元函数的

极限。

3、二元函数z=/(x,y)极限的不存在问题

证明lim/(x,y)不存在的方法：当(x,y)沿不同路径趋于

XT"。

(%0，>0)时/(x,y)趋于不同的值或(X,y)沿某路径趋于人,凡)时

f(x,y)趋于8,则lim/(x,y)不存在。

y-»y0

(三)二元函数的连续性

1、二元函数连续性定义

(定义8.3)设z=/(x,y)定义在区域D上,po&,io)』。是D

内一点或边界点。若lim/(x,y)=/(x(),yo),则称/(x,y)在

点々连续，若/(x,y)在D每一点上连续，则称/(x,y)在D连续。

2、判断二元函数连续性与一元函数有相同的方法

二元初等函数在其定义域上连续

3、二元连续函数的性质

与一元函数类似，二元连续函数z=/(x,y)也有相应的性质：

定理&1(保号性)设1=/(元》)在加0(%,〉0)连续，/(xo,yo)>O,

22

则0,当(x,y)et/(A/0,^)={(x,y)|(x-x0)+(y-y0)<〃}且

(x,y)e。时,/(x,y)>0

定理8.2(最大值最小值定理)设z=/(x,y)在有界闭区域D

上连续，则它在D上一定有最大值和最小值，即三%,加26。，使

得对VMeD,有/(%)《/(〃)</(M)

其中,为f(x,y)在D上的最大值,/(加2)为/(3,)，)在。上

的最小值。

定理8.3(中间值定理)设z=/(x,y)在区域D上连续，

VM”也e。,/(限)<4</(%)，在D中至少存在一点Mo，使

得/M)=〃

二、多元函数的偏导数与全微分

(一)偏导数概念

1、偏导数的定义

定义8.4设有二元函数z=/(x,y),若存在，〃乂外1『

或，"与’刈产先称它为1=/(元〉)在(%0，%)处对X3的偏导

数，记为中;中或第…||,,,,Z；(…)

或都%，"),条屋),Z；(%0.%)

按定义有

司(%，%)=Um/(/+—,％)/(x。,%),

dx-Ax

冽

/，>0_/(x0,y0+Ay)_/(x0,y0)

~-11III

dyAy—oAy

2、偏导数的几何意义

叫广。)即曲面z=/(x,y)与平面y=打的交线在点

OX

加。(%,%,/(飞,%))处的切线斜对》轴的斜率；仆命即曲

dy

面与平面的交线在点处

z=/(x,y)x=x()M0(x0,y0,/(x0,y0))

的切线对轴的斜率。

3、偏导数的计算

（1）求偏导数，归结为求一元函数的导数。

（2）求=［乎［尸飞在（…）处的偏导

1/（x,y）=（Xo，M））

数的方法：

方法1按定义：

寸（0'%）_I：一/（X+Ax,y）_g（Xo+Ar,%）_A

—nriioo—nm；

dx加TOAr-Ar

类似地求辿㈤

dy

方法2在连续的条件下求偏导数的极限

当x=U。（X。⑶时，y）在/（x,y。）存在偏导数吗⑷，

OX

/（x,y0）对x在x=x（）连续；若Hm♦（：.'o）=§,则

X一厢dx

"（玉"。）=8,对吗㈤有类似讨论。

oxdy

（二）、可微性、全微分及其几何意义

1、可微性于全微分的定义

定义&5若函数z=/（x,y）在点Moko，%）处的全增量

Az=/（x+Ax,y+Ay）-/（x0,y0）可表为Az=AAx++°（/?）

（/?->0）其中A,B不依赖于Ar,Ay,仅与有关，p=7Ar2+Ay2,则

称函数Z=/（x,y）在点%（x。,%）可微，AAx+6Ay称为

z=/（x,y）在点M）Ho，>o）的全微分,记作以1弧,v。）W|（而，打）等。

当1=/（x,y）在点M）（x,凡）可微时

中（Xo，y0）Ar+中（3，%）△好句小O'%）dx+可（为,%）dy

dxdydxdy

其中规定自变量x与y的微分dx=Ax,dy=Ay

2、全微分的几何意义

Z=f（x,＞,）在点（x（）,打）的全微分在儿何上表示全面

z=f（x,y）在点（%,%,/（小,%））处切平面上点的竖坐标的增量。

（三）偏导数的连续性-函数可微性-可偏导性与

函数连续性之间的关系

若Z="X,），）在（4，券）存在可（篇。）与吗:。），称

/（x,y）在（小,%）可偏导。

偏导数的连续性-函数可微性-可偏导性与函数连续性之间的关

系如下：

定理&4察，学在〃。（二，光）连续nz=/（x，y）在“（）（,,先）

oxdy

可微，/（/+Ax,%+△）＞）-/（%,%）=AAr+B\y+o[p}

（p-»0）/?=J"+4/

偏导数连续

u

连续u可微二＞可偏导

（四）高阶偏导数、混合偏导数与求导次序无关问题

设函数z=f（x,y）在区域。内有偏导数：

生==八，它们在。内均是x,y的函数。如果这两函数的偏

dxdy

导数也存在，则称它们是z=/(x,y)的二阶偏导数。

按对变量求导次序的不同，有下列4个二阶偏导数:

‘次、

=/\(x,y),

dxdydx

其中票与M称为混合偏导数。

oxoyoyox

类似可定义三阶，四阶以及〃阶偏导数。对不同变量求导的高阶

偏导数称为混合偏导数。

定理&5若函数z=/(x,y)的两个二阶混合偏导数票，

oxdy

点在点(%,y。)均连续，则它们相等，即去=存

oyoxdxoy办dx

对于其他高阶混合偏导数，也有类似【定理8.5】的结论

(五)多元函数为常数的条件

1设/(x,y)在区域。上满足4=02=OW(x,y)e。则在区域。

dxdy

为常数。

2设z=/(x,y)定义在全平面上。

若y=0,贝I」〃x,y)=0(y)；若"=0则/(x,y)=〃(x)；其中

axay

0(y),〃(x)均为任意的一元函数。

三、多元函数微分法则

(-)全微分四则运算法则

u="(x,y),v=v(x,y)在(x,y)可微，d(u±v^=du+dv

d(MV)=vdu+udv;d(cu)=cd”,c为常数；

"D=-”dv)(nW0)。

(-)多元复合函数的微分法则

由于多元复合函数的情形是多种的，所以复合函数求导法则

的形式也多种多样。

1、多元函数与一元函数的复合

定理8.6设x=x(f),y=y(f),z=z(。在f可导，“=/(x,y,z)在

对应点(x,y,z)=(x(f),y(f),z«))可微，则复合函数

“=小”刈,z(f))Q可导，且生篝+冬冬+翳，

v,dtdxdtdydtdzdt

这里也把也称为全导数。

dt

2、多元函数与多元函数的复合

定理8.7设“=0(%,)，),丫=〃(羽》)在点(%,〉)有对的偏导

数，%=/(〃,=在对应点(w,v)=(0(x,y),〃(x,y))可微,则

Z=/(夕(羽)),—(匕)))在点(》,〉，)有对工产的偏导数，且

Hz_吊加+吊加dz_dfdu^dfdv

dxdudxdvdx'dydudy3vdy

设1==0(x,y),v=〃(x,y)都有连续偏导数，则

z=〃0(x,y),〃(x,y))在点(x,y)出的全微分仍可表为

么=%八+学点.(一阶全微分形式的不变性)

duOV

类似地，z=="(x,y),u=v(x,y),w=w(x,y),

则它们的复合函数Z=/(〃亿田^仁丁)卬仁丁力在点(x,y)的偏

导数为区=久西+理如+直1如次=/加।5、a、苟川

dxdudxdvdxdwdx'dydudydvdydwdy

设z=/（〃,％卬），为了方便，我们常用/I表示“〃,匕卬）

对第一个变量M的偏导数，类似地

产_曲厂_环产_a2