新教材高中数学第7章三角函数2.2同角三角函数关系课件苏教版必修第一册

1.能通过三角函数的概念推导出同角三角函数的基本关系.2.掌握同角三角函数的基本关系式.3.能运用三角函数的基本关系式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式

证明.7.2.2

同角三角函数关系1|同角三角函数的基本关系式平方关系式①

sin2α+cos2α=1

该关系式可实现正弦、余弦之间的相互转化商数关系式②tanα=

,α≠

+kπ,k∈Z该关系式可实现切、弦之间的相互转化1.sin2α+cos2α=1的变形公式:(1)sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;(2)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(3)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(4)(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(5)sinαcosα=

=

.2.tanα=

的变形公式:(1)sinα=cosαtanα;(2)cosα=

.2|同角三角函数基本关系式的变形1.tan90°=

.

(

✕)提示:易知y=tanα的定义域为

α

α≠90°+k·180°,k∈Z

,所以α不能为90°.2.

=±cos160°.

(

✕)提示:因为cos160°<0,所以

=-cos160°.3.若α,β均为锐角,则sin2α+cos2β=1.

(

✕)提示:若α=

,β=

,则sin2α+cos2β=

≠1.4.对任意角α,sin23α+cos23α=1成立.

(√)5.若cosα=0,则sinα=1.

(

✕)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|齐次式的求值问题1.已知tanα=m,求形如

的式子的值,其方法是将分子、分母同时除以cosα(或cos2α)转化为关于tanα的代数式,再求值.如果先求出sinα和cosα的值再代入,那么运算量会很大,问题就会变得烦琐.2.形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代换,再将分子、分母同时除以cos2α求解.已知tanα=-4,求下列各式的值.(1)sin2α;(2)cos2α-sin2α;(3)3sinαcosα;(4)

.思路点拨(1)(2)(3)先利用“1”的代换,再将分子、分母同除以cos2α进行求解;(4)分子、分母同除以cosα,得到关于tanα的式子再求解.解析

(1)sin2α=

=

=

=

.(2)cos2α-sin2α=

=

=

=-

.(3)3sinαcosα=

=

=

=-

.(4)

=

=

=

.2|利用同角三角函数关系进行化简或证明1.三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把正切函数化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的三角函数式,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.2.利用同角三角函数关系证明三角恒等式的方法(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个数或式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;(4)变更命题法,如要证明

=

,可证ad=bc或证

=

等;(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“

=1(右边≠0)”.3.含条件的三角恒等式的证明含条件的三角恒等式的证明方法与前面三角恒等式的证明方法相同,但应注意条件的利用,常用的方法如下:(1)直推法,从条件直接推得结论;(2)代入法,将条件代入结论中,转化为三角恒等式的证明;(3)换元法.求证:

=

.证明

证法一:因为等式右边分母为cosα,所以可将等式左边分子、分母同乘cosα.左边=

=

=

=

=右边.故原等式成立.证法二:因为等式左边分母是1-sinα,所以可将等式右边分子、分母同乘(1-sinα).右边=

=

=

=

=左边.故原等式成立.证法三:证明等式左、右两边都与某个中间结果相等.左边=

,右边=

=

=

,左边=右边.故原等式成立.证法四:只需证明左边-右边=0即可.因为

-

=

=

=

=0,所以

=

.证法五:为了消去等式左、右两边的差异,在等式左边的分子上凑出1+sinα.左边=

=

=

=

=右边.故原等式成立.证法六:证明内项积等于外项积.因为(1-sinα)(1+sinα)=1-sin2α=cos2α,1-sinα≠0,cosα≠0,所