专题32 积分与微积分基本定理

第三章导数专题2积分与微积分基本定理(理科)【三年高考】TOC\o"1-5"\h\z【2015高考湖南，理11】J2(x-1)dx= .0【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .3.【2015高考天津，理11】曲线y二x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .【2017考试大纲】定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题，定积分属于理科内容，从近几年的高考试题来看，定积分重点考查定积分的应用,利用定积分求值，求面积，题型为选择题或填空题.【2018年高考复习建议与高考命题预测】定积分可以看作是导数在某一区间上的逆运算.它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，在高考中主要考查定积分的计算和定积分的几何意义，多为容易题，一般每年出一道题有时和二项式结合出题，因此在2017年复习备考中，只须掌握积分的概念，积分的运算，会用积分求面积,体积即可.由于在2016,2017年的高考试题中积分没出题，预测2018年高考可能对定积分考查，可能是利用定积分求值，或与几何概型结合出题，利用定积分来求封闭图形的面积.【2018年高考考点定位】高考对定积分的考查主要有定积分的计算和定积分的几何意义作为新增内容，它是大学微积分的基础，很受出题人的青睐，故在复习时应引起重视.

考点一、求已知函数的定积分【备考知识梳理】1、定积分的概念如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点a二x<x<•••<x<xv…vx二b将区间ta,b］等分TOC\o"1-5"\h\z0 1 i-1 i n成n个小区间，在每个小区间［x,x］上任取一点匕(i=1,2,—，n)，作和式i-1i i%G)心=Zb-af(g)，当nT+a时，上述和式无限接近某个水常数，这个常数叫做函数在区ii=1n ii=1TOC\o"1-5"\h\z间上的定积分，记作fbf(x^Zx,即fbf(x)dx=lim工f(g)n ia a nT8i=12、微积分基本定理如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F(x)=f(x)，那么Jbf(x)dx二F(b)—F(a)，这个结论a叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼兹公式.3、定积分的基本性质卜kf3、定积分的基本性质卜kf(x)dx=kfbf(x加，其中k为常数\o"CurrentDocument"a afb[f(x)±g(x力dx=fbf(x》x±fbg(x》xa a afbf(x)dx=fcf(x)ix+fbf(x)ix，其中a<c<ba a c(1)(2)(3)【规律方法技巧】1.求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x) F(x) F，(x)=f(x)求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.2•计算简单定积分的步骤把被积函数变为幕函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；⑶分别用求导公式找到F(x),使得F(x)=fx)；利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值.3.求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数,为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证【考点针对训练】

1.【2017湖南娄底二模】若1.【2017湖南娄底二模】若fCx2+sinx)dx=18,2.【2017江西4月质检】计算考点二、求分段函数的定积分【备考知识梳理】1、分段函数的定积分(1)分段函数在区间【a,b］上的定积分可分成几段定积分的和的形式.(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细.2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间［-a,a］上连续，则faf(x》x=2faf(x)dx—a 0若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间［—a,a］上连续，则faf(x)dx=0—a【规律方法技巧】分段函数在区间［a,b］上的定积分可分成几段定积分的和的形式.分段的标准只需依据已知函数的分段标准【考点针对训练】x【考点针对训练】x31.求函数f(x)=r'x2x—14(0<x<1)(1<x<4)在区间［0,5］上的定积分.2.【2017届黑龙江省哈尔滨市高三(4<x<5)模］已知f(x)=｛厂云xe(-1］1］，则ff(x)dx= x2—1,xG(1,2」—1考点三、定积分的几何意义【备考知识梳理】1、当函数f(x)在区间［a,b」上恒为正时，定积分fbf(x)dx的几何意义是直线x=a,x=b,y=0和曲1、a线y=f(x)围成的曲边梯形的面积;曲线y=f(x)和直线x=a,x=曲线y=f(x)和直线x=a,x=b之间的曲边梯形的面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上定积分值，X轴下方的面积等于该区间上定积分的相反数.【规律方法技巧】1•利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.2.定积分的应用及技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求定积分.（2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和.（3）对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分.（4）应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数.求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值.［易错提示］在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数.用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式.3•定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别【考点针对训练】1•【四川省成都市2017届高中毕业班第三次诊断检测】已知错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。是曲线错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。轴围成的封闭区域•若向区域错误！未找到引用源。内随机投入一点错误！未找到引用源。则点错误！未找到引用源。落入区域错误！未找到引用源。的概率为（）A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。2.【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟】如图所示，正弦曲线y二sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x二0，x二兀所围成的阴影部分的面积为（）

A.1B.J2 C.2D.2叮2【应试技巧点拨】利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.求曲边图形面积的方法与步骤画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.定积分Jbf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x二a,x二b之间的曲边梯形面积的a1.【2017河北五邑三模】二项式ax-代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在1.【2017河北五邑三模】二项式ax-(a>0)的展开式的第二项的系数为-寻，则Jx2dx的值为-22.，则二项式f2.，则二项式fx-上y的展开式I2x2丿中的常数项为()15215A.-B.-C.-D.-1824【辽宁省锦州市2017届高三质量检测(二)】设a=fcosxdx，则I2x--\展开式中常数项为 I x丿0(用数字作答).【福建省泉州市2017届高三(5月)】已知曲线C:y二x2+2x在点(0,0)处的切线为l，则由C,/以及直线x二1围成的区域的面积等于 •5.【湖北省襄阳第四中学2017届高三5月】已知函数y二2cosx(0<x<2兀)的图象和直线y二2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是

6.【江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是()A.B.1CA.B.1C・一2D.7.ab【山西省临汾第一中学7.ab【山西省临汾第一中学2017届高三全真模拟】定义』=ad-becd2二1x4—2x3二—2，那432323A.6B.3C.2D°&【河北省石家庄市2017届高三冲刺模考】在抛物线y二X2与直线y二2围成的封闭图形内任取一点A，O为坐标原点，则直线OA被该封闭图形解得的线段长小于的概率是()c至.c至.16D.149.【江西省赣州市2017届高三第二次模拟】如图所示，由直线x二a,x=a+l(a>0)，y二x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即a2<Tx2dx<(a+1)2.类比之，若对VneN,+a—kk k-”kk不等式+ +•••+—<—kk k-”kk不等式+ +•••+—<In4< + +•••+n+1n+2 2n nn+1k2n—1恒成立,则实数k等于 10.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟】已知a=f（2x+1）dx， （neN*）n0前n项和为S，数列｛b｝的通项公式为b=10.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟】已知a=f（2x+1）dx， （neN*）n0前n项和为S，数列｛b｝的通项公式为b=n—8，则bS的最小值为.n n n nn11.【2016届山西省榆林市高三二模】设m=J1J1—x2dx,若将函数f（x）=sin（®x+申）的图像向左平—1移m个单位后所得图像与原图像重合，则®的值不可能为（）A.4B.6C.8D.12【答案】B12.【2016届山东省师大附中高三最后一模】设函数f（x）=ax2+b（a主0），"o>0，则x0等于（）3C.2D.3x2,xe【0,1],13.【2016届吉林省毓文中学高三模拟】设f（x）=<1—,xe、x仃,e]（其中e为自然对数的底数），则f（x）dx0的值为（）43A.5B.—46C.—57D.-614.15.0 4【2016届山西省忻州一中等四校高三下第四次联考】已知函数f（x）二-x3+ax2+bx（a,beR）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为;，则a的JL厶【一年原创真预测】1.J3sin4xdx的值为（）0B.C.D.2.【2017年第二次全国大联考（山东卷）】n a已知a=212sinxdx，则二项式（x+ ）6展开式中的常数项o yx是 a3•定积分r（2x+ex）dx二ea，则（x+）6展开式中的常数项为（）o xA.1 B.-1 C.20 D.-204.若(1+x)(