第二章 2.5 第2课时

第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．知识点一等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．知识点二等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(√)2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(√)3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(√)4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．(×)5．对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(√)题型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式．解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))反思感悟已知Sn，通过an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通项an,应特别注意n≥2时,an＝Sn－Sn－1.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．跟踪训练1若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝.答案－eq\f(1,3)解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).题型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)，S2n＝eq\f(a1,1－q)(1－q2n)，S3n＝eq\f(a1,1－q)(1－q3n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．方法二根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Seq\o\al(2,n)＋[Sn(1＋qn)]2＝Seq\o\al(2,n)(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝Seq\o\al(2,n)(2＋2qn＋q2n)．∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝48，,\f(a11－q2n,1－q)＝60，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,,②))②÷①得1＋qn＝eq\f(5,4)，即qn＝eq\f(1,4).③将③代入①得eq\f(a1,1－q)＝64，所以S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝64×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,43)))＝63.命题角度2不连续n项之和问题例3一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．解设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又a1·a1q·a1q2＝64，∴aeq\o\al(3,1)·q3＝64，得a1＝12.故所求通项公式为an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*.反思感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．跟踪训练3设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝.答案126解析设数列{bn}的公比为q，则q＝2，∵∴是首项为b2，公比为2的等比数列．∴＝eq\f(b21－26,1－2)＝126.等比数列前n项和的分类表示典例已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N*.求{an}的前n项和Sn.解由an≠0，所以eq\f(an＋2,an)＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝eq\f(33n－1,2)，从而S2n－1＝S2n－a2n＝eq\f(33n－1,2)－2×3n－1＝eq\f(3,2)(5×3n－2－1)．综上所述，[素养评析]数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于()A．31B．33C．35D．37答案B解析设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，则x的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析方法一∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)＝eq\f(x,3)·3n－eq\f(1,6)，由Sn＝A(qn－1)，得eq\f(x,3)＝eq\f(1,6)，∴x＝eq\f(1,2).方法二当n＝1时，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．无法确定答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于()A．24B．12C．18D．22答案B解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．8B．6C．4D．2答案C解析S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．2．等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)(q≠1)．设A＝eq\f(a1,q－1)，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，eq\f(a1,1－q)当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理.一、选择题1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A．2B.eq\f(1,2)C．4D.eq\f(1,4)答案C解析∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝eq\f(a4,a3)＝4.2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于()A．1B．0C．1或0D．－1答案A解析∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又{Sn}是等差数列，∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝eq\f(an,an－1)＝1(n≥2且n∈N*)．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8)D.eq\f(55,8)答案A解析因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq\f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝eq\f(1,8).4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则eq\f(S8,S4)的值为()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(17,16)D．17答案C解析eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).∴eq\f(S8,S4)＝eq\f(S4＋S8－S4,S4)＝1＋eq\f(S8－S4,S4)＝1＋q4＝eq\f(17,16).5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于()A．90B．70C．40D．30答案C解析由S30＝13S10，知q≠1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130，))由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)，故选C.6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足eq\f(S2m,Sm)＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f(5m＋1,m－1)，则数列{an}的公比为()A．－2B．2C．－3D．3答案B解析设公比为q，若q＝1，则eq\f(S2m,Sm)＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵eq\f(S2m,Sm)＝eq\f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴eq\f(a2m,am)＝eq\f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1,m－1)，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.7．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85eq\f(1,4)，所有偶数项之和为170eq\f(1,2)，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为()A．580B．585C．590D．595答案B解析设等比数列{an}的公比为q，则由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(S偶,S奇)＝q＝2，,S奇＝\f(a1[1－q25],1－q2)＝85\f(1,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·eq\f(1－q12,1－q3)＝585.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，则eq\f(S9,S6)等于()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(8,3)D．3答案B解析由题意知q≠1，否则eq\f(S6,S3)＝eq\f(6a1,3a1)＝2≠3.∴eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝1＋q3＝3，∴q3＝2.∴eq\f(S9,S6)＝eq\f(\f(a11－q9,1－q),\f(a11－q6,1－q))＝eq\f(1－q9,1－q6)＝eq\f(1－23,1－22)＝eq\f(7,3).二、填空题9．若等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝.答案210解析由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，若对任意n∈N*，有an＋1＝eq\f(1,3)Sn，则Sn＝.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1解析由an＋1＝eq\f(1,3)Sn，得Sn＋1－Sn＝eq\f(1,3)Sn，即Sn＋1＝eq\f(4,3)Sn，则数列{Sn}是以S1＝1为首项，公比q为eq\f(4,3)的等比数列，所以Sn＝S1·qn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1.11．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且eq\f(S4,S2)＝5，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为．答案eq\f(11,16)解析eq\f(S4,S2)＝eq\f(S2＋q2S2,S2)＝1＋q2＝5，q＝±2.∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的首项为1，公比为－eq\f(1,2)，前5项和为eq\f(1·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(1＋\f(1,32),\f(3,2))＝eq\f(11,16).三、解答题12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解(1)设等差数列{an}公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒q·q3＝9，所以q2＝3，所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝eq\f(1·1－3n,1－3)＝eq\f(3n－1,2).13．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1)设数列{an}的公比为q，由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.∴q＝2，即an＝2