考研高数习题集(上)

上册目录(1)

第一讲：极限与连续......................2

单元一：未定型极限(1).........................................................................................................................2

单元二：未定型极限(2).........................................................................................................................3

单元三：未定型极限(3).........................................................................................................................4

单元四：未定型极限(4)(含，/(f)力)................................................6

单元五：特殊求极限法.............................................................7

单元六：无穷小比较...............................................................9

单元七：函数连续性..............................................................10

单元八：渐近线讨论..............................................................12

单元九：介值定理................................................................13

第二讲：导数及应用.......................14

单元一：定义求导................................................................14

单元二：公式与法则..............................................................16

单元三：特殊求导法..............................................................18

单元四：斜率与切线.............................................................20

单元五：单调性与极值...........................................................20

单元六：单调性应用.............................................................23

单元七：二阶导应用.............................................................26

单元八：中值定理...............................................................28

单元九：泰勒公式................................................................30

第三讲：一元积分学.....................32

单元一：原函数与不定积分........................................................32

单元二：定积分性质..............................................................35

单元三：定积分计算..............................................................36

单元四：定积分几何应用..........................................................39

单元五：定积分物理应用..........................................................41

第四讲：微分方程.......................43

单元一：一阶方程................................................................43

单元二：可降阶方程..............................................................44

单元三：高阶线性方程............................................................45

单元四：应用方程................................................................46

第一讲：极限与连续

单元一：未定型极限(1)

1.若lim/(x)=4,贝I：[D]

A->2

00

A:/(2)=4；B:/(2)K4；O:XWU(2)时/(X)<4；O:xwU(2)时,3</(x)<5

xx%sinxsinx

2.(l)lim[cos—cos-----cos-][hm-----------=-------]

，―8242"f02"sin±x

2"

xx<0

(2)lim['%,x=0]

“TOO1+*

1x>0

..2G

3.(1)lim+Vx-yjx-y/x);r

Xf+oOxRx+G+dx—a-

⑵limx(Jx2+10+x)=一5]

XT-00♦4+10-x

(3)lim(-Vx3+x2-y/x5+x4)[limx(J1+--5/1+—)=limx(------—+0(—))=—J

f°XT8VXVX3%5%X15

4,设/(x)是多项式，且lim，㈤「I=2,lim^=3,求/(x).

XT8x〜x->0x

"(x)=2x3+2x2+3x]

5.limlJax'+Z?x+c-(京+d)]=0,(a>0),求3d与a,b,c的关系.

XT+00

「ax2+bx^-c-(kx-^d)2/—,h

[lim.----------=0,.\k=yja,d=—4]

…Nax、bx+c+kx+d2&

limx[2],其中：(i)%f3；(2)x—>co；(3)x-2

6.

XT.X

[(l)lim4-]=0；⑵/(—8)=+8j(+8)=0；⑶/(2—)=2J(2+)=0]

x—3x

7.1面=!竺^=2,求：4,从(x-2)(x+4)

[=lim.・.Q=2/=_8]

KT2X-X-2XT2(x—2)(x+1)

2

e*+117T

8.f(x)=—.----arctan—,求：lim/。)"(0-)=/(0+)=(

-,X“TO

ex-1

单元二：未定型极限(2)

1.求极限:(10°)

(2)lim(1+4/

(l)lim(sinx)tunA.UJ(OJ

XT-OO

x->—x

2

2x

⑶哂(2-X》吟[姮]⑷lim(3屋-上e尸"

32+工

i2

「zsinxA

⑸hm()•'[”]⑹lim(lnx)x-e面]

DX

1I/屋一xln〃、-V-(ln2a-ln2/?)

(7)lim(cosx+xsinx)了(8)hm(---------Y[e2]

iobx-x\nb

i

cot—lim。

⑼lim(l+ef)”=e°=l]

Xf+oO

(1+X)'-1-ln(l+x)-lln(l4-x)-X1

(10)hm[-------]x[hm-[ex-1]=hm----------=——

JC->Oex->oxx->o/2

i

2.K,L,/l〉O,求：limU/T'+(1—/1)厂与工

XTO

.—\XKx—A+(l—Z)Z-v—(1—>l)]—(—AAID^—(1—>i).vlnL\

[lime*=ex=K勺力

x->0

3.求极限(对比)

3,In3+4、In4

3A'+4\12+4')-皿2

/=/]

(i)hm(y[=limex=lime3*+4、

XTO2XTOA->0

3rIn3+4XIn4

3X+4X-ln(3'+4')-ln2

(2)lim[=limex=lim(e33=4]

Xf+co2Xf+00x->+oo

4.求极限

xx

(l)lim(cos—+Asin—)〃;

〃T0°nn

12-

(2)lim(72tan—)n[e3]

n-><x)H

ln(I+x)2«

(3)lim(l+〃)而[lime&=lime1+x=1]

w->ooXT"KOXT+8

i：-cSinxlncotx八0i】

(4)lim(cot)sinxrflime=e=1]

.r->+0

单元三：未定型极限⑶

5x-4..5x—4

1.lim[hm------=5]

Xf8.1is

x2sin—x

x

2.求极限：看）

「1

3sinx+x2cos—3sinx+x2cos—q

(l)lim----------------[lim---------------=—]

2。(l+cosx)ln(l+x)a。2x2

xx-lx_]xlnx_]

(2)lvim-----[lim-----=lim-------=I]

ix\nxtx\nxixlnx

.Inx-x-lI

(3)limlnx«cot(x2-1)r1==-J

XTl2

XTlX-IATIX"-I2

71

---X

(4)limtan2xtan(---x)[lim』——

二4cos2x4

4

Incos(x-l)Incost-cosr-14

(5)lim[lim-------------=lim----------=-----]

.r—>li71、D[乃TC~

l-sin—x1-siriy(Z1l+r)l-cos—t

2

22

(6)1.marctan(x-2x)「arctan(x-2x)「2t「2，2

[lim--------------=lim------------=lim-------=——

x—2sin37rxx-2sin3乃x，一。sin3;r«+2)sin3jvt3兀

ln(l+x+)+ln(l—x+x~)ln(l+x25=1]

(7)lim--------------------------[hm

XTOsecx-cosxI。X

(I——y/x)1(x-l)21

(8)lim[lim--------=—1

x->l(17)276(1--xy6

Vl+xsinx-Vcosx..1+xsinx-cosx1

(9)lim[hm-、

.r->0XXT。2x2

3.求极限（洛必达法则）：

tanx-sinx-3v-ln3v-l

(l)lim------:——13J(2)hm-----------[In231

x->0

x-sinxAT。1-COSX

arctanx-x1「x-sin(sinx)l

(3)lim(4)hm------'-----r

.r->0ln(l+?)310X可

Ji+x+Jl—x—2r1,

(5)limX2[4](6)lime一/00[0]

x->0x-»0

ax-xa(l+x)*-e

(7)lima>0)[afl(lna-l)](8)lim

x—>ax-aXTOx

八「Insin5x八八i-Inx

(9)lim--------[1](10)lim--------7

1。'Insin2x10+ln(sinx)

ax-bxIna-lnb[1(In2a-In2/?)]

(ll)lim(2)

x->0XX

.1r/2+COSX、、.xi/2+cos八..-sinx、1

(12)lim—[(---)r-l][rilim—ln()=lim---------)=--

10元331。x31。2x(2+cosx)6

4.求极限（对比）

「11Xxex-ex+1_1

(l)hm—In[lim(--------)=limx(ex-l)~2]

XTOx

XXe—1xx->°

「1,靖一1/Lxex-ex^\

(2)lim—In-----[,吧(7)一？=随r卡犷=口n

Xf田XX

5.lim[(x+2)ln(x+2)-2(x+1)ln(x+1)+nInx]

XT+OO

[lim[(x+2)ln(l+—)+xln(l一——)]=1—1=0]

IEX4-1X+1

6.求极限（泰勒公式）

Vl+X2-1--

1

(l)lim—；----------J[——]

D(e'-cosx)sinx12

上14

cosx-e29+—x

7

(2)lim-------------此一[---]

7x6360

(3)lim[x-x2ln(l+-)]

XT9X

41ca2

(4)lim[——(――)ln(l+ax)][—]

xx2

ln(14-x)-(ar+/?x2)

7.已知：lim2,求：a,b

x->0x2

x-~+O(x2)—dx—bx2

[lim2,a=1,b=--]

x22

单元四：未定型极限(4)(含/⑺力)

1.求极限：

『(1+」)人/力力1]

(1)lim-----------[=lim

XT+oo%xf+00xex

⑵1遍为竽2

〃T8〃J-4，

「荷小

r].Jtan(sinx)cosx

⑶lim[hm:~—=1]

panx厂---

x->0+])vsintdtL^/sin(tanx)sec-x

2.设/(x)=f(14-—)fsindt.(x>0),求lim/5)sin」.

Jr2tyjt〃f8fl

[=lim^^=2&]

X-尤

3.7(x)在[0,+8)上连续，lim/(x)=AwO,证明：limff(nx)dx=A.

A—>+oon—>ooJD

[fW⑺力

[=lim^------=lim------=lim/(x)=Aj

"TOO〃XT+00XX->+<»

2

4.设尸⑴二广二工/⑺力淇中/(x)为连续函数(。/0),则呵/(x)=IB\

(A)/；(B)a2/(a)；(C)O;(。)不存在

r5-忑)于。)出

5./(x)连续,/(0)=l,求lim2~；----------.

x->0+/ln(l+x)

22222

ff(t)dt+2xf(x)-2xf(x)2Af(x)1

[lim-------------；-------------=lim八)二-

*fo+3x7+6x3

6./(x)连续，证明:!吧：£"(f+/o—/(f)]力=/(x)—/(a)

)广丫+力f(i+h

眠网，⑴力J

单元五：特殊求极限法

1.求：limx

“T8n

(l)x„=如+3"+5”+…+2009”[2009<x„<2009^1005]

⑵4=[-]-;

anaanan

c11/21

(3)%=-----------+•••+(-1)------[0<xn<-]

nn+1〃+〃n

2"4

(4)x“=1[0<x<-]

n\nn

rr

(5)Xf1=----(JF+V2+…+yfii)

n!

i

⑹%=(〃!)〃？

[l<xn<^]

八x：(a+1)”,”、

2.设limx〃=a>0,求：lim—lO<^-<-_-~(n>N)]

«-><»〃->8孔!n\n\

3.｛a,J非负不增，之可发散，证明：lim?+4+-+阳=]

„=i-°4+/+••,+%

I]<%+%+-.+%川<v<%+%+,,,+%"=]]

a+a+，,+a

«1+<?+•­,+

\i-2n-\3a2n_t"a]+a3+---+a2n_t

4.(4)泪为单调递增正数列，证明：lima'+4'+…+"下=lim4.

〃一>00n-»oo

[a,,<xn<^nan]

5./(x),g(x)€C[4,b],且/(x)〉o,g(x)非负，求：limf'g(x)M/(x)dx

rt->00Ja

[N<f(x)<M,fg(x)dx<x„<佩fg(x)dx]

6.设非负连续函数/(x)在[0,+8)上单调递减，能=£/(k)—f/(x)dx(〃=l,2,31・),

k=\

证明数列｛4｝的极限存在=/(〃)一「J(x)dxw0,42/(“)]

X

7.设％=1,=1+—(〃=2,3广,)，证明数列｛%｝极限存在,并求此极限.

1+ZT

[Z4〉”(x)=l+自/(x)=.>0,x“，且丁2,则x“=竽]

8.设。“=(1+!)(1+])…(1+1)5=2,3,…)，证明：｛6｝收敛.

2-3n

61

[法(1)£也(1+-^)收敛；法(2)%

"=2n"

9.ax=y/3,an+l=j3a^,求：lima,,.

n->oo

法⑵：a“=3寸厂〉-»3]

[法⑴:准则%<3,1;

10.设q=2,%M=』(%+'),(〃=1,2,3,…)，证明：lima,,存在，并求出其极限a.

2atl

5a”2L。“+|一a”=g(1-------)(。“-«„-i)<0,o=^-(a+—),a=1]

[a.=—<a,

-412%%2a

11.设Z+|=j6+x“(”21),证明：limx”存在，并求出其极限a,其中:

⑴若％=10[X，4>0,limx=3]

nn-»aon

⑵若Xj=0[x“,xn<3,limx„=3]

/»->OO

12.(1)lim(sinJx+1-sinVx)[=limcos^(Vx+1-y/x)=0]

XT+co

(2)limx2[arctan(x+1)-arctanx]Ilim---------=1J

XTW1+(X+9Y

fln(l+x)dr4

13.(1)lim—r/(;z+l)(zz+2)--•(/?+/7)[="=-]

n—>oo〃Ve

(2)lim---

ATCO几

.I

〃sm一"

14.limV

i

〃+一

n

1小.i13「广・，2

[----乙sin—〃〈一乙sin—乃,hmx“二Isin7rxdx-—]

〃+l篙nn,=1n*兀

单元六：无穷小比较

1.当XT8时，变量Jf+2—2是1的(。)无穷小.

X

A:高阶；氏同阶不等价；C:等价；。:低价.

2.当x-0时,/(1)=2、+3•'-2是了的什么无穷小？

2X+3、一2

[lim——-——=In6同阶不等价]

10x

3.当工一＞0时，cosx-川-1是V的什么无穷小?

2

rl.COSX-vl-Xc

[hm----；-------=0,局阶]

2

10x

4.当x-»0时，是x的什么无穷小？[lim—二=8,低价]

ln|x|xln|x|

5.当〃一>8时，(1+工)"-6是’的什么无穷小？

nn

[(1+-)H-e=e[/?ln(l+-)-l]，同阶不等价]

nn2n

6.当x—>(T时，Jx+J-+V7>[x,求：〃

[8]

7.当XT*(T时,比较无穷小:a=jcos/"/?=[tan〃力,/=，sin「力的阶

[a'=cosx2\,fi'=2xtanVx2x2,/1=sinx4x[3-1x3,7

x]

8.当x-0时，濯g—《X是次的几阶无穷小？

[(tanx-x)r=sec2x-\=tan2xx2,ela,1A'-exev(elanx'x-1)tanx-x；马

—1

9.当x-0时,(l+x)~---是次的几阶无穷小？

1-x

ln(l+x)1八、1a

[-+ln(l-x)-x3]

\-x2

10.当x-»0时，/(x)kx"?,其中：/(%)=

⑴11)(2/+°2、)？[2X2+ZV-12X]

(2)jln(l+arctant)dt?［照-X2]

2

(3)jarctan(1-x)2力?[farctan/力]：/力

[=x+x2-^-(x+x2)2-x+o(x2)

(4)ln(l+x+x2)-x?；

3333

(5)sin(x+x3)-x?[=x+x-^(x+x)-x+o(x)2

(6)A/1—2x—yjl—3x?

[=1+(-2x)+--^)(-2x)2-|^)(-3x)2+o(x2)^-x2]

222232332

11./有连续导数，且15旦»=。wO,当x-0时,F(x)=⑺力?F'(x)?

[F'(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)-xf(x),lim=-a,F(x)—ax1}

川l0x3

12.7(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且/(O)wO,/'(O)wO,若：

4(人)+/(2〃)—/(0)在力-0时是比〃高阶的无穷小，求：a,b.

[F(0)=(a+b—1)/(0)=0,(0)=(a+2b)f'(0)=0na=2力=-l]

13.设a,4为无穷小，且aw",

(1)证明:ln(l+a)—ln(l+/7)a—夕；

[ln(l+«)-ln(l+y5)=ln(l+y^)a-j3]

(2)问:ln(l+a)+ln(l+£)a+£?

[ln(l+a)+ln(l+^)a+/7+a£,否]

单元七：函数连续性

1.设/(X)和g(X)在(-00,+8)内有定义/(x)为连续函数，且/(x)HO,g(x)有间断点,则

必有间断点的函数是：[D]

A:g"(x)];B:[g(x)F；C:/[g(x)];0：誓

fM

2.考察函数连续性:

(D/W

1一0~

[(l)lim/(x)=oonx=0无穷；(2)/(l-)=0J(l+)=lnx=l跳跃]

XTO

⑵/(x)=(1+x)arctan1~二

]-x

[(1)lim/(x)=0nx=-l可去；(2)/(1-)=万,/(1+)=-%=>工=1跳跃]

XT-1

3.设/(x)=7仁二型：十1)一.⑴写出连续区间;(2)确定间断点，并判别其类型.

J4+3光一厂—x+1

[(1)[-1,3),(3,4]；(2)lim/(x)=-匕nx=3可去]

xf37

tan(x—)

4.求/(x)=(l+x)4在(0,2万)内的间断点，并判别类型

□)x=2,必可去；(2)x=工，2第二类］

4444

Xh

pa+qa

x十h

5./(1)={x-b'，确定p,q,使f(x)在x=b处连续.

ah\nax=b

[p+q=0,pab\na=ab\na,p=l,q=-l]

6.考察/(x)在x=0处为何种间断点，其中/(x)：

_[x]

⑴/(x)=e"1/(0-)=0,/(0+)=l=>x=0跳跃]

1

⑵/(x)=[][/(0-)=1J(0+)=0nX=0跳跃]

1+x

1

⑶/(x)=1][lim/(x)=0,/(0)=1nx=0可去]

XTO

xx<2

x2X<1

7.设/(x)=।,rg(x)=<2(x-l),2<x<5,考察/[g(x)]的连续性.

1—Xx>1

x+3x>5

lg(x)连续，g(x)=lnx=l时,/［g(x)］为跳跃间断点］

(H-1)Xx'"°,x=0无穷]

8.求f(x)=lim的间断点，并判别类型."。)=

〃ToOnx1+1

0x=0

单元八：渐近线讨论

1.求曲线/(》)=*皿6+3(%>0)的渐近线.

X

[l