考研高数-概率-线代公式下载

高等数学部分公式

导数公式:

(tgx\=sec2x(arcsinx)'=1

yjl-x2

(ctgx)r=-esc2x

/、，1

(secx)'=secx•次x(arccosx)=——,

(cscx\=-escx-ctgx

(/arctgx)、，=--1

(/)'=ax\na1+九r

(\ogax)'=-^—(arcctgx)=------

xlna1+x7

基本积分表：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cf———=fsec2xdx-tgx+C

JCOS%J

^ctgxdx=ln|sin+C

fd；-fcsc2xdx--ctgx+C

|secxdx=ln|sec无+tgx\+CJsinxJ

jsecx-tgxdx=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-ctgj^+C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

dx

2j，=-arctg-+C

Q+Xaa

[axdx=-^—-^-C

dxx-aJln〃

In+C

22

x-a,X+Q^shxdx=chx+C

dxa+x

-In------+C^chxdx=shx+C

-a2-x,2aa-x

dx•x「22

arcsin—+C[.==ln(x+^x±a)+C

2-x2ayjx1±a2

n兀

22

“=jsin“xdx-Jcos“xdx=ln-2

00n

__________________2_________

[7x2+a2dx=-dx2+〃2+—ln(x+\x2+(22)+C

J22

__________________2

^x2-a2dx-y-a2--1nx+-a2+C

2

~2/・工人

—Edx=4^—xH----arcsin—FC

2a

三角函数的有理式积分：

.2u1-w2x,2du

sinx=-----7，COSX=-----7，U=tg-,dx=-----r

1+M21+w22l+〃~

一些初等函数:两个重要极限:

..sinx

双曲正弦:shx=---------lim-----=1t

2I。X

双曲余弦:Mx="+e'lim(l+与=e=2.718281828459045...

2工T8X

双曲正切：儿X=四=^^4

chxe+e

arshx=ln(x+d£+1)

archx=±ln(x+Vx2-1)

三角函数公式:

•诱导公式：

、^数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tg«-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

和差角公式：•和差化积公式：

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasin0sina+sin尸=2sin~~~~cos

cos(a±/7)=cosacos/?+sinasin0

..廿noa+夕.CL-P

tg(a±p)Jga土tg0sina-sin=2cos---sin---

\+tga-tg/3cca+0cc—B

cosa+cosp=2cos------cos.......-

,,0、ctgactg6+l

ctg(a±/3)=6c—22

ctg/3±ctganc.a+p.a-B

cosa-cosp-2sin—sin-

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cosla-2cos26z-l=l-2sin2a=cos?a-sin?asin3a=3sina-4sin3a

ctg2a-1cos3a=4cos3a—3cosa

ctgla-

2ctga3tga-t£a

吆1-3fg2a

2，ga

tg2a

1—吆%

•半角公式:

a

cos—=

2

a,1-C0S6Z1-C0S6Zsinaa,1+cosa1+cosasina

火，=±cig—=i1/------------=—:--------=------------

1+cosasina1+cosa2Vl-cos6zsmal-cosa

•正弦定理：=一2—==2R

•余弦定理：c2=a2+/-2abeosC

sinAsinBsinC

71

•反三角函数性质：arcsinx=-----arccosxaretgx=--arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

4=0

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/S)-/3)=/'OS-a)

柯西中值定理:■TC)

F(b)—F⑷F'C)

当F(x)=尤时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：ds=其中y'=fga

平均曲率禾=也公。:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

△s

w

M点的曲率：K=lim也da|y|

a一。AsdsJ(i+y])3

直线：K=0;

半径为a的圆：K=—.

a

定积分的近似计算:

bi

矩形法:J/(X)B—^(凡+M+…+y,i)

a

梯形法：j/(x)«与产[g(先+尤)+M+…+X.-J

a

bi

抛物线法：J7(x)«—^-[(^o+%)+2(y2+以+…++_2)+4(%+为+…+%T)]

J3〃

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力：F=p,A

引力：F=k瞥,k为引力系数

r

_1b

函数的平均值:y=-——j/UWx

均方根:『⑴出

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：?=的幽2|=4*2-七)2+(为一%产+⑵-ZI)2

向量在轴上的投影:Pr，“Q=|雅kos°,展港与〃轴的夹角。

Prj“a+a2)=Prja[+Prja2

ab=\a\-\b\cos0=axbx+ab+“一4,是一个数量，

两向量之间的夹角:cose=-----""卡也-------

』a；+a：+a；yb：+b：+b；

iJk

c=axb=axay%,同=|补问sin。.例：线速度:v=vvxr.

bxbyh_c

aaa

XyZ

向量的混合积:[G硒=(MxB)1=abx/=,x5HMeosa,a为锐角时,

CxCyCz

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x-x0)+B(y-jo)+C(z-zo)=O,其中万={4,3,。},〃0(4，为〃0)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程:±+上+三=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：4」华+也+气+川

VA2+B2+C2

x=%+mt

空间直线的方程:七也=匕四=三&•=/,其中”{加,〃,p};参数方程:y=y0+〃/

mnp

[z=z0+pt

二次曲面：

222

1、椭球面■+与+==1

ab"c

22

2、抛物面:工+2L=z,(p,q同号)

2p2q

3、双曲面：

2

单叶双曲面:—+

a

r222

双叶双曲面:三-%+==1（马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：dz-——dx+——dydu=——dx+——dy+——dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az*dz=£(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法：

dz_Szdu+dzdv

dtdudtdvdt

dzdu+&5V

z=/[w(x,y),v(x,y)]—

dxdudxdvdx

当〃=w(x,y),v=v(x,y)时，

.du.du.小包公包办

du=—ax-\----ay=+

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

隐函数f(x,y)=O,空=-曳,d2y_SFdFdy

五^一瓦((一胃x十区(方).区

dxFy

F

隐函数尸(x,y,z)=O,7^=-—>dz_y

dxF,力£

dFdF

隐函数方程组：[尸j‘)‘'"'")=0认尸G)FF

Ji-------,----dudvUV

G(x,y,w,v)=Od(u,v)dGdGGUGV

dudv

包1

=--a3(a&v1认F,G)

及JG)

V)Jd(u,x)

包1a3(G-)

=a¥v1d(EG)

-J-v)

ay9(",y)

微分法在几何上的应用:

x=(p(t)

_y-y_z-z

空间曲线，y=”(f)在点A/(Xo，y(),Zo)处的切线方程:aa

d&)/g)〃(%)

z=(y(f)

在点M处的法平面方程：)(x-X。)+/«°)(y-匕))+。'&)(z-Z。)=0

Mt，则切向量、耳4

若空间曲线方程为:££

G,G「G,G,

曲面尸(x,y,z)=0上一点Af(与，打人),则:

1、过此点的法向量：n={Fv(x0,y(),z0),Fv(x0,y0,z0),F.(x(),y0,z0))

2、过此点的切平面方程：&(Xo，yo，Zo)(x-Xo)+4(Xo，yo，Zo)(y-yo)+£(Xo，yo，Zo)(z-Zo)=0

3、过此点的法线方程:一—=_一^_=—一—

工(Xo，yo，Zo)工(Xo，yo，Zo)E(xO,yo，Zo)

方向导数与梯度:

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一■方向/的方向导数为:更=—cos^+—sin^

dldxdy

其中e为x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：grac|/'(x,y)=W7+雪j

oxdy

它与方向导数的关系是:笠=grad/(x,y)I,其中。=cosQ:+sin°-J,为/方向上的

dl

单位向量。

%是gra(V(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

毗(%，先)=力(/，%)=°，令:九(Xo，y°)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

A<O,(Xo，%)为极大值

AC—1>0时“

4>0,(%,九)为极小值

则:AC-1<。时,无极值

AC-82=0时,不确定

重积分及其应用：

^f(x,y)dxdy-(rcos0,rsin3)rdrd0

DD'

dz&_Y

曲面z=/(x,y)的面积A=J+dxdy

dx

7

\\xp(x,y)dcyM［卜夕富，〉)^

平面薄片的重心：元=4='---------,y=-7-=-77---------

MJJp(x,y)dcr

DD

平面薄片的转动惯量：对于X轴/*=Jb2p(x,y)db,对于y轴/v=/卜夕3/),/

D

平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,4),(“>0)的弓I力：F={Fx,Fy,Fz],其中:

£=_%JJP(x,y)xd「

%=f卜…%，工=f039

D(x2+y2+a2)2D(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosO

柱面坐标:<y=rsin。，y,z)dxdydz=z)rdrd6dz,

c

其中：尸(r,6,z)=f(rcos6,rsin6,z)

x=rsin^cos^

球面坐标，y=rsin^sin^,dv-rd(p-rs\x\(p-dOdr=r2sin(pdrd(pcl0

z-rcos(p

2乃乃r(*，8)

jjj/(x,y,z)dxdydz=^m(pdrd(pdO=^dO^d(p、F(r,(p,e)产sin(pdr

QQ000

重心:无$/皿》$/加其中M=±=

Q

转动惯量：/,=JJJ(y2+z2)〃v,=川''+Z2)〃V,:JJJ(^2+y2)pt/v

ccQ

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

X=(p(t).

设/Xx,y）在L上连续，L的参数方程为:,(a<f<川)，贝Ij：

y=〃Q)

B____________X=t

]7(x,y)ds=⑺+/2⑺力(a<p)特殊情况:<

」=可)

La

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为「=0"),贝U：

]>(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{P[*(f),”0)]*'(/)+。[夕⑺,〃《)]/«)}dt

La

两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qdy=j(Pcosa+Qcos/3)ds,其中a和/?分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:y-)dxdy=jPdx+Qdy格林公式:(孚-~^~)dxdy=，Pdx+Qdy

当尸=-y,Q=x,即:名■一丝=2时，得到。的面积：A-\\dxdy-—JxJy-ydx

fix小林2；

・平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(尤,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且G2="。注意奇点，如(0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积：

在孚=翌时，Pdx+Qfy才是二元函数〃(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(x.y)

〃(x,y)=Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设%=%=0。

(-<■«,y0)

曲面积分:

对面积的曲面积分:JJ/(x,y,z)ds=J]/[x,y,z(x,y)]^l+(x,y)+zj(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分:JJP(X,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

z

JJR(X,y,z)dxdy=+y,z(x,y')]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

xD„

JJp(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz^取曲面的前侧时取正号;

工外

JjQ(x,y,z)dzdx=±0Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

Dzx

两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(尸cosa+Qcos£+Rcosy)ds

高斯公式:

JJJ(——F-+--)du=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcos^+Rcosy)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：dE导箓詈岫单检体积内所产生的流体质量,

若div。＜0,则为消失…

通量：,后ds=JjA〃ds=Jj(Pcosa+Qcos/?+7?cosy)ds,

zzz

因此，高斯公式又可写成:JJJdivZdv=#0

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

!rt也月R噎dQ曲、j废」+(/d法P-在dR包)dxdy;

)dzdx+(—--二(^Pdx+Qdy+Rdz

dxr

dydzdzdxdxdycosacos/?cos/

上式左端又可写成:Hddddaa

1dxSydz=ndx办dz

PQRPQR

空间曲线积分与路径无关的条件小等"，崇啜

ijk

3AA

旋

-一&

去ay'

p。R

向量场区沿有向闭曲线「的环流量：gPdx+Qdy+Rdz=(^Atds

rr

常数项级数：

等比数列:l+q+/+…+/i=匕4

i-q

等差数列：1+2+3+-+〃=妇叨

2

调和级数:1+！+!+…+■是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：

‘夕<1时，级数收敛

设：p=贝小P>1时，级数发散

0=1时，不确定

2、比值审敛法：

a<i时，级数收敛

设：P=lim-，则0>1时，级数发散

/t-xjcTJ

"夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+M,+…+〃“;lims“存在，则收敛；否则发散。

“TOO

交错级数%-“2+〃3-〃4+…(或-%+M2-M3+•••,«„>0)的审敛法----莱布尼兹定理:

如果交错级数满足屋“二"那么级数收敛且其和其余项项绝对值|力4，，,用。

绝对收敛与条件收敛：

⑴〃1+%H----\-Un+•••,其中〃〃为任意实数；

⑵同+向+同+…+叫+…

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:发散，而z呼收敛；

级数:Z5收敛；

p级数：£十P<1时发散

p>1时收敛

塞级数:

23„时，收敛于」一

1+X+X-+X+…+x+…(I—X

\国21时，发散

对于级数(3)&+…+%x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

/，<一时收敛

数轴上都收敛，则必存在凡使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。

\忖=/?时不定

P。时，R――

求收敛半径的方法：设lim-=夕，其中即，%是(3)的系数，则(2=0时，R=+s

ua\

\p=+8时，R=0

函数展开成幕级数：

2/(，，)(Xo)

函数展开成泰勒级数：/(x)=/(xo)(x-xo)+^^(x-xo)+-+(x-xor+-

2!〃！

余项：4=匕2。-%)用J(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR“=0

(〃+1)!〃->8

%=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+r(0)x+"®x2+-+eMx"+一

2!n\

一些函数展开成幕级数:

八、m1m(m-l)2团(小-1)・・・(加一〃+1)n

(1+x)=l+^x+-------X+•••+------------------------X+・・・(―1<x<1)

2!n\

/V5产〃-1

sinx=x-----+---------+(-1尸------+…(-00<%<+00)

3!5!(2H-1)!

欧拉公式:

eJx+.e-ix

cosx=

2

e,x=cosx+zsinx或<

sinx=

2

三角级数:

88

/⑺=4+XA“sin(〃初+(pn)Z(〃“cosnx+hrlsinnx)

rt=ln=\

其中，a0=aA0,an=Ansin(pn,bn=Ancos<pn,a)t=x0

正交性：Lsinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cos…任意两个不同项的乘积在[-肛4]

上的积分=0。

傅立叶级数:

/(%)=—+(。〃cosnx+bnsinnx),周期=2万

2«=1

i乃

an=—f(x)cosnxdx(〃=0,1,2…)

其中—K

|冗

bn=—^f(x)sinnxdx(n=1,2,3•••)

-n

2

,11+•••=^—(相加)

1H—7^—?­!---1+

3252T6

1117T2,111万2

1一齐十?一不+…上（相减）

尹+不+丁…-2412

正弦级数：an-0,—j/(x)sinnxdx〃=1,2,3…/(x)；sin〃提奇函数

n0

2「

争斗，心〃混偶函数

余弦级数：bn=0,an=—^f(x)cosnxdx〃=0,l,2…/(x)

71o

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

/(x)=F+£&cosW+〃,sin竿)，周期=2/

2"=]II

%(〃=0,1,2…)

其中♦

b„(〃=1,2,3…)

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg()')dy=J/(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成立=/(x,y)=°(x,y),即写成上的函数，解法：

dxx

设〃=乜则虫=M+X生，u+丝=⑴⑺,.•.如=T—分离变量,积分后将上代替”,

xaxaxaxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程:@+P(x)y=Q(x)

dx

/当。(x)=0时,为齐次方程，y=Ce」""

,当。(x)w0时，为非齐次方程，y=(j0(x)』”"dx+C)d""

2、贝努力方程:包+尸(x)y=Q(x)y",(〃*0,1)

dx

全微分方程：

如果尸。,〉)公+。(》,》)由>=0中左端是某函数的全微分方程，即：

aa

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:=P(x,>)片=Q(x,y)

dxdy

：.u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

d-y.dy/(x)三0时为齐次

—^+Pn(x)x—+Q(x)y=/O

dx~dx/(x)学0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*)y"+py'+qy=0，其中p,g为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(A)/+pr+4=0,其中产，尸的系数及常数项恰好是(*)式中y",y，,y的系数;

2、求出(△)式的两个根八，G

3、根据外的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

(*)式的通解

八，々的形式

两个不相等实根(p2—4q〉0)riX

y=+c2e

r,A

两个相等实根(p2-4q=0)y=(G+c2x)e

ax

一对共物复根(p2-4q<0)y=e(Gcosfix+c2sinpx)

八=a+t。,r2-a-if3

a=-L”曲”片

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

概率论部分

第一节基本概念

1、概念网络图

古典概型

儿何概型

加法6+C

"基本事件M减法8-C

随机试验Ef,样本空间Q>-»PG4A五大公式・条件概率8/C1和乘法公式8c>>

随机事件A全概公式

独立性

2、重要公式和结论

P：二从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

（1）排列

组合公式

加

C：=―--从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

n!（m-«）!

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

（2）加法

种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

和乘法原

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn

理

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。

重复排列和非重复排列（有序）

（3）•些

对立事件（至少有一个）

常见排列

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

（4）随机

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试

试验和随

验。

机事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

（5）基本

事件、样本这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用0来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。

空间和事

件一个事件就是由。中的部分点（基本事件①）组成的集合。通常用大写字母

A,B,C,…表示事件，它们是。的子集。

。为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件8的组成部分，（1发生必有事件8姓）：

AuB

（6）事件如果同时有Au3,BnA,则称事件力与事件8等价，或称1等于8：

的关系与A=B。

运算48中至少有一个发生的事件：4U8,或者公艮

属于力而不属于6的部分所构成的事件，称为｛与8的差，记为4-6,也可

表示为或者人百，它表示4发生而6不发生的事件。

A,6同时发生：A^B,或者4艮AHB=0,则表示A与B不可能同时发生，

称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

C-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为它表示A不发生

的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

800_

nA，=u4____________________

德摩根率：I<=iAU8=An8,AnB=AUB

设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满

足下列三个条件：

1°0<P(A)Wl,

2°P(Q)=1

(7)概率3°对于两两互不相容的事件Ai,42,…有

的公理化(8、8

定义PUA，=2?(4)

3=1)i=\

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

1°£1={^|,co2,

2。P(助)=P(g)=...P(%)=!。

n

(8)古典设任一事件A,它是由必,。2…0,"组成的，则有

概型/W={@)UM)U…U(%)}=尸⑷)+P(g)+…+PQ“)

一一一A所包含的基本事件数

-n一基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

(9)几何概型。对任一事件A,

概型

p(A)=’⑷。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

3)

(10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

公式当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减法当BuA时,P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

当A=C时,P(B)=1-P(B)

(12)条件定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称‘段为事件A发生条件下，事

概率尸⑷

件B发生的条件概率，记为P(8/A)=曳竺^

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(C/B)=1=>P(C/A)=l-P(B/A)

乘法公式：P(AB)=尸(4)P(B/A)

(13)乘法更一般地,对事件A“口，…A”,若P(A也…AQ>0,则有

公式P(AA2...A„)=P(4)P(A214)尸(41AI42)……P(4,1A4...

An-l)o

①两个事件的独立性

设事件4、5满足尸(A5)=P(A)P(B),则称事件4、8是相互独立的。

若事件4、5相互独立，且P(4)>°,则有

尸⑻A)=3=P⑷岂B)=

尸(A)P(A)

若事件A、B相互独立，则可得到N与3、A与豆、X与后也都相互独

(14)独立立。

性必然事件。和不可能事件0与任何事件都相互独立。

0与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件外,&,…,8"满足

1°81,正,…,8〃两两互不相容，P(8)>0(i=1,2,…,〃)，

(15)全概Au[J8

公式

20依,

则有

P(A)=P(Bi)P(A1Bi)+P(B2)P(A1&)+・・・+P(Bn)P(A1Bn)

设事件8,Bi,以及A满足

rBl,历,•••,&两两互不相容，P(砌>0,i=i,2,…，"，

II

Au［历

2。M,P(A)>(),

则

(16)贝叶

斯公式

£P(吗)尸(A/吗)

j=l

此公式即为贝叶斯公式。

P(B),(，=1,2,n),通常叫先验概率。P3/A),(，=1,2,…，

〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

我们作了〃次试验，且满足

♦每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；