三角恒等式证明专题

课 题三角恒等式证明专题教学目标通过对三角函数的综合知识整理及复习达到熟练掌握基础知识，及灵活运用三角函数公式。提高利用数型结合思想分析题意的能力，重点、难点三角函数图像及其性质，三角恒等式的证明考点及考试要求特点一:考小题,重在于基础.有关三角函数的小题，其考查的重点在于基础知识：其中，三角函数的解析式，图象和图象变换，两域(定义域,值域)，四性(单调性，奇偶性,对称性，周期性)，反函数，以及简单的三角变换，(求值，化简，及比较大小)，都突出了对三角函数基础知识的考查.特点二:考大题，难度略有降低.由于高中数学教材内容的重新修订，对三角函数的整体要求有所降低，体现在高考中对有关三角函数的大题(解答题)，通过三角公式变形，转换等手段来考查学生思维能力的题目，其难度有所下降,而比较突出地考查了学生对基本知识,基本万法,基本技能的理解，掌握和应用情况.特点三:考应用,常融于三角形之中.高考中此类题型的考查既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来备受命题者的青睐，主要解法是充分利用三角形的内角和定问题时，常常体现了三角的工具性作用。教学内容知识框架(1)公式的变形及应用运用三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。(iii)对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如：cosCx+P)cosP+sin(a+P)sinP=cosa,tan(a+P)(-tanatanP)=tana+tanP，tan(a+P)tanatanP=tanCx+P)-tana-tanP，tana+tanP+tan(a+P)tanatanP=tan(a+P)sin2a 1+cos2a . 1-cos2acosa二 ,cos2a二 ，sm2a二 。2sina 2 2例1、求tana+tan(——a)+p'3tanatan(—a)=分析:将公式tan(a+P)= 变形为：tana+tanP=tan(a+P)1-tanatanP)即1-tanatanP

可得出答案J3,故原式等于蓄3（2）角的变换解决三角变换问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再确定如何利用已知条件，采用哪些公式，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成不必要的麻烦，要整体地把握公式，认真考虑角的整体运用，这往往要用到常见角的变换，即拼角与拆角，常见的变换如下：如2a=（a+B）+（a—P），P=（a+B）-（a-B,a+p=2（a+卩）-卩,2a-卩=2（a-卩）+卩，a=（a+p）-p,a=（a+p）-p,a=（a-p）+p,P=（a+P）—a,P=-（a-P）+aa+^4=（a+P）—|p_兀）-等。4丿f— ）例2、已知叫"J3.f3—=一,sm5+p]二—,其中—<a<3—,0<P4丿13 4 413气，求sinS卩）的值— 3— c cf3— /f— ]a，丁+p,与所求角a+P的关系是丁+P———a4 414丿14丿分析：已知角+（a+卩），要求sinCx+P）,即求—cos[+Cx+P）]^2— 3— 3—门q—解:4<a<亍0<P<4—<——a<0,竺<还+P<兀2 4 4 4.（兀 ）sin——a1.（兀 ）sin——a14丿4二一一,cos51213cos[牛+（a+P）l=cos[f3—+p1I4丿.sin（a+p）=一cos[—+SM=一6|（3）函数名的变换对于函数名的变换主要是用诱导公式六''函数名改变，符号看象限”即:•f兀f兀sin——a=cosa;cos——a12丿12丿二sina;就可实现函数名的改变,f— ]f— ]f— ]sin一土2a=2sm一土acos一土a（2丿（4丿（4丿（4）常数“1”的变换及辅助角的引入cos2a二也是常用的三角变换。~兀 兀同时还要同时还要注意2礬+礬—a三个角的内在联系的作用,

1=sin2a+1=sin2a+cos2a+sin2a=|sina土cosa|=tan-=sin-+sin2a=|sina土cosa|4 2 3 6<1+cos2a=u2IcosaI,v'1一cos2a=*2IsinaI。(ii)三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为ta2+b2sin(x+©)(取=arctan—)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin土cosx,土sinx±u3cosx，要熟练掌握a这两个变换技巧，在解题中将起到事半公倍的效果，同时还要熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。例3、化简2^1+sina+12(1+cosa)，aG(n，2n)分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式aca aa..aa^.1+sina=sin2+cos2 +2sincos=(sin +cos—)2222222TOC\o"1-5"\h\za a2(1+cosa)=2(1+2cos2 一1)=4cos2—^2 ^2\o"CurrentDocument"・•・原式=2|sinI+cosf1+2|cos 1*.*aW(n,2n)cosa<0

2当2当2晋<4-,-<让3-时,.aasin+cos2・•・原式=2sinj3a 3当4-3a 3当4-<I<0-<a<2-时'.asin+cos2a<02+arctan2)・•・原式=-2“碑-4cosf=-a2sin2一2、：5sin(—+arctan2) —-<a<222龙文教育教师F对4知识概括、方法总结与易错点分析（1） 三角函数中的求值问题三角函数的求值就是利用题中的已知条件，正确、合理地应用三角恒等变形公式，也即同角关系，诱导公式，两角和差、倍角公式等三角函数公式，把角变化为特殊角，或三角函数化为同名、同角三角函数进行合并与化简，最后求出三角函数（式）的值。掌握几种主要题形的思路与方法：给角求值、给值求值、给值求角等。知角求值问题是三角变换中的难点之一，常见问题中角多为非特殊角，那么要解决这类问题，首先认真观察角的特点；其次从函数名的角度去思考，如切化弦，化同名等手段也是解决问题的途径；第三，看其结构符合不符合我们学过的公式或公式变形。给值求值也就是条件求值问题，即由给出的一些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数，关键在于“变角”使“目标角”变换成“已知角”若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用，变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用。给值求角实质也是转化为“”给值求值“关键也是变角，反所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合角的范围求得角。（2） 三角函数中的化简化简是三角函数式求值与证明的基础，即通过一系列的恒等变形变异为同，化繁为简，以达到简化运算的目的，原则是形式简单，函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值，化简过程要注意角的范围，难点在于众多的三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，认真分析所化简式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活运用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。（3） 三角恒等式的证明三角恒等式的证明的思路是利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式，常用的方法是：（i）从等式一边推出另一边；（ii）证明等式都等于同一个式（或值）也就是两边夹法则；（iii）比差法，即证明等式左、右两边之差为零。（iv）运用综合法、分析法证明。针对性练习一、填空题若—n<a—n，sin2a二一*，求tan色TOC\o"1-5"\h\z2 4 5 2已知sin9=— ，3n<0<?生，则tan的值为 .5 2 2已知sin+cos=—，且—<a<3n，则cot的值为2 2 v'5 2 44•已知。为钝角、B为锐角且sina=|，注=13，则cos宁的值为5.设5nV°V6n,0cos=a,2则sin0的值等于 二、解答题6.化简1+sin20-cos201+sin20+cos207•求证：2sin（ —x）・sin（ +x）=cos2x-8.求证:1-2sina-cosa1-tanacos2a-sin2a1+tana9.在△ABC中，已知cosA=a•cosB-&a-b-cosB求证:ta"211.12.10.求sin15°,cos15°,tan15°的值.设—3n<a<—¥，化简一^求证：1+2cos20—cos29=2.13.13.0_求证：4sin9•cos?2=2sin9+sin29.力龙文教育•已知cosa=12,a力龙文教育•已知cosa=12,ae(迹,2兀),13 2A.空B.13空C.132•若均a,P为锐角,sina= sin(a+P)=3,贝JcosP=( )A.琴B.C.25D.14.设25sin2X+sinx—24=0,x是第二象限角，求cos的值.215•已知sina=12，sin（a+^）=5 均为锐角，求cos|课后作业•选择题（共12小题，每小题5分，共60分）兀则cos（a+—）= （ ）43.(cos—-sin—)(cos—+sin—)=12121212A.-三A.-三B.-2C.2D.4.tan7O4.tan7Oo+tan5Oo一j3tan7Ootan5OoB.C.D.B.C.D.2sin2a2sin2a、1+cos2acos2a碍=(A.tanaA.tanaB.tan2aC.1D.6.已知x为第三象限角，化简J1-cos2x=A.<2sinxB.-巨sinxC.<2cosxD.-迈cosx.已知等腰三角形顶角的余弦值等于则这个三角形底角的正弦值为（A.A.10Tq~B.<1010C.A.A.10Tq~B.<1010C.3d010D.3,1010.若3sinx-J3cosx=2J3sin(x-9),9e(一兀.兀)，兀 兀 5兀A.—B. C. D.6 66.已知兀 兀 5兀A.—B. C. D.6 66.已知sina+cosa=1，则sin2a=1B.-2A.-89C.d.80.已知cos29=血=3，则cos-0-sin49的值为_心3■V23A.TOC\o"1-5"\h\z兀 2兀 3兀 4兀 5兀1求cos—cos——cos——cos——cos——=( )11 11 11 11 111 1A. B. C. 1D.025 24.兀穴x2.函数y=sin+,3cos的图像的一条对称轴方程是兀D.x兀D.x=-亍A.x=兀 B.x= C.x=--3 3二•填空题(共4小题，每小题4分，共16分)3•已知a,B为锐角，cosa=「L,cosB=丄,则a+B的值为10 5在AABC中，已知tanA,tanB是方程3x2-7x+2=0的两个实根，则tanC= 若sina=3,cos—=--，则角a的终边在 象限.2 5 2 5 代数式sin15ocos75。+cos15。sin105。= .三•解答题（共6个小题，共74分）3 5（12分）AABC中，已知cosA=-,cosB=,求sinC的值.5 13空龙文教育8.(1