立体几何新题型

《体何新型1．图，在四棱锥

P

中，PCAD

AB

，

AB//

，

AD

，

PC

平面

ABCD

.PMA

BD

C（1求证：BC面PAC；（2若M为段

的中点，且过C,D,三点的平面与线段交于点，确定点N的置，说明理CMN由；并求三棱锥的高2．在四棱锥ABCD中CDABAD.

为正三角形，平面PAD面，AB/CD

，ABAD

，PA

DBC（Ⅰ）求证：平面

PCD

平面

；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在棱PC上否存在使得//平?若存在，请确定点的置并证明；若不存在，说明理由．117

3．如图，是边长为3的方形，面ABCD，AF面ABCD，AFE

.FA

DCB（1证明：平面

ABF/

平面

DCE

；（2）在

上是否存在一点

G

，使平面

FBG

将几何体

分成上下两部分的体积比为

3:11

？若存在，求出点的置若不存，请说明理.4．如图，在四棱锥

ABCD

中，底面

ABCD

为直角梯形，

AD//BC

，

，平面PAD底面ABCD，Q

为AD

的中点，M是PC上点，PD

，

AD

．PMDQ

CA

B（Ⅰ）求证：平面PQB

平面PAD

；（Ⅱ）若三棱锥A体积是四棱锥ABCD积的

，设，确t的．217

5．知四棱锥ABCD中底面为矩形，PA面，BC，AB2，M上一点，M为PC的中点PMABC

D（）图中作平面与PB的点N，指出点所位置（要求给出理由）；（）平面ADM

将四棱锥

ABCD

分成上下两部分的体积比6．如图，四棱锥

ABCD

的底面为菱形且∠ABC＝120°，PA底面ABCD，AB＝2，PA

，PEDA（1求证：平面PBD⊥平面PAC；（2求三棱锥P--BDC的体积。（3在线段明理由。

上是否存在一点E，PC⊥面成立如果存在，求出EC的；如果不存在，请说317

7．四棱锥

ABCD

中，底面

ABCD

为平行四边形，

，

，

，P

点在底面

ABCD

内的射影E

在线段AB

上，且

，BEEA

，M在线

CD

上，且

CD

．PE

A

F

M

DBC（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）在线段上确定一点F使得平面

平面，并求三棱锥PAFM

的体积．8．如图，五面体

中，四边形ABDE

是菱形，

是边长为2的三角形，

DBA

，CD3

．EDCA（1证明：

BDCAB

；（2若

在平面

内的正投影为

，求点H

到平面

BCD

的距离．417

9．如图，在四棱锥中，侧面PAD底面，底面ABCD是平行四边形，ABC45

，

，

ABDP

，E

为

CD

的中点，点

在线段PB

上．PDEA（Ⅰ）求证：ADPC；

FC

B（Ⅱ）当三棱锥

BEFC

的体积等于四棱锥

P

体积的

PF时，求的.．如图在四棱锥ABCD中AD，AD∥，，AO

，PO2

，.PA

O

DB

C(1)求证：面面PAD；(2)若CD

V，三棱锥P与CPBD的积分别为、，V

的值．．如图,在四棱锥P中，底面是正方形，PA面ABCD，PB，E,F517

分别是PA,的点（1）在中画出过点F的平面，得//平PCD（说明画法，并给予证明）；（2）过点E,F的面

/

平面且截四棱锥PABCD所得截面的面积为

2

，求四棱锥ABCD的积PEEA

DB

C12．如图在各棱长均为2的三棱柱中，侧面A面ABC，.1111A

1

C

1B

1DA

CB（1）求棱柱ABCA的体积；11）已知点D是平面内点，且四边形ABCD为行四边形，在直线AA上是否存在点P，DP//平面？存，请确定点P的位置，若不存在，说明理由.1617

参答1（1）详见解析（）2【解析】试题分析：）先分利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点

的位置，再利用等体积法进行求.试题解析：）接，直角梯形ABCD中AC

AD

2

2

2

，

AB

2

，所以AC

，即.又

平面

ABCD

，∴

，又

PC

，故

平面

.（2）的中点，为PB因为M为PA的点，为PB的点，所以

//，且MN

AB

.又∵

AB//CD

，∴

//CD

，所以N,C,

四点共面，所以点为过D,三的平面与线段

的交点因为BC面PAC，为

的中点，所以到平面PAC的离

BC

.又S

1SACPC2

，所以VN

2

.由题意可知，在直角三角形

PCA

中，

23

，

，在直角三角形PCB中PB

BC

2

PC

2

，CN3，以

.设三棱锥的高为h，A故三棱锥的高为.

N

A

223

，解得：h2，2．(1)证明见解析；）

3

；（3）存在，证明见解析.【解析】试题分析：Ⅰ)证明AD，根据面面垂直的性质定理可得面PAD

，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）先根据面面垂直的性质定理可得PO面ABCD，再根据棱锥的体积公式可得结果；Ⅲ）E的点，BE/

平面PAD

，根先证明平面

平面PAD

，从而可得结果试题解析：（Ⅰ）因为

AB

，ABAD

，所以CDAD.因为平面PAD面，平面平ABCD，所以CD面PAD.因为平面,所以平面

PCD

平面PAD

.117

（Ⅱ）取AD

的中点

O

,连结

PO

.因为PAD

为正三角形，所以AD.因为平面PAD面，平面PAD平，所以

PO

平面

ABCD

，所以

PO

为三棱锥

的高.因为PAD

为正三角形，

CD

，所以所以

POVPABC

3

.12333

.（Ⅲ）在棱

上存在点

，当

为

的中点时，

/

平面PAD

.分别取CP,CD的点E,，结BFEF

.所以

EF/PD.因AB//CD，

，所以//FD,FD

.所以四边形

为平行四边.所以BFAD

.因为BFEFPD

,所以平面BEF

平面PAD

.因为

平面BEF

，所以平面.3．（1）见解析（）存在点且满条件【解析】试题分析：（1）根据DE///

，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；）求出整个几体的体积假设在一点

G

，过

G

作

//BF

交

于217

ABQABQM，连接BG,

，设

，求得几何体

GFBME

的体积，将其分割成两个三棱锥EFG,Bt得的值.

，利用

t

表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求试题解析：解：（1）∵DE面ABCD，面ABCD，∴

DE/AF，AF//平∵是正方形，ABCD，∴AB平面，∵AF

，AB

平面

，AF

平面ABF

，∴平面

ABF/

平面

DCE

.（2）假设存在一点G，G作/BFEC于，连接BM，V

B

BCDE

121332

，设EG，VGFBME

3

，EMt3设到ED的离为h，则，t，St24

19∴tt4

，解得

t

，即存在点

G

且

满足条件.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即.二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G位置的值.4．Ⅰ）见解析；（Ⅱ）t.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面ABCD，且平面PAD平ABCDAD

，

可证得BQ

平面PAD

，进而平面PQB

平面

；（Ⅱ）（Ⅱ）由PA，Q为AD的点，可得PQAD．平面PAD平面，得PQ面ABCD．PQh，形面积为，=

S

，VPABCD

Sh

，利用

BQM

即可求得.317

试题解析：（Ⅰ）证明：∵

AD//

，BC

AD

，Q

为

的中点，∴四边形BCDQ

为平行四边形，∴/BQ

，∵

，∴90又∵平面PAD面，且平面PAD平，∴

平面PAD

，∵BQ平PQB∴平面PQB面PAD．（Ⅱ）∵PAQ为的点，∴PQAD，∵平面PAD面ABCD，平面PAD面AD，ABCD平面．∴设PQ，形ABCD面为S，三角形ABQV．ShPABCD

的面积为

S

，又设M到面

ABC

的距离为

h

，则V

ABQM

MABQ

'

，1根据题意Sh，h63

，MCh1故PC2

，M为PC中点，所以t．5．（）为PB

中点，（2）

V31V2【解析】试题分析：1）平行AD，由线面平行判定定理BC平平面，再由线面平行性质定理得平MN而为PC中因

为PB

中点，（）部分为四棱锥，下部分体积为大四棱锥减去上四棱锥：上部分四棱锥的高为AD，大四棱锥的高为，根据棱锥体积公式得四棱锥PADMN的积V

3515

，而四棱锥ABCD的积

，进而可得比值试题解析：解：1）为PB

中点，截面如图所示417

（）因MN是PBC的中位线，AD，

BC，所以MN

5

，且所以梯形的积为

53528

，P点截面ADMN的距离为到线的离d

25

，所以四棱锥PADMN的体积

35854

，而四棱锥

P

的体积V

，1所以四棱锥被截下部分体积V4

，故上，下两部分体积比

V31V2

.考点：线面平行性质与判定定理，棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（）所定几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用式进行求解．（）所定几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、形法等方法进行求解．（）以视的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然根据条件求解．6．（1）见解析；）1；（3）

．【解析】试题分析：（1要证面面垂直，一般先证线面垂直，也即要证线线垂直，由菱形可得BDAC，由PA面ABCD得PABD，而可得线与平面PAC垂，从而得证面面直；（2三棱锥的底面是，为PA，体积公式可得体积；（假设存在，由线面垂直可得线线垂直，

BD

，则

EOPC

，在

517

AFMAFMAFMAFM中由相似三角形可求得EC长反之只要有EO就可得面EBD

．试题解析：(1)略:通证BD⊥AC,BD⊥PA,出BD平面PAC,又BD在面PBD内,所以平面PBD⊥平面PAD(2)(3)假设存在，设，，Δ∽ΔCPA,．7．（）见解析；（Ⅱ）

.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理结合勾股定理可得BEEC，PE

平面，PEEC。而由线面垂直的判定定理得结果；（Ⅱ）取F是AD的中点，先证明面，可证明平面PAB，后根据棱锥的体积公式可得结果试题解析：（Ⅰ）证明：在中，，，定理得EC．

，由余弦所以BE2

，从而有

BEEC

.由面ABCD，PEEC.所以

平面PAB

.（Ⅱ）取

是AD

的中点，作

/

交

CD

于点

，则四边形

为平行四边形，AE，AN/EC

.在中，F

，M分是，DN的点，则//，所/EC

.因为CE面，以面PAB.又

平面PFM

，所以平面PFM

平面PAB

.S2

.V

=

S3

.【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（）利判定定理的推论

,ab

；（3）利用面面平行的性质

a

；（4）利用面面垂直的性质，当个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面8．（1）见解析（）

【解析】试题分析：（1）取的中点O，OD，得到，进而得出617

222222OD

，利用线面垂直的判定定理，证平面DOC，得到ABCD；）取OD的中点，结CH，（1）证得面ABD，所以点是D在平面ABD

内的正投影，设点H

到平面

BCD

的距离为

，在

BCD

中，求解面积

BCD

，在OCD中，得

，利用

VBCD

BOCD

，即可得到结论.试题解析：）证明：如图，AB的中点，连OC,OD因为是边长为正三角形，所以,OC

又四边形ABDE是形，，所以是正三角形所以ABOD,OD

而

ODOC，所以AB平面所以

CD（2）取

OD

的中点H

，连结

CH由（）知

OC

，所以

AB

平面

DOC

，所以平面

DOC

⊥平面而平面⊥面，平面与平面ABD的交线为，所以面ABD

，即点

是D

在平面ABD

内的正投影设点到平面BCD的离为，则点到平面距离为2d因为在中，BCCD

，得

BCD

32

2

3332在OCD中，ODCD

3，得

3所以由

V

BOCD

得

1S即

34717

ABCDBFPABCDABCDABCDBFPABCDABCD解得

，所以到平面的距离9．Ⅰ）见解析;（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根余定理勾股定理先证明BC，可得AD

，再由勾股定理得PAAD，而可得结论（Ⅱ）F到面ABCD距离为h

，由

BEC

可得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形

ABCD

中，连接

，因为

AB2，，ABC

，由

余

弦

定

理

得

2

，得AC，所以ACB90，即BC，AD∥所以

AD

，又AP

，

，所以PA

，

A

，所以面，以ADPC．（Ⅱ）因为E

为

CD

的中点，

BEC

S,四边形ABCD面P底面A面P面AD,PA平A.设

到平面

ABCD

的距离为,1VV3PFh所.10．）见解析（）2【解析】试分析：（1）先根据正形性质得OCAD

，再根据勾股定理得OC，据线面垂直判定定理得OC面PAD,最后根据面面垂直判定理817

SAD32SBCDGAD,BCEF,SAD32SBCDGAD,BCEF,EHHG,FGEH///，则，，，即FEHG面，面，所以PCD得面面垂直，2）锥体体公式得体积之比为2V的值．面积之比可得V

1313

SS

SABDS

，再根据试题解析：(1)在四边中，∵AO//，AO，AB，∴四边形OABC是方，得OC.在中∵

2

2

PC

2

，∴OC，AD,∴OC面,又面，∴平面POC平面.(2)由知，四边形OABC为方形，∴OC，OC，∴ODCD

2

，从而AD,设点到面ABCD的离为h

，∵平行线与AD之间的距离为，∴2

11SAD.1SBC311．）见解;（2）

.【解析】

试题分析：1分别取的中点，连接，可证面，面，进而根据面面平行得性质可得结果；（2设

aG