解一元二次方程（培优篇100题）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题2.19解一元二次方程(培优篇100题)

(专项练习)

1.解方程：(2x+l)2=2X+1.

2.解方程：

(1)x2-2x(2)2a2-6a+l=0

(3)(x—2)-=3x(x—2)(4)(y+l)(y+2)=6

3.解方程：(l-2x)2=X2-6X+9

4.选择适当的方法解下列方程：

(1)3x2-7x=0(2)X2-12X-4=0

5.解方程：(1)(3x+2)(x+3)=x+14

⑵炉-2x-l=0

6.阅读材料并解决下列问题：

因为X?+5无+6=;?+(2+3)x+2x3,所以x2+5x+6=(x+2)(x+3),所以方程

d+5x+6=O用因式分解法解得：石=-2,々=一3.又如f-5X+6=(X-2)(X—3),所

以方程/_5x+6=0用因式分解法解得再=2,%=3.

一般地，因为*+(a+/?)x+"=(x+a)(x+/?),所以f+(a+/?)x+a/?=0,即

(x+a)(x+))=0的解为X|=-a,x2=—b.

请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：

(1)W+8x+7=0

(2)X2-1U+28=0

7.不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：

(1)3x2+2x-3=0

(2)x2+x=6x+7.

8.解方程：(x+l)(x-3)=-1.

9.用适当的方法解方程

(1)(%-l)2=36(2)Y+8x+7=0

⑶X2+5=2^5X(4)(X—4)2=(5—

10.解方程

(1)X2+4JV-1=0

(2)2(x+3>=x(x+3)

(3)3x(x-1)=2—2.x

(4)2X2-4X-1=0

11.①解方程：(x-1)2=4

②解方程：x2+2x-3=0.

12.解方程：6x4—35x3+62x2—35x+6=0.

13.解方程：(x-2013)(x-2014)=2015x2016.

14.设方程4x2—7x—3=0的两根为xi,X2,不解方程求下列各式的值.

(l)(xi—3)(x2—3)；

(2)上+^^.

x}+1x2+1

(3)X1-X2.

15.选用合适的方法解方程：

(1)NBPF

(2)(2X-3)2-X2=0

16.(1)计算：6交一5加-6+36.

(2)计算：8(&+2)-

4b

(3)解方程：/+4x—2=0.

x-2y

17.已知：x2+4x+y2—6y+13=0,求~22的值.

x+y

18.如果X?—4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z的值.

19.用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)2x2+4x-l=0；(2)(y+2)2—(3y—1)2=0.

20.已知关于x的一元二次方程2x"-3--5=0,试写出满足要求的所有小b的值.

21.试比较下列两个方程的异同，x2+2x-3=0,x1+2x+3=0.

22.解方程：(x-l)2-2(x2-l)=0.(因式分解法)

23.解方程

(1)x2-3x+2=0

(2)(x+3)(x-6)=-8

(3)(2x+l)2=3(2x+l)

(4)2x2-x-15=0.

24.解下列方程:

(1)x2-3x=l.

(2)；(y+2)2-6=0.

25.解方程:(3x+l)2=9X+3.

26.解方程：(x+l)(x-l)=2V2x.

27.解方程：

⑴2%2_4%-3=0；⑵2(X-3)=3X(X-3).

28.用适当的方法解下列方程

⑴x2+10x+16=()；⑵3x(x-l)=2(x-l)

29.解方程

(1)x2+4x-5=0

(2)(x-3)(x+3)=2x+6.

30.已知最简二次根式与J4a-6是同类二次根式,求关于x的方程(a-2)x?+2x

-3=0的解.

31.解方程:

(l)x(x+8)=16;(2)(2x—l)2=x(3x+2)—7.

32.解关于x的一元二次方程：5x(x-3)=(x+l)(x-3).

33.解方程:

(1)x2-2x=4-

(2)(x-3)2+2x(x-3)=0.

34.解下列方程：

(1)x2-4x+l=0(2)4(x-l)-=x(x-l)

35.利用换元法解下列方程：

(1)(x+2)2+6(x+2)-91=0；

(2)x2-(1+273)x-3+73=0.

36.设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等

的实数根XI、X2,

(1)若X/+X22=6,求m值；

mx,mx,

(2)令T=^;~~求T的取值范围.

1-X]l-x2

37.选取二次三项式初2+法+4。。0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方.例如

①选取二次项和一次项配方：X2-4x+2=(x-2)2-2；

②选取二次项和常数项配方：x2-4x+2=(x-y/2)2+^2^2-4^,或

f—4x+2=(x+0产一(4+2近)尤；

③选取一次项和常数项配方：X2-4X+2=(五)2-x2.

根据上述材料，解决下面问题：

(1)写出f—8x+4的两种不同形式的配方；

(2)若f+J+D—3y+3=0,求盯的值；

⑶若关于x的代数式一(租+6卜+加一2是完全平方式，求〃z的值；

(4)用配方法证明：无论x取什么实数时，总有V+4X+5N1恒成立.

38.已知关于x的一元二次方程f一2x+m+2=0有两个不等的实数根不和x2

(1)求〃2的取值范围并证明％%=加+2；

（2）若小一引=2,求加的值.

39.解方程岳2+4瓜=2〃■时，有一位同学解答如下：

这里a=5/2,b=4+,c=2>/2，

/./>2-4«c=（4V3）2-4x72x272=32.

.—b士4护—4ac-4-B±yJy2.77,o

2a2V2

••%i=\/6+2,%2=--\/6一2.

请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.

40.已知关于％的方程"-3（3〃L1）X+18=O有两个正整数根（加是正整

数）.AABC的三边。、b>，满足C=26，nr+a2m-8a=0»nr+b2m-Sb=0-

求：

（1）加的值；

（2”ABC的面积.

41.4知最简二次根式Ja2_”与2/6。-12是同类二次根式,求关于％的一元二次方程

<9、135

a--|x?+二x-：=0的解.

I2；44

42.已知b,且满足(a+l)2=3—3(a+l),3+1)2=3—33+1),求的

值.

43.设p,q是整数，方程/一〃元+4=0有一个根为君-2，求p-q的值.

44.解下列关于x或y的方程。

⑴a2y+y=1

(2)b(x+3)=4

(3)(ax)2+4x2=1

(4)by2+1=2(b丰0)

45.用适当的方法解方程（2f+3）2=3（2r+3）.

46.用因式分解法解下列方程：

(DX2-12X+35=0;

(2)3(2x-3)2-2(2x-3)=0；

(3)9(x+2)2=16(2x-5/；

(4)(X+3)2-5(X+3)+6=0.

47.解方程

(1)36x2—16=0(2)8(1)3=1

(3)25-9(x-2『=0(4)/—2=-2

48.(换元思想)阅读材料：

,b

材料1若一元二次方程0¥-+法+，=09工0)的两根为再、X,,则％+工2=-一，

a

c

XX=—.

x2-a

ntri

材料2已知实数加、〃满足加一加一1=0，A?—”—i=o，且加彳“，求一+一的值.

mn

解:由题知〃？、〃是方程》2一%一1=。的两个不相等的实数根，根据材料1,得加+〃=1,

mn=­l.

.nmm2+n2(m+n)2-2mn1+2

••—i—=-------=--------------=----=-3.

mnmnmn-1

根据上述材料解决下面的问题：

(1)一元二次方程f一4%一3=0的两根为芭，/，则X+Z=4,玉*2=；

(2)已知实数〃满足2m2一2m—1=(),2/-2〃—1=(),且mH"，求m2〃+加〃2

的值；

(3)已知实数，，4满足/=3p+2,2/=3q+l,且〃工2力求p?+4q2的值.

49.我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”

的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解

把它转化为x(x2+x-2)=0,通过解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的

解.

(1)方程x3+x2-2x=0的解是X1=O,X2=,X3=

(2)用“转化”的思想求方程后m=X的解.

[x2—4y2=0

(3)试直接写出《的解_______.

\x+y=\

50.阅读理解:

解方程：x3—x=0•

解：方程左边分解因式，得

X(X+1)(X-1)=O,

解得再=0,W=1，*3=-1•

问题解决：

(1)解方程：4X3-12X2-X=0.

(2)解方程：(x2-x)2-3(x2-x)=0.

(3)方程(2x2—x+1)—2(2x——x)—5=0的解为

51.解方程：(x2+x)2+(x2+x)=6.

52.已知关于%的方程％2一3%+〃2=1.

(1)当团＜0时，解这个方程；

(2)当机＞0时，解这个方程.

53.已知：关于x的一元二次方程f+(〃?+l)x+2=0.

4

(1)若此方程有两个实数根，求加的最小整数值；

(2)若此方程的两个实数根为西，々，且满足X；+XM2=18—；＞一君，求加的值.

54.已知XH＞,》2-%=2,yJy=2,求炉V一/寸的值

2

%+/-11=0

55.(1)解方程组:

缶-4y+10=0

(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10)

d)(y+3)=(x+2)(y+12)

56.阅读小明用下面的方法求出方程2q-3x=0的

解法1：令或=t,则X=t2

原方程化为2t-3t2=0

，…r,2解法2：移项，得26=3;

解方程2t-3t~=0,得ti=0,t2=一；

3

l2方程两边同时平方，得4x=

所以6=0或§，

解方程4x=9x2,得x=0或

将方程«=0或§两边平方，

4

经检验，x=0或一都是原3

49

得X=0或g,

所以，原方程的解是x=0亘

4

经检验，x=0或六都是原方程的解.

9

4

所以，原方程的解是x=0或

请仿照他的某一种方法，求出方法x-后工？=-1的解.

57.Jx+8+5/2—x-4=0

58.尸户二

VXV2X-12

59.阅读材料：已知实数m、n满足(2m2+n2+l)(2m2+n2-l)=35,求2m?+r的值.

解：设2m2+矛=t，则原方程可化为(t+l)(t-l)=35,整理得t2-l=35,t2=36,

t=±6,

■«,2m2+n2>0>

2m*+n2=6.

上面这种解题方法为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一

个整体，则能使复杂的问题简单化，根据“换元法''解决下列问题：

(1)己知实数x、y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2—3)=72,求x?+y2的值；

(2)若四个连续正整数的积为360,求这四个连续的正整数.

60.按要求解方程：

(1)直接开平方法：4(t-3)2=9(2t-3)2

(2)配方法：2X2-7XW=0

(3)公式法:3x2+5(2x+l)=0

(4)因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)

(5)abx2-(a2+b2)x+ab=0(ab/O)

(6)用配方法求最值：6x2-x-12

61.解下列关于x的方程：

(1)ax+x=2(x-2)(awl)

22

(2))bx=x+l(b>l)

1一26x+18

62.解方程:+1=0

尤+3X2-2

63.已知关于x的一元二次方程“+1=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数的取值范围；

（2）若原方程的两个实数根分别为玉，x2,且满足㈤+同=2中2-15,求机的值.

64.解方程：（x+l）2-2（x+1）=3

65.阅读下面的解题过程，求丁-10y+30的最小值.

解：y2-10y+30=y2-10y+25+5=（y2-i（）），+25）+5=（y-5『+5,

W（y-5）2>0,即（y-5）2最小值是0；

/.I-10〉+30的最小值是5

依照上面解答过程，

（1）求病+2,“+2020的最小值；

（2）求4—r+2x的最大值.

66.阅读下面材料：

材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些

二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于％,）的二次三项式

ax2+bxy+cy2,如图1,将/项系数a=4•外,作为第一列，项系数c=q-c?,作

为第二列，若。心+小。恰好等于孙项的系数人，那么依2+g+C：/可直接分解因式为:

22

ax+bxy+cy=(a1x+cl^)(tz2x+c2y)

示例1：分解因式：x2+5xy+6y2

解：如图2,其中1=1x1，6=2x3,而5=lx3+lx2；

x1+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；

示例2：分解因式：x2-4xy-12y2.

解：如图3,其中1=1x1，-12=—6x2＞而-4=1x2+1x(-6)；

X2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；

材料二：关于X,＞的二次多项式依2+g+4+公+a+/也可以用，，十字相乘法，，分解

为两个一次式的乘积.如图4,将。=44作为一列，c=CG作为第二列，/=/力作为

第三列,若g+a2ci=b,aj2+a2f{=d,cj2+c2fx=e,即第列2列,第1、3列

和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：

ax2+bxy+cy~+dx+ey+f=(qx+qy+工X&x+jy+力)；

示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3.

解:如图5,其中1=1x1，3=(—1)x(—3),-3=(-3)x1；

满足-4=lx(-3)+lx(—1),-2=1x(-3)+1x1,8=(-3)x(-3)+(-l)xl;

_4-xy+3y~—2x+8y_3—(%—y_3)(x_3y+1)

请根据上述材料，完成下列问题：

(1)分解因式：%2+3x+2-;x2-+6y2+x+2y-20=；

(2)若x,机均为整数，且关于x,＞的二次多项式f+孙一6y2-2彳+叼-120可

用'‘十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出”的值，并求出关于8,丁的方程

丁+孙一6/一2%+根,-120=-1的整数解.

67.设机是不小于-1的实数，使得关于％的方程f+2(加一2)%+加2-3加+3=0有两个

实数根Xi，w.

(1)若工，+尤22=2,求〃？的值;

(2)代数式~-+：■一一有无最大值？若有，请求出最大值：若没有，请说明理由.

］一X11-JC2

68.已知关于x的二次方程+4=0.

(1)。为何值时，方程有两个不同的正根；

(2)。为何值时，方程只有一个正根；

69.已知方程(a-x)2=a(x?+x+a)-8a+16是关于x的一元二次方程.

(1)求。的取值范围；

(2)若该方程的一次项系数为0,求此方程的根.

70.利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：

(1)因式分解：x2—4x+4=.

(2)填空：

①当x=-2时，代数式/+4%+4=;

②当x=时，代数式32-6%+9=0;

③代数式/+1Ox+20的最小值是.

(3)拓展与应用：求代数式4+62-64一助+30的最小值.

71.解方程：mx2-3=x2+21)

72.阅读下列材料

l^Y

材料一：对于任意的非零实数X和正实数攵，如果满足§为整数，则称％是X的一个整商

系数，

JcY

例如：当x=2"=3时，—=2,则称3是2的一个整商系数：

3

3kx3

当x=2,Z=2时，—=1,则称一是2的一个整商系数；

232

11

当》=――，氏=6时，—=-1,则称6是——的一个整商系数；

232

给论：一个非零实数x有无数个整商系数其中最小的一个整商系数记为％(x)；

例如：攵⑵弓左卜;）=6,

材料二：对于一元二次方程依2+法+。=05*0）的两根西,工2,有如下关系：

请根据材料解决下列问题

（2）若关于x的方程：法+2=o的两根分别为外,々，且满足人（%）+攵（当）=12,求人

的值.

73.背景情境：

赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：

题目：已知实数〃、〃满足万—2。—1=（）,28一1=0,且出b,求工+白的值.

ab

解：根据题意得

4与〃为方程％2_21_1=0的两根，

ei+b=2,ab=—1

11a+b2-

abab-1

请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考.

解决问题：

（1）已知实数〃、。满足/一2。一1=0，〃一2匕一1=0,且出b,求£+?的值.

ba

（2）设实数。、匕分别满足26+11。+12=0，12〃+1m+2=0，且，活*1,求:的

b

值.

（3）已知关于x的方程（加—1»2+2/公+2=0有两个根玉、超满足

X-.X,-

1"+—+X|+%2=2.当△ABC的三边a、b、c满足。=2百，m2+a2m-Sa=0<

玉龙2

m2+b2m-Sb=Q（叶b）.求加的值以及AABC的面积.

74.设机是不小于一1的实数，关于x的方程1+2（加-2）》+机2—3机+3=0有两个不相

等的实数根玉、x2,

（1）若x：+x；=6,求，"的值;

„mx,2mx：2“a-

(2)求；~」+「卓-的最大t值.

1—Xj1—%2

75.设关于％的方程d-8》+。门一4|=2。-12恰有两个实数根，求。的取值范围.

76.已知实数X，y，Z满足xNy,x>z,且2x+y+z=2,xyz=2.

(1)求出x的最小值；

(2)求国一例一目的最大值.

77.解下列方程(组):

⑴3f+2&2+5x+l=2-152；

y/x-Jy=6

(2)<

历=7

78.阅读下列材料：

解方程：/-6/+5=0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设N=y,那么/=y2,于是原方程可变为y2-6y+5=0…①，

解这个方程得：yi=1,”=5.

当y=l时，f=l,，x=±l；

当y=5时，N=5,.\x=+y/5

所以原方程有四个根：xi=l,X2=-招=小，X4=-y/5-

在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.

(1)解方程(x2-%)2-4(x2-%)-12=0时，若设y=x2-x,则原方程可转化为；

求出x

—42元

(2)利用换元法解方程：---+^^=2.

2xx2-4

79.知识经验

我们知道，如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0：反之，如果两个

因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.

即：如果。妨=0，那么a=0或人=0

知识迁移

I.解方程：(x+l)(x+2)=0

解：(x+l)(x+2)=0,

，x+l=0或x+2=0,

**•X]=—1K]=—2.

II.解方程：x2+6x-7=o-

解：d+6x-7=0，

，X2+2X3X+32-32-7=01

，(x+3『—16=0,

(x+3>-42=(),

(x+3+4)(x+3-4)=0,

(x+7)(x-l)=0,

x+7=0或x-1=0,

王=-7或X2=1.

理解应用

(1)解方程：龙2一10%—39=()

拓展应用

(2)如图，有一块长宽分别为80。加，60c机的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四

个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500a后的无盖

的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长.

80.阅读理解：已知/-2〃7"+2“2-8〃+16=0，求m、n的值.

解：•，m?—2mn+2n°—8n+16=0

{rrT—2/WJ+”2)+(〃2—8"+16)=0

(m-n)2+(n-4)2=0

(m—n)2=0,(n-4)2=0

/.〃=4,=4.

方法应用：(1)已知/+。2一10。+4。+29=0，求a、b的值;

(2)己知x+4y=4.

①用含y的式子表示x：；

②若孙—Z2-6Z=10,求yf的值.

81.定义一种新运算"a*。"：当时，a*b=a+3b；当a<。时，a*b=a-3b.例

如：3*(T)=3+(-12)=—9,⑹*12=-6—36=T2.

(1)填空：(T)*3=；若%*(%+6)=—8,则》=；

(2)已知(3x—7)*(3-2x)>—6,求2的取值范围;

(3)小明发现，无论x取何值，计算(*2-2%+3)*(-/+2》-5)时，得出结果总是负数，

你认为小明的结论正确吗？请说明理由.

82.已知关于x的方程依2一(4%+1»+2一1=。(左为实数，且左。0)的两根为a,0.

aB

(1)若％=3,求方+一的值

Pa

(2)若a,6都是整数，求Z的值

83.广、工巨

VxV2X-12

84.解方程：3x2-2Y/X2-4X+7=12x-13

85.(1)若/+4彳+4+/一8,+16=0,求工的值；

x

(2)若x?+2/-2孙+2y+l=0,求x+2y的值；

(3)己知a、b、c是△ABC的三边，且满足/_8Z?-10a+41=0，求AABC最长边

取值范围.

86.阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3

的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如/一2孙+尸一16,我们细心观察这个式子就

会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分

解.过程如下：x2_2D+y2_]6=(x-y)2—16=(x—y+4)(x—y—4),这种分解因式

的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题:

1.知识运用：

试用“分组分解法”分解因式：V—V+xz—yz；

2.解决问题：

(1)已知a,b,c为^ABC的三边，且。2+2出7=c2+2ac，试判断△ABC的形状.

(2)已知四个实数a,b,c,d,满足存卜#d,并且

a2+ac=I2k,b2+bc=l2k,c2+ac=24k,d2+ad=24&,同时成立.

①当k=l时，求a+c的值

②当k用时，用含有a的代数式分别表示b,c,d(直接写出答案即可)

87.已知纵b、c是等腰△A8C的三边长，其中a=4,人和c是关于x的方程N-,内+3小

=0的两根，求，”的值.

88.阅读下列材料，完成相应任务：

我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法"解一元二次方程，对于关于x的一元二

次方程/+冲+4=0,还可以利用下面的方法求解.

将方程整理，得%(%+〃)=—%................第1步

变形得［x+5-+=...................第2步

得+=—q-................第3步

于是得"歹=圉"，即(x+9…第4步

当p2—4qN0时，得x+K=±二包.................第5步

22

得元_〃+J024q*--p-dpjq............第6步

1222

当p2—4q<0时，该方程无实数解.......................第7步

学习任务：

(1)上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是；以第4步到第5步将一元

二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是.

(2)请用材料中提供的方法，解下列方程：

①/+10工+9=0；②2f+6x-3=().

89.已知a,b,。为有理数，且多项式/+加+"+c能够写成(f+3x-4)1x-［的

形式.

(1)求4Q+C的值.

(2)求助一2/7一。的值.

(3)若。，b,c为整数，且CNQ>1,试求a,b,c的值.

3

90.解方程d+3x--------=9.

x+3尤―7

91.阅读:对于两个不等的非零实数a、b,若分式")(”一»的值为零,则x=。或x=b.

X

又因为(x-份=厂-(a+Z?)x+"=九+无一g+与，所以关于x的方程

XXX

X+敌=〃+/?有两个解，分别为玉=〃,工2=。.

X

应用上面的结论解答下列问题：

(1)方程x+"=q的两个解分别为％=-1,%=4,则〃=；q=；

X

3

(2)方程x+—=4的两个解中较大的一个为；

X

(3)关于x的方程2%+卫士匕工=2〃的两个解分别为即々(王〈龙2)，则玉=，

2x+l

92.阅读下列材料：为解方程》4一%2一6=0可将方程变形为卜2)2一％2-6=0然后设

》2=y,则(一)2=洛原方程化为y2-y-6=0①，解①得%=-2,%=3.当X=-2

时，工2=-2无意义，舍去；当当=3时，d=3,解得x=±7L.••原方程的解为％=6,

x2——5/3;

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，

则能使复杂的问题转化成简单的问题.

利用以上学习到的方法解下列方程：

(1)一2%)~一5*2+10*+6=0；

⑵3x2+15x+27^+5%+1=2-

93.设机是不小于—1的实数，关于x的方程/+2(加一2)%+“一3m+3=0有两个不相

等的实数根后方,七.

(1)若工：+君=6,求加值；

fmx.inx.

(2)令T=:--—，求T的取值范围.

1-Xj1—x2

94.阅读如下材料，完成下列问题：

材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：

X2-2%+3=X2-2X+12-12+3=(X-1)2+2.因为(X—l^NO,所以(x—+222,

所以，当x=l时，原式的最小值为2.

材料二：对于实数a,b,若。＞。＞0,贝！

完成问题：

(1)求/—4元—1的最小值；

9Y2_Qyl1Q

(2)求AC十ID的最大值;

x—4x+6

(3)若实数m,n满足加2—n2一6加+12”=27.求^^一3后的最大值・

95.解下列方程：

(1)(X-3)2-9=0(2)%2-2X-5=0

⑶3X(X-2)=2(X-2)(4)g(x)=ax2-ex

96.请选择适当的方法解下列一元二次方程：

(1)f-4=0

(2)x(x-6)=5

97.解方程：一2(-^匚]—3=0.

[2x-lJV2x-l)

98.已知关于x的一元二次方程/一2x+k-1=0.

(1)若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；

(2)已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；

(3)当RSABC的斜边长C=g,且两条直角边A和B恰好是这个方程的两个根时，求

RtAABC的面积.

99.己知关于x的方程％2-/^+/+71=0有两个不相等的实数根/、©，且(2/+%2)-

8(2/+x2)+15=0.

(1)求证：n<0;

(2)试用k的代数式表示/;

(3)当n=-3时，求k的值.

100.关于x的方程(k-l)x2+2kx+2=0

(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根.

(2)设xi,X2是方程(k—l)x2+2kx+2=0的两个根，记S=叵+叵+X1+X2,S的值能为2吗?

XiXi

若能，求出此时k的值.若不能，请说明理由.

参考答案

1.x=0或x=-L

2

【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的

关系求解方程即可.

试题解析:V(2x+l)2-(2x+l)=0,

(2x+l)(2x+l-1)=0,GP2x(2x+l)=0,

则x=0或2x+l=0,

解得：x=0或x=--.

2

3+Fl3—行

2.⑴％=0'"2；(2)%=k，4=亍；⑶玉=2,々=-1;(4)乂=1,%=4.

【解析】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解

法，合理选择解方程即可.

试题解析：(1)x2=2x

x2-2x=0

x(x>2)=0

XI=0,X2=2

(2)2a2-6a+l=0

Va=2,b=-6,c=l

A=b2-4ac=36-8=28>0

._-/?±”2-4公_6±2"_3土"

2a42

.3+近3-77

•,a\=2-，生=2-；

(3)(x-2)2=3x(x—2)

(x-2)[(x-2)-3x]=0

解得百=2，w=-1

(4)(y+l)(y+2)=6

y2+3y-4=0

(y-1)(y+4)=0

解得X=1,%=4

r40

3.x.=—，x)=—2

132

【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即

可.

试题解析：因式分解，得

开平方，得

l-2x=x-3,或l-2x=-(x-3)

4

解得X]=—,x=-2

132

7r—,

4.(1)xi=0,X2=—；(2)jq=6+2A/10,=6-2->/10

【解析】试题分析：（1）根据因式分解法解一元二次方程解方程即可;

（2）根据公式法解一元二次方程即可.

试题解析:(1)x(3x-7)=0,

x=0或3x-7=0,

7

Xl=o,X2=—；

3

(2)x2-12x-4=0

x2-12x+36=4+36

(x-6)2=4

5.(1)x{=—,x2=-4(2)4=1+发；X2=1-J2

【解析】

试题分析：(1)利用一般式求出a、b、c的值，代入根的判别式判断方程的解的情况，然后

用公式法其解即可；

(2)根据完全平方公式因式分解，然后可求解.

试题解析：⑴+10%—8=0

解：a=3,Z>=10,c=-8

.-10+V196-10±14

••x=-----------=--------

2x36

2

即X]=§,X2~-4

(2)X2-2X-1=0

解：r2-2H-l=2

••4=1+-^2;Xj=1—

6.(1)%1=-l,x2=-7(2)%]=4,x2=7

【解析】

试题分析：认真阅读题意，然后可总结“十字相乘法”的特点，然后利用此因式分解的方法求

解即可.

试题解析：(1)炉+8%+7=0

解：(x+l)(x+7)=0

x+l=0，x+7=0

解得罚=-1,%2=-7

(2)X2-11X+28=0

解：(x-4)(x-7)=0

x—4=0,x-7=0

解得玉=4,々=7

2

7.(1)Xl+X2=------，X|X2=-1(2)Xl+X2=5,X1X2=-7.

3

【详解】

bc

试题分析：一元二次方程根与系数的关系X|+X2=--,X「X2=一,直接确定系数a、b、C后

aa

代入求解即可.

试题解析：(1)设XI,X2是一元二次方程的两根，

2

所以Xl+X2=------,X|X2=-1；

3

(2)方程化为一般式为x2-5x-7=0,

设XI,X2是一元二次方程的两根，

所以Xl+X2=5,X1X2=-7.

8.XI-I+-J3，X2=l-y/3

【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：整理得：X2-2X=2,配方得：X2-2X+1=3,即(x-1)2=3,

解得：xi=l+逐,X2=l-6

9.(1)Xj-l,x2=-5；(2)x]--l,x2=-1；(3)石=々=石；(4)%1=3,*2=1

【解析】

试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求

解即可.

试题解析：(1)(X—I)?=36

x-1=±6

X1=7,X-)——5

（2）%2+8x+7=0

(x+7)(x+1)=0

玉=-7,=—1；

(3)f+5=2氐

移项得V—2后+5=0

玉=々=返；

(4)(x-4=(5-2x『

移项得(X—4『—(5_2x『=0

(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0

解得玉—3,x2—1

10.(1)xi=—2+5/5,X2=-2->/5(2)XI=-3,X2=-6(3)xi=l,X2=-y(4)xi=2

2-V6

X2=--------

2

【解析】

试题分析：(1)根据配方法求解一元二次方程即可；

(2)通过移项变形，然后再根据因式分解法求解即可；

(3)通过移项变形，然后再根据因式分解法求解即可；

(4)根据公式法直接可求解一元二次方程.

试题解析：(1)移项，得f+4%=1

配方，得x2+4x+4=l+4

开平方,存X+2=±4

所以X|=_2+6,X2=_2_4

⑵原方程变形为2(x+3)2—x(x+3)=0

即(x+3)(x+6)=0

x+3=0或x+6=0

所以xi=-3,X2=-6

(3)原方程变形为3Mx-l)+2(x—1)=0

x-l=0或3x+2=0

2

所以Xl=l,X2=---

3

(4)a=2,b=-4,c=-1

/-4ac=(对-4x2x(-1)=24>0

代入公式为：xJ土住=4±2#

2x24

所以x尸2+n,x,，-R

22

11.①Xl=3,X2=-1@X1=1,X2=-3

【解析】试题分析：①利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可；

②用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

试题解析：①两边直接开平方得：X-1=±2,

x-1=2或x-1=-2,

解得：X|=3,X2=-1.

②x2+2x-3=0

(x+3)(x-1)=0

.*.Xl=l,X2=-3.

12.原方程的解为Xl=2,X2=—,X3=3,X4=-.

23

【详解】

试题分析:本题主要考查利用整体换元法解高次方程，先将方程两边同时除以X2,得6/—35x

+62—?+5=0,然后分组提公因式可得:612+1)—++62=0,此时设

11

尸工+一，则厂0+==)，2—2,原方程可化为:6(>2—2)—35)，+62=0,解方程求出乂然后把求

XX"

出的y值代入y=X+L,得到关于X的方程，然后解方程即可求解.

X

经验证x=0不是方程的根，原方程两边同除以x?,得6x?-35x+62-生+3=0

Xx~

BP6^X2H—y1—35H—)+62=0.

设丫=%+',贝+J7=y2-2,

XX

原方程可变为6(y2-2)—35y+62=0.

5g510

解得yi=5，y2--.

当X+'=3时，解得Xl=2,X2=—；

x22

,110……1

当x+—=一时，解得X3=3,X4=—.

x33

经检验，均符合题意.

原方程的解为X|=2,X2=—,X3=3,X4=—.

23

13.原方程的解为xi=4029,X2=-2.

【分析】

根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组

相―2013=2016fx—2013=—2015

i或J然后分别解方程组即可求解.

工一2014=2015-x—2014=—2016

【详解】

解：由题意得：

方程组｛…的解一定是原方程的解，解得x=4029,

x—2014=2015

x-2013=-2015

方程组1cz,的解也一定是原方程的解，解得x=-2,

x-2014=-2016

•••原方程最多有两个实数解，

二原方程的解为xi=4029,X2=-2.

1011r-z

14.(1)3；(2)——；(3)±—。97.

324

【详解】

37

解：(l)(xi—3)(x2—3)=XIX2—3(xi+X2)+9=-----3x—F9=3；

44

⑵

4