04高等数学讲义-第四章

04高等数学讲义-第四章LtDPAGEPAGE70第四章常微分方程§4.1基本概念和一阶微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程简单应用考试要求

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法．3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y''=

f（x，y'）和y''＝f（y，y'）．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理．6．掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。先求出对应齐次方程根据解的结构立刻可得非齐次方程通解再由故所求解例4 设内满足以下条件（1）求所满足的一阶微分方程（2）求出的表达式解：（1）由可知所满足的一阶微分方程为（2）将于是 例5 求微分方程的通解解：令原方程化为化简为再令最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点一、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令——一阶方程，设其解为,即，则原方程的通解为令的函数，则把的表达式代入原方程，得——一阶方程，设其解为则原方程的通解为二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2）1、 若为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当，也即线性无关时，则方程的通解为。2、 若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。3、 设分别是 的特解，则 的特解三、二阶常系数齐次线性方程为常数特征方程 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当特征方程有两个不同的实根 则方程的通解为 （2）当特征方程有而重根， 则方程的通解为 （3）当特征方程有共轭复根, 则方程的通解为 四、二阶常系数非齐次线性方程 方程 通解 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解,常见的的形式和相对应地的形式如下：1、,其中次多项式（1）若0不是特征根，则令 其中为待定系数。（2）若0是特征方程的单根，则令（3）若0是特征方程的重根，则令2、其中次多项式，为实常数（1）若不是特征根，则令（2）若是特征方程单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令3、或 其中次多项式，皆为实常数（1）若不是特征根，则令其中为待定系数为待定系数（2）若是特征根，则令五、欧拉方程（数学一）其中为常数称为n阶欧拉方程，令代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程典型例题求的通解解：令,原方程化为 属于一阶线性方程求下列微分方程的通解解 令，原方程化为 当当求的通解解 先求相应齐次方程的通解，其特征方程为特征根为，因此齐次方程通解为设非齐次方程的特解为为特征根，因此设,代入原方程可得，故原方程的通解为求方程的通解特征根为，因此齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为,由于题目中不是特征根，因此设，代入原方程可得解联立方程得，因此故原方程的通解为例5解解：令u＝，则，原方程变为解出＝例6设函数y＝y（x）在内具有二阶导数，且是y＝y（x）的反函数.试将x＝x（y）所满足的微分方程变换为y＝y（x）满足的微分方程；求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，的解.解（1）由反函数导数公式知即.上式两端关于x求导，得.所以。代入原微分方程得（*）（2）方程（*）所对应的齐次方程的通解为设方程（*）的特解为＝A+B，代入方程（*）求得A＝0，B＝－，故＝－，从而的通解是.由，得，故所初值问题的解为.例7．设f（x）＝x－，其中f（x）连续，求f（x）解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得再对两边关于x求导，得即属于常系数二阶非齐次线性方程.对应齐次方程通解，非齐次方程特解设代入方程求出系数A,B,C,D则得，故f（x）的一般表达式由条件和导数表达式可知f（0）＝0，可确定出因此例8已知，，是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.解：由线性微分方程的解的结构定理可得，，，是该方程对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为.设该方程为，代入，得.所以，该方程为，其通解为.§4.3微分方程的应用一、微分方程在几何问题方面的应用例1求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。解：设曲线y＝y（x）上任意一点M（x，y），则其切线方程为Y－y＝，故切线与y轴交点A的坐标为，由题意所以.这样，令解得，即，则例2设函数f（x）在上连续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝