高中数学第三章指数函数和对数函数本章达标检测含解析北师大版必修

PAGEPAGE10第三章指数函数和对数函数本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=3x21-x+lg(3xA.-13,1C.-13,2.函数f(x)=(3)x在区间[1,2]上的最大值是 ()A.33 B.3 C.3 D.23.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,第一、二、三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是 ()A.y=0.2x B.y=110(x2+2xC.y=2x10 D.y=0.2+log4.已知函数y=xa(a∈R)的图像如图所示,则函数y=a-x与y=logax在同一平面直角坐标系中的图像是 ()5.若m>n,则 ()A.0.2m<0.2n B.log0.3m>log0.3nC.2m<2n D.m2>n26.设a=1.21.7,b=0.31.2,c=log1.20.5,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x,则f(log94)的值为 ()A.-2 B.-12 C.128.已知函数f(x)=lg(1+4x2-2x)+12,则f(lg2)+flg1A.-1 B.0 C.1 D.29.当0<a<1时,不等式loga(4-x)>-log1ax的解集是(A.(0,+∞) B.(0,2) C.(2,4) D.(0,4)10.函数y=3x-3-11.已知x=12(51n-5-1n),n∈N+,则(x+1+A.3 B.4 C.72 12.若函数f(x)=-2x+7,x≤1,2+loga(x+1),xA.(1,2] B.(1,32C.[32,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知f(2x)=2x2-1,则f(1)=.

14.使不等式2x>2x成立的x的取值范围为15.如图所示,已知函数y=log2(4x)图像上的两点A,B和函数y=log2x图像上的点C,线段AC平行于y轴,当△ABC为正三角形时,点B的横坐标为.

16.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知:在室温25℃下,某种绿茶用85℃的水泡制,经过xmin后茶水的温度为y℃,且y=k×0.9085x+25(x≥0,k∈R).当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳,此时茶水泡制时间大约为min.(结果保留整数,参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln0.9085≈-0.0960)

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)化简求值:(1)lg2-lg14+3lg5-log32·log4(2)0.027-13--16-218.(本小题满分12分)设函数f(x)=12x-3,x<0,x,x≥0,不等式f(x)<1的解集为A,若集合B={x|2a≤x19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+bx(其中a,b为常数,a>0且a≠1,b>0且b≠1)的图像经过点A(1,6),B-1(1)求函数f(x)的解析式;(2)若a>b,函数g(x)=1ax-1bx+2,求函数g(x)20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)有最小值而无最大值,求f(x)的单调递增区间.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(lgx)2-2alg(10x)+3,x∈1100(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的最小值记为m(a),求m(a)的最大值.22.(本小题满分12分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有-M≤f(x)≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a·2x-2.(1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是不是有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围.

答案全解全析第三章指数函数和对数函数本章达标检测1.C2.C3.C4.C5.A6.B7.B8.C9.C10.C11.D12.B一、选择题1.C由题意可得1解得-13<x<1,故选C易错提醒本题要特别注意以下几点:(1)分母不为0;(2)被开方数不能为负数;(3)对数式的真数大于0.2.C由函数f(x)=(3)x在R上递增知,f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=(3)2=3,故选C.3.C将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算,可知选C.4.C由题中y=xa的图像知,0<a<1,∴y=a-x=1ax是R上的增函数,y=logax是(0,+∞)上的减函数,故选5.Ay=0.2x为减函数,若m>n,则0.2m<0.2n,A正确;y=log0.3x为减函数,若m>n>0,则log0.3m<log0.3n,B不正确;y=2x为增函数,若m>n,则2m>2n,C不正确;当m=1,n=-1时,满足m>n,但m2>n2不成立,D不正确.故选A.6.Ba=1.21.7>1.20=1,b=0.31.2∈(0,1),c=log1.20.5<log1.21=0,所以c<b<a.故选B.7.B∵log94=log3222=log32>0,且f(x)是奇函数,∴f(log94)=-f(-log又x<0时,f(x)=3x,∴f(log94)=-3-log32=-3lo8.C∵f(x)=lg(1+4x2-2x)+∴f(x)+f(-x)=lg(1+4x2-2x)+12+lg(1+4x2+2x)+12=lg(1+4x2-2x)+lg(1+4x∴f(lg2)+flg12=f(lg2)+f9.C∵-log1ax=logax,∴原不等式等价于loga(4-x)>loga又∵0<a<1,∴x>0,4∴原不等式的解集为(2,4),故选C.10.C设f(x)=3x-3-x3x+3-x,则f(x)的定义域为R,关于原点对称.且f(-x)=3-x-3x又f(x)=(3x)由3x>0得(3x)2+1>1,∴0<2(3x)2因此-1<3x即f(x)的值域为(-1,1),故选C.11.D∵1+x2=1+14(52n-2+5-2n)=14×(51n+5-1n)2,∴(x+1+x2)n=12(51n-5-112.B当x≤1时,f(x)=-2x+7为减函数,所以f(x)≥5.因为f(x)的值域是[5,+∞),所以当x>1时,f(x)∈[5,+∞),所以2+loga(x+1)≥5,即loga(x+1)≥3;若a>1,则有x+1≥a3恒成立,所以a3≤2,即1<a≤32;若0<a<1,则有x+1≤a3恒成立,此时无解.故选B二、填空题13.答案-1解析令2x=1,得x=0,因此f(1)=f(20)=2×02-1=-1,故填-1.14.答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析分别画出y=2x与y=2x的图像,如图所示由图像可得,x的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞).15.答案3解析依题意,AC∥y轴,所以AC=log2(4x)-log2x=2,又因为△ABC为正三角形,所以点B到线段AC所在直线的距离为32×2=3.设点B(x0,2+log2x0则点A(x0+3,3+log2x0).由点A在函数y=log2(4x)的图像上,得log2[4(x0+3)]=3+log2x0,即4(x0+3)=8x0,解得x0=3,所以点B的横坐标为3.16.答案7信息提取①y=k×0.9085x+25(x≥0,k∈R);②当x=0时,y=85.数学建模本题以中国传统文化——泡茶为背景,构建指数函数模型,通过指数与对数的关系解方程求解.本题求解时先根据已知条件求得k,从而得到函数y的解析式,然后列方程求得此时茶水泡制时间.解析由题意可知,当x=0时,y=85,即85=k+25,解得k=60,故y=60×0.9085x+25(x≥0).当y=55时,得55=60×0.9085x+25,即0.9085x=0.5,所以x=log0.90850.5=-ln2ln0.9085≈易错提醒在用换底公式求值时要注意掌握公式的正确形式,换底后的对数值是等于真数的对数值除以底数的对数值,而不是底数的对数值除以真数的对数值.三、解答题17.解析(1)原式=lg2+lg4+3lg5-log32×log23=3(lg2+lg5)-1=3-1=2. (4分)(2)原式=271000-13-(-1)-2×16-2+(28)34+1=310-1-1(-1)218.解析由x<0解得-2<x<0或0≤x<1, (4分)∴A={x|-2<x<1}.由A∪B=A,可知B⊆A,当B=⌀时,2a>a+1,∴a>1,满足题意;当B≠⌀时,2a≤a+1,2a>综上,a的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).(12分)19.解析(1)由f(x)的图像经过A,B两点得f(1∴a,b是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,解此一元二次方程得x1=2,x2=4, (4分)∴a=2,b=4或a=4,b=2,∴f(x)=2x+4x. (6分)(2)∵a>b,∴由(1)知,a=4,b=2,∴g(x)=14x-12x设t=12x,且x则14≤t≤2令h(t)=t2-t+2t∈14,由h(t)=t-122+74知,74≤因此函数g(x)的值域为74,4.20.解析(1)要使函数有意义,则1解得x<1,x所以函数f(x)的定义域为(-3,1). (4分)(2)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4]. (6分)设t=-(x+1)2+4,当-3<x<1时,0<t≤4, (8分)若函数f(x)有最小值而无最大值,则函数y=logat为减函数,则0<a<1,要求f(x)的单调增区间,则等价于求t=-(x+1)2+4在-3<x<1时的减区间. (10分)∵t=-(x+1)2+4的单调递减区间为[-1,1),∴f(x)的单调递增区间为[-1,1). (12分)21.解析(1)当a=1时,f(x)=(lgx)2-2lg(10x)+3=(lgx)2-2(lg10+lgx)+3=(lgx)2-2lgx+1=(lgx-1)2,由x∈1100,10,得-2≤lgx≤1,因此,当lgx=1时,f(x)min=0;当lgx=-2时,f(x)max=9.故f(x)的值域为[0,9]. (6分)(2)f(x)=(lgx)2-2algx-2a+3,x∈1100,10.令t=lgx,t∈[-2,1],则g(t)=t2-2at-2a+3. (8分)①当a<-2时,f(x)min=g(-2)=2a+7;②当-2≤a≤1时,f(x)min=g(a)=-a2-2a+3;③当a>1时,f(x)min=g(1)=4-4a.所以m(a)=2所以m(a)max=4. (12分)22.解析(1)当a=-2时,f(x)=4x-2·2x-2=(2令t=2x,因为x∈(0,+∞),所以t=2x>1, (2分)又函数y=(t-1)2-3的图像开口向上,其图像的对称轴为直线t=1,所以y=(t-1)2-3在(1,+∞)上单调递增,因此y∈(-3,+∞),即函数f(x)的值域为(-3,+∞); (4分)因此不存在常数M>0,使得-M≤f(x)≤M成立,所以f(x