2022-2023学年吉林省长春市高一年级上册学期期末数学试题2【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”.故选:D.2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式化简集合，再根据并集的运算即可求解.【详解】，，故.故选:D.3．下列函数既是奇函数，又在定义域内是减函数的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A,分析其单调性可判断；对于B，分析其奇偶性可判断；对于C，分析其奇偶性与单调性可判断；对于D,分析其单调性可判断.【详解】对于A，的定义域为，在与上单调递减，但在定义域内不是减函数，故A错误；对于B，设，则，故函数为偶函数，故B错误；对于C，设，定义域为，且,故为奇函数.又与在上都为减函数，故在上为减函数，故C正确；对于D，设，其定义域为，在定义域内不是减函数，故D错误.故选:C.4．设，则“”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦二倍角公式得到，求出或，从而得到故“”是“，”的必要不充分条件.【详解】，故，故或，解得：或，故“”是“，”的必要不充分条件.故选：B5．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇面.已知某扇面如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇面面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形弧长公式可构造方程组求得圆心角和大小扇形的半径，代入扇形面积公式中，作差即可得到扇面面积.【详解】由题意知：该扇面面积为一个大扇形面积减掉一个小扇形的面积，设大扇形的半径为，小扇形的半径为，则，设扇形的圆心角为，则外弧线长为，内弧线长，，，，该扇面面积.故选：B.6．若，，，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可得，再利用基本不等式可得，求关于的一元二次不等式即可求解.【详解】因为，所以，即，解得或（舍）.故，当且仅当时等号成立.所以的最小值为2.故选:C.7．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质、指数函数及正弦函数的性质比较即可.【详解】，即，，即，,即，故.故选:C.8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和差正弦公式和辅助角公式可化简已知等式求得，利用二倍角余弦公式得到后，利用诱导公式可求得结果.【详解】，，.故选：D.二、多选题9．下列函数存在零点且零点在区间内的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】对于ACD，分析其单调性，结合零点存在定理可判断；对于C，直接求零点可判断.【详解】对于A，在上单调递增，且,故函数在内有零点，故A正确；对于B，，故,故在内有零点，故B正确；对于C，在上单调递增，且，，故函数在内有零点，故C正确；对于D，在上单调递增，且，，故函数在内有零点，故D正确.故选:ABCD.10．下列命题是真命题的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数（其中且）的图象过定点C．函数的单调递减区间为D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】BD【分析】根据可求得的范围，即为定义域，知A错误；由恒成立可知B正确；根据对数型复合函数单调区间的求法可知C错误；令分段函数每一段单调递增且在分段处函数值大小关系符合单调递增关系即可构造不等式组求得D正确.【详解】对于A，的定义域为，即，，的定义域为，A错误；对于B，，图象过定点，B正确；对于C，令，由知：，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，的单调递减区间为，C错误；对于D，在上是增函数，，解得：，即实数的取值范围为，D正确.故选：BD.11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用.如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M（视为质点）从水中浮现时（图中点）开始计时，经过t秒后，盛水桶M运动到P点，则下列说法正确的是（

）A．当秒时，米B．在转动一周内，盛水桶M到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒C．当时，盛水桶M距水面的最大距离为米D．盛水桶M运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为米【答案】ABCD【分析】以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为轴建立平面直角坐标系,点距离水面的高度关于时间的函数为，根据题意可得，再逐项分析即可.【详解】如图建立平面直角坐标系,点距离水面的高度关于时间的函数为，由题意可得，解得.又筒车每分钟转动1圈，则.所以.由，解得，所以，则.当时，筒车旋转，即，故，故A正确；由，可得，故，解得.故盛水桶M到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒，故B正确；时，，因为，所以在上单调递增，所以，故C正确；设盛水桶M运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则,所以转动中两盛水桶高度差的最大值为米，故D正确.故选:ABCD.12．已知函数与的定义域均为，且，，为偶函数，则（

）A．函数的图像关于直线对称 B．C．函数的图像关于点对称 D．【答案】ACD【分析】根据为偶函数，可判断A；由题意可得，，求出的对称中心可判断BC；由的对称性可判断函数的周期为，故，赋值求解即可判断D.【详解】因为为偶函数，所以，故函数的图像关于直线对称，故A正确；因为，所以，即①.因为②，所以③.①+③，得，故函数的图像关于点对称，故C正确，B错误；因为函数的图像关于直线对称，所以.①-②，得，所以.所以，即函数的周期为.所以.在中，令，可得④，在中，令，可得，即⑤.⑤-④，得，故，故D正确.故选:ACD.【点睛】关键点睛：函数的对称性：若，则函数关于中心对称；若，则则函数关于对称.三、填空题13．__________．【答案】【详解】分析：根据诱导公式以及特殊角三角函数值得结果.详解：点睛：本题考查诱导公式，考查基本求解能力.14．已知函数，则______.【答案】0【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可.【详解】因为，所以.因为，所以.所以.故答案为:0.15．热搜度指网站从搜索引擎带来最多流量的关键词及其内容的热度，著名的物理学家牛顿在世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.统计学家发现热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低，假设事件的初始热搜度为，经过时间（天）之后的热搜度变为，其中为冷却系数.假设某事件的冷却系数，则经过______天后该事件的热搜度将降到初始的以下（参考数据：，天数取整数）.【答案】【分析】由可直接解不等式求得结果.【详解】由题意知：，当时，，即，，又，，即经过天后，该事件热搜度将降到初始的以下.故答案为：.16．已知等边三角形三个顶点分别在函数与图象上运动，且原点在线段上，则______.【答案】或##或【分析】由函数对称性可知，根据等边三角形性质可知；设，分别讨论在和上两种情况，与直线方程联立可求得，与直线方程联立可求得，由此可构造方程求得的值.【详解】在线段上，与均关于原点对称，则关于坐标原点对称，，又为等边三角形，；设所在直线为，则，①当在上时，，由得：，，；由得：，，，，解得：；②当在上时，，由得：，，；由得：，，；，解得：；综上所述：或.故答案为：或.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的对称性求解参数值的问题，解题关键是能够根据反比例函数的对称性，确定与的垂直关系，从而可利用的长度关系构造方程求解.四、解答题17．已知函数，（，且）．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明．【答案】(1)(2)函数为定义域上的偶函数，证明见解析【分析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果；（2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论.【详解】（1）由，则有，得．则函数的定义域为．（2）函数为定义域上的偶函数．令，则，又．则，有成立．则函数为在定义域上的偶函数．18．已知，且.(1)求的值；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）结合已知等式和角的范围可确定的正负，利用同角三角函数平方关系与已知等式构造方程组求得，由此可得；（2）利用二倍角正切公式可求得，利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式的求法直接求解即可.【详解】（1），，又，；则由得：（舍）或，.（2）由（1）得：，.19．已知函数.(1)用“五点法”画出在上的图象（要求列表、描点、画图）；(2)将的图象向下平移个单位，横坐标扩大为原来的倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的最小正周期与对称中心.【答案】(1)图象见解析(2)最小正周期，对称中心为【分析】（1）根据“五点法”依次列表、描点，即可作出函数图象；（2）根据三角函数平移和伸缩变换原则可求得；根据正弦型函数最小正周期可得；令，可解得对称中心横坐标，结合此时可求得对称中心.【详解】（1）列表如下：则可描点，作出图象如下图所示，（2）向下平移个单位得：，将横坐标扩大为原来的倍得：；将向左平移个单位得：；的最小正周期；令，解得：，此时，的对称中心为.20．已知函数，，且的最大值为.(1)求常数的值；(2)求的最小值以及相应的值.【答案】(1)(2)当时，【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到；根据，结合最大值可构造方程求得的值；（2）根据可知当时，取得最小值，由此可得最小值和对应的的值.【详解】（1），当时，，，解得：.（2）由（1）知：，且当时，，当，即当时，.21．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：x10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．(1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】(1)选②，(2)【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解；（2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案.【详解】（1）解：因为第10天的日销售收入为505元，则，解得，由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，函数模型：①；③；④都是单调函数，所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日销售量与时间的变化的关系式为；（2）解：由（1）知，所以，即，当时，，当且仅当时，即时等号成立，当时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值.22．设函数.(1)证明：在上单