2022年四川省自贡市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022年四川省自贡市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴

2.设函数f(x)在区间(0，1)内可导f(x)>0，则在(0，1)内f(x)（）．

A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

3.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

4.

5.

6.

7.

8.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且，则f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.19.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

10.设函数Y=e-x，则Y'等于()．A.A.-ex

B.ex

C.-e-xQ258

D.e-x

11.

12.

13.

14.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的阶数为

A.1B.2C.3D.415.设y=exsinx，则y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

16.

17.A.

B.

C.

D.

18.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

19.

20.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.28.

29.若函数f(x)=x-arctanx，则f'(x)=________.

30.

31.

32.

33.

34.

35.设f(x＋1)=4x2＋3x＋1，g(x)=f(e-x)，则g(x)=__________．

36.

37.将积分改变积分顺序，则I=______.

38.设函数f(x)=x-1/x，则f'(x)=________.

39.

40.三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

43.

44.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．45.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．46.47.求曲线在点(1，3)处的切线方程．48.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则49.

50.证明：

51.

52.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．53.求微分方程的通解．54.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

56.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.59.

60.四、解答题(10题)61.设函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d，问常数a，b，c满足什么关系时，f(x)分别没有极值、可能有一个极值、可能有两个极值?

62.

63.计算

64.

65.

66.确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点.

67.

68.

69.

70.求由曲线y=1-x2在点(1/2，3/4]处的切线与该曲线及x轴所围图形的面积A。

五、高等数学(0题)71.求函数

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

2.A本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于f(x)在(0，1)内有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

3.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

4.D

5.A

6.A

7.B解析：

8.B由导数的定义可知

可知，故应选B。

9.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

10.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

11.B

12.C解析：

13.C

14.B

15.C由莱布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

16.B

17.B

18.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

19.B解析：

20.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

21.1本题考查了一阶导数的知识点。

22.

23.x--arctanx+C本题考查了不定积分的知识点。

24.

25.

26.

27.

28.

29.x2/(1+x2)本题考查了导数的求导公式的知识点。

30.2

31.F(sinx)+C本题考查的知识点为不定积分的换元法．

由于∫f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，则du=cosxdx，

32.

33.11解析：

34.0

35.

36.ex2

37.

38.1+1/x2

39.1/3

40.

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.由二重积分物理意义知

43.

44.

45.

列表：

说明

46.

47.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

48.由等价无穷小量的定义可知

49.

则

50.

51.

52.函数的定义域为

注意

53.

54.

55.

56.

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q