一次函数在高考电学实验中的灵活应用

第第页一次函数在高考电学实验中的灵活应用电学实验是每年高考必考的重点考查内容，是综合考查学生理解能力和分析问题的能力，通过对该内容的考查可以提高学生严密的逻辑思维，从而为进入高校进一步学习理科知识打下坚实的基础.但学生对该内容得分率不高，学生在学习的过程中感觉比较困难，其中一个比较重要的原因是对数学知识的处理和迁移不够熟练.

一次函数的表达式为y=kx+b，表达式中：k是斜率，b表示纵轴的截距.在电学实验，如测电源电动势中U=E-Ir，1I=1E・R+rE，1U=rE・1R+1E等利用斜率和截距可求出电动势和内电阻及相关物理量.

题型一利用电流表和电阻箱测电源电动势和内电阻

用一个电压表和电阻箱，电路图如图1所示.

（1）计算法

改变电阻箱的阻值，读出两组数据（R1，I1）和（R2，I2），得到方程

E=I1（R1+r），E=I2（R2+r）.

解方程得到电动势和内电阻为

E=I1I2（R1-R2）I1-I2，r=I2R2-I1R2I1-I2.

（2）图象法

若用计算法，只取两个点，误差较大，所以用图象法误差较小，根据电路图，得到方程E=I（R+r），化简方程得

1I=1E・R+rE.

根据表达式画出函数图2所示，从函数图象可以得出：斜率k=1E，纵轴b=rE.

例题分析利用如图3所示电路，可以测量电源电动势和内阻，所用的实验器材有：待测电源，电阻箱R（最大阻值999.9Ω），电阻R0（阻值为3.0Ω），电阻R1（阻值为3.0Ω），电流表A（量程为200mA，内阻为RA=6.0Ω），开关S.

实验步骤如下：①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；③以1I为纵坐标，R为横坐标，作1I-R图线（用直线拟合）；④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b.

回答下列问题：（1）分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则1I与R的关系式为.（2）实验得到的部分数据如表1所示，其中电阻R=3.0Ω时电流表的示数如图4所示，读出数据，完成下表.答：①，②.（3）在答题卡图5的坐标纸上所缺数据点补充完整并作图，根据图线求得斜率k=A-1Ω-1，截距b=A-1.（4）根据图线求得电源电动势E=V，内阻r=Ω.

表1R/Ω1.02.03.04.05.06.07.0I/A0.1430.125①0.1000.0910.0840.077I-1/A-16.998.00②10.011.011.913.0解析根据电路图，写出表达式.根据闭合电路欧姆定律

E=（I+IRAR1）（RAR1RA+R1+R0+R+r），

所以得到1I=RA+R1ER1・R+1E[RA+RA+R1R1（R0+r）]，

代入数据得到1I与R的方程为

1I=3E・R+3E（5+r）.

从表达式可以得出斜率k=3E，

综上所述，导数解题的优点就是思路简明，优势就是求解物理量的高阶变化规律.教师应该注意这一最实用的处理物理问题的数学工具.纵轴截距为b=3E（5+r）.

根据电流表示数I=0.110A，所以得到1I=9.09A-1.

从图表中数据画出1I与R的图象如图所示，从图象读出k=1.0A-1Ω-1，截距为b=6.0A-1.

斜率表达式为k=3E，所以E=3k=31.0=3.0V.

从截距表达式b=3E（5+r），得出内阻表达式为r=Eb3-5，代入数据得到内阻R=1.0Ω.

学生答题错误原因分析：

（1）不能根据闭合电路方程：E=I总（r+R外）写出表达式.写表达式时，有同学想当然把电流表内阻忽略，导致表达式错误.

（2）化简表达式时，由于表达式中含有物理量I、R0、R、R1、RA及r，因为物理量较多，不能单独把自变量I提出，不能推导出函数表达式.

（3）不明确表达式中截距和斜率的物理含义，不能准确求出电动势和内阻的值.

（4）描点马虎，作图不规范，导致纵轴截距取值偏差过大，从而导致斜率计算误差太大.部分同学作图时，没有把偏差较大的点去掉，画出的是曲线，从而无法计算斜率.

（5）电路图复杂，物理量较多，没有认真分析题目的解题思路，不能灵活应用公式.

题型二测金属的电阻率

题型特点要求设计电路测Rx，测Rx的主要方法是伏安法，表达式为R=ρLS.但题型可以变化为只给出一个电流表而没有电压表，或者给出电压表而不给出电流表，再加相应器材.图象法求相应物理量是电学实验中的重要方法，因为可以减小误差，用测量的数据描点，找出函数图象求出相关物理量.

例题分析某实验小组利用实验室提供的器材探究一种金属丝的电阻率.所用的器材包括：输出为3V的直流稳压电源、电流表、待测金属丝、螺旋测微器（千分尺）、米尺、电阻箱、开关和导线等.

（1）他们截取了一段金属丝，拉直后固定在绝缘的米尺上，并在金属丝上夹上一个小金属夹，金属夹可在金属丝上移动.请根据现有器材，设计实验电路，并连接电路实物图6.

（2）实验的主要步骤如下：

①正确链接电路，设定电阻箱的阻值，开启电源，合上开关；

②读出电流表的示数，记录金属夹的位置；

③断开开关，读出接入电路中的金属丝的长度，同时移动金属夹的位置，合上开关，重复②的操作.

（3）该小组测得电流与金属丝接入长度关系的数据，并据此绘出了图的关系图线，其斜率为A-1・m-1（保留三位有效数字）；图线纵轴截距与电源电动势的乘积代表了的电阻之和.

（4）他们使用螺旋测微器测量金属丝的直径是0.200mm.图7中图线的斜率、电源电动势和金属丝横截面积的乘积代表的物理量是，其数值和单位为（保留三位有效数字）.

解析从实验的步骤可以看出，需要测量电流I和金属丝的长度L，而电阻箱在电路中起保护电路的作用.所以实物图连接如图8所示.

根据闭合电路欧姆定律E=I（Rx+R0+RA），其中Rx=ρLS，所以1I=ρES・L+R0+RAE.从表达式可以看出，以1I为纵轴，以L横轴，表达式是一次函数，可以看出斜率k=ρES，纵轴截距b=R0+RAE.斜率大小从图象中可以求出为10.5（10.4～10.6）.

图线纵轴截距与电源电动势的乘积用A代表为

A=bE=R0+RAE・E=R0+RA，

即代表的是电阻箱和电流表的内阻之和.

斜率、电源电动势和金属丝横截面积的乘积代表的物理量用B表示：

B=kES=ρES・E・s=ρ，

即B代表的是金属丝的电阻率.

所以ρ=kES=10.5×3×π（0.200×10-32）Ω・m

=9.89×10-7Ω・m.

错误原因分析：

（1）不知题目中电阻箱在电路中的作用，从而不能连出正确的实物图.

（2）输出为3V的直流稳压电源，没有内阻，但大部分学生没认真审题把内阻考虑进去，表达式中多出一个未知量而无法求解.

（3）计算斜率时取点不准确，部分同学两个点之间取得过短，导致计算出的结果误差较大.

（4）写表达式时，不会整体的思想考虑电动势等于外电路所有电压之和，即E=I（Rx+R0+RA）.

（5）读题马虎大意，想当然把电流表电阻忽略.

（6）计算不准确，计算过程忘记单位换算.