重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数解答（一）

重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编:

二次函数解答(一)

1.(2021•北陪区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数，=/+bx+c的图

象与直线4B交于4B两点，A(1,--1),B(-2,0),其中点/是抛物线y=

的顶点，交了轴于点D

(1)求二次函数解析式；

(2)如图1,点尸是第四象限抛物线上一点，且满足BPWAD,抛物线交牙轴于点C.M

为直线“夕下方抛物线上一点，过点〃作PC平行线交2尸于点M求最大值；

(3)如图2,点。是抛物线第三象限上一点(不与点A。重合)，连接B。，以BQ

为边作正方形BEFQ,当顶点E或尸恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q

点的坐标.

图1图2

2.(2021•江北区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线kW+2X-3交x

(1)如图1,连接9。，过点/作y轴的平行线交直线于点刍求线段核的长；

(2)如图1,点尸为第三象限内抛物线上一点，连接ZP交于点。，连接BP,记

S,

△4。尸的面积为Si，的面积为S”当号人的值最大时，求出这个最大值和点P

的坐标;

(3)在(2)的条件下，将抛物线尸/+2x-3沿射线8c方向平移血个单位，平移

后的抛物线与原抛物线交于点G,点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一

点，是否存在以点。、G、M、"为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点7V的坐

标，若不存在，则请说明理由.

3.(2021•北错区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线尸与x

轴交于4。(-6,0)两点(点月在点。右侧)，交y轴于点5连接4C,且力。

=4.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若尸是BC上方抛物线上不同于点力的一动点，连接E4,PB,PC,求当Sc

-白有最大值时点尸的坐标，并求出此时的最大值•

(3)如图2,将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O,〃是平移后的抛物线

上一动点，Q是直线6c上一动点.当/,M,B,。组成的四边形是平行四边形时，请

直接写出此时点。的坐标.

4.(2021•北需区校级模拟)如图，抛物线尸旦2-警lx-遮与x轴交于点/和点

B,与y轴交于点G经过点。的直线/与抛物线交于另一点E(4,a),抛物线的顶

点为点Q,抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求直线的解析式.

(2)如图2,P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点连接杼;

PC.当△尸伊的面积最大时，求点尸的坐标及△尸C户面积的最大值.

(3)如图3,连接8,将(1)中抛物线沿射线8平移得到新抛物线y',y'经过

点。，/的顶点为点以，在直线。〃上是否存在点G,使得△OQG为等腰三角形？若

存在，求出点G的坐标.

图1图2图3

5.(2021•北陪区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线片#+x-4与x

轴交于点4B,与y轴交于点。.

(1)求△力2。的周长；

(2)已知尸是直线力。下方抛物线上一动点，连接24,PC,求△24。面积的最大值；

(3)如图2,点。为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E,〃是直线4。上一点，

在平面直角坐标系中是否存在一点M使得以点。，E,M,"为顶点的四边形为菱形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

6.(2021•渝中区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y-|x?+bx+c与x

轴相交于5(6,0),8(-2,0)两点，与y轴交于点C,。为抛物线顶点，连接4D.

图1图2图3

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,尸为直线AD下方抛物线上的一个动点(不与4。重合)，连接“4,

PD,求△420面积的最大值及相应点P的坐标；

(3)如图3,连接/。，将直线力。沿射线D4方向平移2岁个单位得到直线/,直线

/与抛物线的两个交点分别为",N(M在7V的左侧)，在抛物线对称轴上是否存在点K,

使△C7M女是以KC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点”的坐标；若不存在，

请说明理由.

7.(2021•渝中区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线尸(a

*0)与x轴相交于4,B两点,与y轴交于点GB点坐标为(4,0),。点坐标为

(0,2).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点尸为直线上方抛物线上的任意一点，过尸作轴交直线于点F,

过尸作四//?轴交直线3c于点E,求线段防的最大值及此时尸点坐标；

(3)将该抛物线沿着射线力。方向平移坐个单位得到新抛物线外"是新抛物线对称

轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点。，使以点A。、Q、N为顶点的四边形为

矩形？若存在，请直接写出点。点的坐标；若不存在，请说明理由.

8.(2021•九龙坡区模拟)如图1,抛物线厂办2+bx+4“交x轴于/(-3,0),B

(4,0)两点，与尸轴交于点G连接30.点尸是第一象限内抛物线上的一个动

点，设点。的横坐标为m,过点尸作RkUx轴，垂足为点M,PM交BC于点Q,过

点P作PN;BC,交3。于点M

(1)求此抛物线的解析式；

(2)请用含功的代数式表示尸乂并求出RV的最大值以及此时点尸的坐标;

(3)如图2,将抛物线尸=加+/^+4T沿着射线8的方向平移，使得新抛物线y过

原点，点。为原抛物线y与新抛物线P的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，

点尸为新抛物线y上一动点，求点尸使得以4D,E,尸为顶点的四边形为平行四边形,

请直接写出点尸的坐标，并写出一个少点的求解过程.

9.(2021•北储区校级模拟)如图，已知抛物线尸a』+6x-4与x轴交于4,B两点，

与y轴交于点G且点力的坐标为(-2,0),直线4。的解析式为尸方x-4.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,过点A作AD"B。交抛物线于点D(异于点A),尸是直线BC下方抛

物线上一点，过点尸作R2//y轴，交/。于点。，过点Q作于点尺连接PR.求

△尸Q?面积的最大值及此时点。的坐标.

(3)如图2,点。关于x轴的对称点为点C,,将抛物线沿射线CA的方向平移2巡

个单位长度得到新的抛物线V,新抛物线V与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴

上有一动点M平面直角坐标系内是否存在一点M使得以。，M,N,K为顶点的四边

形是矩形？若存在，请直接写出点X的坐标；若不存在，请说明理由.

10.(2021•北硝区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线尸一冷乂24升2

与x轴交于/、B两点(点/在点B的左侧)，与y轴交于点G点尸为直线夕。上方

抛物线上一动点.

(1)求直线的解析式；

(2)过点工作40//交抛物线于。，连接。4,CD,PC,PB,记四边形40月的

面积为Si，△38的面积为S2,当S]-S2的值最大时，求尸点的坐标和S|-4的最

大值；

(3)如图2,将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点。，G为平移后的抛

物线的对称轴直线/上一动点，将线段/。沿直线平移，平移过程中的线段记为AC

(线段4。始终在直线/左侧)，是否存在以4,C,G为顶点的等腰直角△4CG?若

存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，

请说明理由.

U.(2021•潼南区一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸3^+及-3交x轴于4

3两点(点为在点3的左侧)，交y轴于点一次函数尸x+1与抛物线交于4D

两点，交尸轴于点G且。(4,5).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸是第四象限内抛物线上的一点，过点作交/。于点。，求尸。的

最大值以及相应的尸点坐标；

(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛

物线与原抛物线交于点R,"点在原抛物线的对称轴匕在平面内是否存在点N,使得

以点力、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出7V点的坐标；若不存

在，请说明理由.

备用图

12.(2021•沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系中，抛物线？=4/-£弥+3与x轴交

于4B两点(点/在点2的左侧)，交了轴于点C点。是抛物线上位于直线下

方的一点.

(1)如图1,连接CD,当点。的横坐标为5时，求So。。；

(2)如图2,过点。作DEI/A。交BC于点E,求。后长度的最大值及此时点。的坐

标；

(3)如图3,将抛物线尸岁-夕+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得

到新抛物线新抛物线与原抛物线的交点为点忆G为新抛物线的对称轴

上的一点，点〃是坐标平面内一点，若以GF,G,H为顶点的四边形是矩形，请求

13.(2021•秀山县模拟)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式-

-画出函数图象--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题”的学习过

程.在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线或平移的方法画出了所学的函数图象.以

F是我们研究函数，(-5<x<-l)的性质及其应用的部分过程，请

你按要求完成下列问题.

(1)列表：函数自变量x的取值范围是-5Wx4-l,下表列出部分x、y的对应值:

x-5-4-3-2-1

y034ao

填出表格中横线处的数，根据表格中的数据计算出：a=；m=.

(2)描点、连线：在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象

并写出这个函数的一条性质：;

(3)已知函数慰=-畀2(-5<x<2)的图象如图所示，直接写出不等式性》不

的解集为.(结果保留1位小数，误差不超过0.D

14.(2021•渝中区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线产一#+畀2

与x轴相交于4B两点，与y轴交于点C

(1)求A。两点的坐标；

(2)点P为直线3C上方抛物线上的任意一点，过尸作PFWx轴交直线BC于点F,

过尸作依//y轴交直线B。于点E,求线段吹的最大值及此时。点坐标；

(3)将该抛物线沿着射线方向平移零个单位得到新抛物线y',"是新抛物线对

称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以点氏C、Q、N为顶点的四边形

为菱形，若存在，请直接写出点。点的坐标；若不存在，请说明理由.

15.(2021•沙坪坝区模拟)如图，在平面，在平面直角坐标系中，地物线

与X轴交于点力(-1,0),6(3,0)与y轴交于点C

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点尸是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接阳，PC,以PB,尸。为邻边作

平行四边形。形〃，求四边形。/如面积的最大值；

(3)将该抛物线沿射线方向平移竽个单位，平移后的抛物线与尸轴交于点片

点M为直线口。上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N,使以点。，E,M,N

为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

16.(2021•九龙坡区模拟)在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、

画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=l』-2x+c|的

过程.

(1)已知函数过点(1,4),则这个函数的解析式为；

(2)在(1)的条件下，在平面直角坐标系中，若函数y=|f-2x+c|的图象与x轴有

两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：(写

出一条即可).

(3)结合(2)中你所画的函数图象，求不等式|W-2^c|学|*1|的解集.

X

17.(2021•沙坪坝区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线G：尸-4力+次什，

4

的图象与坐标轴交于4B、C三点,其中点力的坐标为(0,8),点B的坐标为(-

4,0),点。的坐标为(0,4).

(1)求该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)若点尸为该抛物线在第一象限内的一动点，求面积的最大值；

(3)如图2,将抛物线G向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线G，M

为抛物线G上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N,使得四边形

DMCN为菱形,若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

18.(2021•渝中区模拟)如图，已知抛物线y=a/+4x+c与直线相交于点/(0,1)

和点3(3,4).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设。为直线45上方的抛物线上一点，当△45。的面积最大时，求点。的坐标；

(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线＞=/一+优户6(名片0),

平移后的抛物线与原抛物线相交于点。，是否存在点反使得是以为腰的等腰

直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

X

19.(2021•九龙坡区模拟)如图，已知抛物线尸=/+2?x+2的图象与x轴交于力，B两

点，与y轴交于点C-1,3是关于x的一元二次方程/+丘2=0的两个根.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)过点/作/。//BC交抛物线于点。，4。与y轴交于点P为直线5。上方抛

物线上的一个动点，连接期交3。于点E求S△尸忙的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点乂是否存在以点4

M,N,P为顶点的四边形是以24为边的矩形？若存在，请直接写出点》的坐标，若不

备用图

20.(2021•渝中区模拟)在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函

数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是张华同学研究函数y=

42-7(x4-2或x>2)

，0’”图象、性质及其应用的部分过程，试解答下列问题：

-x?+l,(-2<x<2)

(1)请写出下列表中功、A的值，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

x…-----1-。工132”3…

222

①.

②.

X2-7,(X4-2或X》

(3)若直线尸取-1,(长＞0)与函数尸的图象至少有

-x2+l,(-2<x<2)

3个交点，则立的取值范围为

参考答案

1.【分析】(1)设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；

(2)先用两点间距离公式求得尸。的长，再利用相似三角形将“V用含加石的式子表

示，并把必V表示成关于〃点横坐标的二次函数，从而求得的最大值；

(3)先设出点。的坐标，再利用三角形全等用含点。横坐标的式子表示应尸的坐标,

最后根据点氏口在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点。的横坐标，进而求得点。的

坐标.

【解答】⑴设抛物线的解析式为尸a(x-1)2--1

由于抛物线经过点B(-2,0),

„g

；.a(-2-1)--^=0,

解得：a得,

，二次函数的解析式为y=#-x-4.

(2)易知：。点坐标为(0,-4),

可求得直线AD的函数解析式为y=-4-4,

由于BPWAD,故可设直线与尸的函数解析式为:

y=-^x^b,

又BP经过点B,得：-(-2)+b=0,

解得：乃=一1,

从而B尸的解析式为y=--1x-1,

该直线与抛物线的交点P的坐标为（3,--|）,

又可求得点。（4,0）,

.•.尸。=,（3-4）2+（卷-。产年,

过点〃作MEIIx轴交直线8P于点E,

设点"的坐标为（m,n）,则点E的纵坐标为n,

•・•点£的横坐标为-2n-2,

ME——222—2—m.

-MEWBC,MNIIPC,

:'乙E=/_PBC,ZMNE=ZBPC,

:AMNESRCPB,

.MN-ME

,,记武，

必V=22i二2-四尸。=一返§(/n+222+2)

612

=-2^29(jn+2222-2222-8+2)

12

=-哥吟)噫。

（3）设点。的坐标为（a,b）,过点Q作QM//X轴，过点B作与"//y轴，交Q"

于点M,过点尸作FNIIy轴交。”于点N,过点尸作FK\\x轴交助于点K,

：.QN04EKB,

NF=KB=MQ=a+2,QN=FK=BM=-b,

点尸的坐标为(a-b,a+ZM-2),

点后的坐标为(-2-6,a+2),

当点尸在抛物线的对称轴上时，a-b=\,

'.a-(-^-a2—a—4)=1,

解得：a=2-J而(舍去正值)，

得点。的坐标为(2-J而，1-J而)，

当点£在抛物线的对称轴上时，-2-b=l,

-2-(—a2-a-4)=1,

2

解得：a=l-V3(舍去正值)，

得点。的坐标为(1-V3--3).

2.【分析】(1)作轴交6。的延长线于点后，先求出4B、。三点坐标，从而

可得3。=为门，XOCIIAE,根据平行线分线段成比例可得黑关，解得。£=如,

UACE

从而BE=BC+CE=472；

(2)作PFIIAE交BC于F,先求出3c解析式，再用同一个字母a表示出P、尸的坐

标，继而根据△。/W△。区4,得到萼耳，用含a的式子表示出萼的值，进而根据

DAAEDA

SiDP

同高不等底的两个三角形面积比等于其底之比得到廿=需，利用二次函数的解析式即

S2DA

可得到结论；

(3)联立直线/a8C的解析式可得点。坐标为(一|，《)，再求出平移后的二

次函数表达式，联立平移前后的两个二次函数表达式可求得点G坐标为(-1,-4),

接下来分成两类情况讨论：①。G为菱形的边长，②。G为菱形的对角线长，画出图形，

利用菱形的对角线性质和中点坐标公式列出方程分别求解即可.

【解答】解：(1)如答图1所示，作/后//y轴交的延长线于点后.

令产=9+2牙-3中产=0,得方程系+2才-3=0,解得：x}=-3,局=1;

令_/=9+2*-3中x=0,得y=-3,

则得点/(1,0),B(-3,0),C(0,-3).

:,BO=OC=3,04=1.

,••""=90°,

•*-BC=VBO2K)C2=V9+9=3^2-

又OCIIAE,

哈普，解得：呀心

故线段BE=BC+CE=3A/2-+72=啦.

（2）如答图2,在答图1基础上，作PF1AE交BC于F.

设直线的解析式为y=kx+b,代入B（-3,0）、C（0,-3）,

f-3=bfk=-l

\0=-3k+b解得:

Ib=-3

则直线BC的解析式为y=-x-3.

设点尸坐标为（a,a2+2a-3）,点户坐标为（a,-a-3）,点E坐标为（1,-4）,

贝lj母'=-a-3-(a2+2a-3)=-a2-3a,AE=4.

由PFIIAE,可得△DFPMDEA,

..芈里=-a2』=」（a3）2E.

DAAE44’2'16

又△BOP与△43。的底可分别看成是。RDA,而高相等,

•・・当a=一时，袈有最大值，最大值为盘，此时点尸坐标为（洛，邛）.

2s21624

（3）存在以点。、G、M、"为顶点的四边形是菱形，理由如下：

在（2）的条件下，点尸坐标为（Y，芈）.

24

设直线/尸表达式为y=mx+a代入4尸坐标，得：

0=m+nm=^

•153，解得：＜

丁节mF,3

n-T

则直线AP表达式为y=yx^-.

.3

y=-x-3X-

T即点。坐标为（洛，手）.

联立33,解得:

12,0b

y~

•.,y=A2+2x-3=(x+1)2-4,

又将抛物线尸系+2牙-3沿射线3c方向平移&个单位，实际上等同于将该抛物线向

右平移1个单位，再向下平移1个单位，

则新抛物线的解析式为了=丁-5.

fy=x2-5,r,」x=T

联立c,解得.

,y=x2+2x-3ly-4

即点G坐标为（-1,-4）.

（为了便于观察，现将图象简化，略去平移前的函数图象，只保留平移后的图象）.

平移后的二次函数解析式为5,则对称轴为x=0,

故点”坐标可设为（功，0）,点"坐标（a,b）.

当OG为菱形的边时：

①以点。为圆心，0G为半径画圆交y轴于点弧、M2,作轴于点H,如答图3.

=孚吟，

此时，DG=DM、=DM2=+(-4

•••M公加］2_口/=等=%反

故可得点M（0,像-12）、弧（0,一受一%.

55

由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

...点四（弓辱吗，抽（《，卑吗.

5555

②以点G为圆心，0G为半径画圆交了轴于点心、/，作G/ly轴于点/,如答图4.

此时，GD=GM3=GM4=M1L,GI=1,

5

_V43

1-5

故可得点强（0,返得竺）、M（0,福+20、

5-5-,

由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：

xG+xN=xD+xM

‘yG+y/yD+yj/

'3

-l+a=-+0

即＜I---------9

.K_12,传-20

―4+b=

DD

'3

-l+a=-^~+0

或’12V43+20'

-4+b"行-

2V43+12

...点饵（2垣；%,

三，----r

b535

当。G为菱形的对角线时，则"〜为另一对角线，如答图5.

则有强。=%3,亦即颂力

••.（春0产+（咯-m）2=（-1-0）2+（-4-721）2,

DD

17

解得：m=——.

0

17

即点强（0,,由菱形对角线性质和中点坐标公式可得:

D

0+a=-l-春__8

<_解得：*二，

T+b—Tlb=-3

bo

则点小坐标为（咯，-3）.

b

2V43-12.

综上所述，点N的坐标为（咯，纸侬.）或（咯，-驾+2°）或

5555

答图4

Ay

答图3

可求出点/的坐标，把点力和点。的坐标

代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式;

(2)过点尸作x轴的垂线，交x轴于点。，交BC于点、E,设出点。的坐标，分别表

达点。和点E的坐标，进而表达aS°根据二次函数的性质求得最大值及

点尸的坐标;

(3)先求出平移后的抛物线的解析式，再分别讨论为边，力B为对角线两种情况讨

论；根据平行四边形的性质可求出点。的坐标.

【解答】解：(1).C(-6,0),

(9(7=6,

,・・4。=4,

・・.O4=2,A(-2,0),

•.・点力(-2,0),C(-6,0)在抛物线尸，+"一6上,

1

X。，解得,a，

b=-4

，抛物线的解析式为：y=-^-4x-6;

(2)过点。作x轴的垂线，交牙轴于点。，交BC千点E,如图,

一6),

•・•直线的解析式为：y=-x-6,

设点尸的横坐标为m,则尸(m,--^-n22-4m-6)(-6</n<0,且切力0),

：.D(272,0),E(222,-2Z2-6),

PE=--7772-4/27-6-(-Z72-6)=--ZZ22-3/22,

22

|PD\=|--i-2222-4/72-6|,

SXPBL△叫

g•尸母(曲-―)

—1•(--n?-3m)X6--X—|--zn2-4m-6|X4

22222

3

----m?-9/n-|-4ZT2-61,

2

当一6<m<一2时，--^-zn2-4m-6>0

SAPBC-^S^PAC=~1-m2--(一一4m-6)=-m2-5/n+6=-(

2.49

4，

当■时，S“BC-£S△刈c的最大值为哼，「(-"!■，J)；

当-2<mV0时，

IO11o

=—-—-

SXPBC—7y^^PAc——9zn-(—zn^+4zzz+6)=2zn2—13m6=2(zn+4)

2+12196

88

..96^49

-TT,

综上，当尸(-1■,高)时，S△曲-4玄作的最大值为竽；

ZoN4

(3)将原抛物线向右平移，使得点力刚好落在原点O,则平移后的抛物线为：y=-#

-2x,

①当/与为边时，分两种情况：

a.当四边形45。河是平行四边形时，由平行四边形的性质可知，ABUMQ,AMHBQ,

如图，

过点A作AMIIBC,与平移后的抛物线交于点",

•.・直线的解析式为：y=-x-6,

则直线力〃的解析式为：y=-x-2,

5-x-2fx=-l-V5(x=-l+述

联立1，解得，，L，或，L，

y=-2-x2-2x[y=-l+—5(y="l-V5

二.M(-1--1+V^)，M?(-1+V5>-1-，

。1(1-巡，-7+娓)，02(1+泥，-7-注)；

b.当四边形45M。是平行四边形时，如图,

设点弦的横坐标为t,则颂"，-^-20,由平移的性质可得，。5(t-2,--^t2

-2t+6),

.•点。5在直线BC上,

_lz2_2f+6=_(f_2)-6,解得r=-i+伤或r=-i-技.

<?5(-3-V21»-3+V21)>。6(-3+V21--3-V21)；

②当为对角线时，由平行四边形的性质可知，AMIIBQ,如图，

■.-A（-2,0）,B（0,-6）,

，力8的中点为（-1,-3）,

由①可知，%（-l+Vs，-1-Vs）>M（-1--i+V^）；

Q（-1-泥，-5+^5）>。4（-1+遥，-5-泥）；

•・.符合题意的点。的坐标为：(1+遥，-7-旄)，(1-旄，-7+遥)，(-3-

V21>-3+A/^I),(-3+-/21，-3-^/21),(-1-V5>-5+泥)，(T+泥,

-5-娓).

4.【分析】(D抛物线的解析式可变形为尸=与(x+1)(x-3),从而可得点/和点

3的坐标，然后再求出点。和点E的坐标，设直线CE的解析式为尸左M+b,将点C

和点E的坐标代入求得K和b的值，即可得出CE的解析式；

(2)由直线的解析式可求出点尸的坐标；过点。作x轴的垂线，交CE于点M,

设点尸的横坐标为口，表达出点尸和点”的坐标，利用铅垂法表达△庄户的面积，再

利用二次函数的性质求出尸的最大值及点。的坐标；

(3)由平移后的抛物线经过点。，可得点H的坐标，点0的坐标；分DQ=DG,QD

=QG,GZ?=G。三种情况结合背景图形，解直角三角形即可得到点G的坐标.

【解答】解：(1)抛物线尸监2-¥乂-晶与x轴交于点力和点B,与y轴交于

Oo

点G

令x=0,则尸-A/3；令尸=。，贝I尸苧(x+1)(x-3)=0,则x=-1或x=3;

0

■■-A(-1,0),B(3,0),C(0,-5/3),

经过点。的直线/与抛物线交于另一点E(4,a),

，4=返乂42-汉葭4-网，即”自反，

333

.■■E(4,手0，

设直线CE的解析式为：y=kx+b,

%=-V3、2时

5^/3,解得,3,

4k+b=^-

b=~V3

直线CE的解析式为：尸野

(2)1♦直线CE与*轴交于点片

■-F(-31,0),

如图，过点尸作x轴的垂线，交CE于点M,

图2

设点尸的横坐标为m,

■'P(m,坐,M[m,,

333

:.MP=等一G身告m-g一季2枭，

:・SXPCF=^(Xp-x°•AfP=-yX-yX(一~(皿-2)

乙乙乙◎D7E

.,.当m=2时，S4PCF的最大值为«，此时尸(2,-V3)•

(3)在直线QH上是否存在点G,使得△OQG为等腰三角形，理由如下：

••,抛物线〃=返4-^^一«=退(x-1)2_^LL,

3333

；.D(1,0),Q(1,--^-),

：.DQ=^^-,tan/OCZ?=-^=^,

3V33

r.N08=30°,

抛物线沿射线。。平移得到新抛物线y',y经过点。，如图，

则V的顶点为点〃（2,一尊），NDQH=ZOCD=3G：

，直线。〃的解析式为尸母-竽.

①当。5=。。=隼■时，如图所示，过点5作GLO0于点/,

0

...G［（3,罕）;

②当QG产号时，如图所示，过点G2作G2TIDQ于点T,过点G3作G3sl

0

DQ于点s,

③当GO=G。时，如图所示，此时点为。0的中垂线与直线。〃的交点,

（3,萼）;（］+挈,2—岁）（1-茅,-2-乎）;

综上，点G的坐标为:

号-事•

5.【分析】⑴利用抛物线的表达式，分别求出点4点区点C的坐标，根据两点间

的距离公式可求出△48。的周长;

(2)过点尸作x轴的垂线，与/C交于点。，设出点尸的坐标，表达出点。的坐标,

进行表达△/PC的面积，利用二次函数最值问题，求出此时面积的最大值；

(3)分类讨论：当CE为辿,且四边形CEJ&N为菱形;当CE为边，且四边形CENM

为菱形；当CE为对角线,且四边形CWE■”为菱形，再利用菱形的性质求出点"的坐

标即可.

【解答】解：⑴:.抛物线尸黑+牙-4与x轴交于点/,8,与y轴交于点。，

.,.令x=0,则y=-4；令y=0,则x=-4或2,

■■.A(-4,0),3(2,。)，C(0,-4)；

.,./4B=6,BC—

的周长=6+4a+2泥；

(2)如图，过点尸作x轴的垂线，与/。交于点。，

直线4c的表达式为：y=-x—4,

设点尸的横坐标为m,则P(m,/加+功-4),

Q(m,-m-4),

PQ—(-Tn-4)-(-^-zn2+zn-4)=--^-zn2-2zn,

^^PAC=S△期0+S△尸CQ

=£・P°(Xp_xQ■.尸0(*cf)

=]・尸0同)

=-1-X(-y2222-2r?)X(0+4)

=-ZZT2-^m

=-(m+2)2+4,

-l<0,

.•.当m=-2时，△R4C的面积最大为4；

(3)存在，此时点N的坐标为：(-4,-3);

由片微4+*-4,可知，对称轴为直线x=-l,

■■.E(-1,0),

连接CE,可得3=行,

①当CE为边,且四边形CEMV为菱形时，如图所示,

设名(t,-f-4),

则G=—t-4,OG=—t,EG=-t—1,

(-f-1)2+(T-4)2=(JF)2,解得仁o(舍去)，t=-5,

.•.监(-5,1),N}(-4,-3);

②当CE为边，且四边形的VM为菱形时，如图所示，

此时CE=CM2=CM3=^,过点此作此Hly轴于点H,过点强作.71y轴于

点T,

■：AO1OC,

.-.AOIIM2H,AOIIM3T,

：.CH-.CO=M2H-.OA=CM2:G4=-/i7：4血,

CT:CO=M3T-.OA=C%:G4=-717：4&,

：.CH=M2H=^^,CT=TM3=^^-,

■■N2

③当CE为对角线，且四边形CWEM为菱形时，如图所示,

取CE的中点K,过点£作MN1_CE,交/C于点M,

:.K(--2),

由E(-1,0),C(0,-4)的可知，直线E。的表达式为：y=-4x-4

「•直线监缁的表达式为：片小-学

y=-x-4

联立《_115，

/1723.

(FF，

41010_

综上可知，此时点N的坐标为：(-4,-3);(jZp-1,

2

号；备一虹

6.【分析】(1)A(6,0)、B(-2,0)代入y卷x2+bx+c即可;

⑵先求出直线40的解析式y=2x-12,过点尸作x轴垂线交/。于点//,设尸(f,

■^5-2f-6),则21-12),△力心面积=£X//FX(6-2)=-(f-4)

2+4,则当1=4时，△40。面积最大为4,