高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题

高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题精选

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线

一、选择题

1.(2009全国卷I理)设双曲线等于()(A

（B）2（C

(D

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x+l相切，则该双曲线的离心率

2

解：设切点P(x0,y0),则切线的斜率为y|xx2x0.由题意有

yOxO

2x0又y0x01

2

解得

:xO1,

2

ba

2,e

2.（2009全国卷I理）已知椭圆C:

FA3FB,则|AF|=

x

2

2

.y1的右焦点为F,右准线为1,点A1,线段AF交C于点B,若

2

(A).

2

解:过点B作BM1于M,并设右准线1与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意FA3FB,

故|BM|.又山椭圆的

3

第二定义，

得|BF|

2|AF|

233

故选A

3.（2009浙江理）过双曲线

x

22

ab

1ABBC,则双曲线的离心率是（）线的交点分别为B,C.若

2

y

22

l（a0,b0）的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近

A

B

C

D

答案：c

【解析】对于Aa,Q，则直线方程为向a0,直线与两渐近线的交点为B,C,

2

a2abaabB„C(,)

abababab

22

2ABBC,4ab,e

222ab2ababab

BC(2,),AB二222

abababab

，则有，

因

l（ab0）的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BFx轴，直

ab

线AB交y轴于点P.若AP2PB,则椭圆的离心率是（）

4（2009浙江文）已知椭圆

x

22

y

22

A

2

B

2

C.

13

D.

1

2

5.D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交

汇，也体现了数形结合的

巧妙应用.

1

【解析】对于椭圆，因为AP2PB,则OA20F,a2c,e

2

2

6.(2009北京理)点P在直线上yxl±,若存在过P的直线交抛物线yx于A,B两点，

且

|PA|AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是()

点”

点”

点”

点“A.直线1上的所有点都是“B.直线1上仅有有限个点是“C.直

线1上的所有点都不是“D.直线I上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

新题型.

本题采作数形结合法易于求解，如图，

设Am,n,Px,xl,

则B2mx,2nx2,

：A,B在yx2±,

2nm,22nxl(2mx)【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学

习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创

(第8题解答图)

消去n,整理得关于x的方程x2(4ml)x2m210(1)

(4ml)24(2m21)8m28m50恒成立，

...方程(1)恒有实数解，应选A.

7.(2009山东卷理)设双曲线

().xa22yb221的一条渐近线与抛物线y=x+l只有一个公共点，则双曲线的离心率

为2

A.5

4B.5C.5

2D.5

【解析】：双曲线xa22yb22byxb2kxl。有唯一解，所1的一条渐近线为yx,由方

程组，消去y,得aaayx21b

以△=(10,a

b

ab2所以

2,ec

aa2,故选D.答案:D.

【命题立意】：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位

置关系，只有•个公共点，则解方程组有唯•解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本

技能

8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线1过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,

若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().

A.y24xB.y28xC.y24xD.y28x【解析】：抛物线y2ax(a0)

的焦点F坐标为(A@

a2

)，所以AOAF的面积为

a4

,0),则直线1的方程为y2(x

a4

)，它与y轴的交点为

laa2

||||4,解得a8.所以抛物线方程为y8x,故选B.242

答案:B.

【命题立意】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形

面积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而

引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相

应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.9.(2009全国卷n文)双曲线

x

2

6

y

2

3

1的渐近线与圆63.)y

22

r(r0)相切，则r=

2

(A)3(B)2(C)3(D)6答案：A

解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r,可求『3

10.(2009全国卷II文)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交A、B两点，F

为C的焦点。若FA2FB4lJk=

13

(A)(B)

23

(C)

23

(D)

223

答案：D

解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0),由

FA2FB及第二定义

3

知xA22(xB2)联立方程用根与系数关系可求

k=ll.(2009

(A)

x

2

2

2

y

2

4

1(B)

x

2

4

2

y

2

2

x

1(C)

2

2

4

y

2

6

x

1(D)

2

4

y

2

10

1

3bl

［解析］

由e得2,12,2，选B

2a2a2a2

c

2

3b

12.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的是

A.xa

22

B.yb

22

1的离心率e

ca

C.可判断得

.e

ca

D.

2

【解析】依据双曲线.选B。

13.(2009安徽卷文)直线过点(-1,2)且与直线垂直，则的方程是

A.C.

B.

32

D.

32

(xl)BP3x2yl0,选A。

【解析】可得1斜率为l:y2'

14.(2009江西卷文)设F1和F2为双曲线的三个顶点，则双曲线的尚心率为A.

32

xa

22

yb

22

l(a0,b0)的两个焦点，若Fl,F2,P(0,2b)是正三角形

52

B.2C.D.3

答案：B

【解析】由tan

6c2b

3

3c24b24（c，a2）,则e

22

22

2,故选B.

15.(2009江西卷理)过椭圆

xa

yb

l(ab0)的左焦点Fl作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若

F1PF260,则椭圆的离心率为

A

.答案：B

2

B

3

C.

12

D.

1

3

【解析】因为P，c,

b

2

a

),再由F1PF260有

22

22

3ba

2

2a,从而可得e

ca

3

,故选B

16.（2009天津卷文）设双曲线

xa

yb

焦距为23,则双曲线的渐近线方程为（）l（a0,b0）的虚轴长为2,

Ay2xBy2xCy

2

22

xDy

12

x

【解析】由已知得到bl,c

ba

22

3,acb

2

2,因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为

yxx

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推

理能力。17.（2009湖北卷理）已知双曲线交点的充要条件是

A.KB.K二,

2222

11

1

X

2

2

y

2

2

1的准线过椭圆

x

2

4

yb

22

1的焦点，则直线ykx2与椭圆至多有一个

C.K

D.K222

a2

【解析】易得准线方程是X

2222b2221x2

所以cab4b1即b3所以方程是4y2

31

联立ykx2可得3x2+(4k2+16k)x40由0可解得A

x2

18.(2009四川卷文)已知双曲线

点2yb22l(b0)的左、右焦点分别是Fl、F2,其一条渐近线方程为yx,

P(3,y0)在双曲线上.则PF1PF2=

A.-12B.-2C.0D.4

【解析】由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，.♦.双曲线方程是x%22,于是两

焦点坐标分别是(一2,0)和(2,0),且P(3,l)或P(8,l).不妨去P(3,l),则PF1(2PF2(23,1).

PF1-PF2=(23,1)(23,1)'(23)(23,1),3)10

19.(2009全国卷H理)已知直线ykx2k。与抛物线C:y28x相交于A、B两点，F为

C的焦点，若

|FA|2|FB|,则k

1

3A.

B.3C.2

3

D.3

2解：设抛物线C:y8x的准线为l:x~2直线ykx2kQ恒

过定点p2,Q.如图过A、B分别作AM1于M,BN1于N,由|FA|2|FB|,则|AM|2|BN|,

点B为AP的中点.连结OB,则QB|1

2|AF|,|OB||BF|点B的横坐标为1,故点B

的坐标为(1,)k0

1(2)3,故选D

xy20.(2009全国卷H理)已知双曲线C^2la0,bQ的右ab22

焦点为F,过F且斜率

为

AF4FB,则C的离心率为的直线交C于A、B两点，若A.65B.7

5C.5

8D.9

5

xy

解：设双曲线C，21的右准线为1,过A、B分别作AM1于M,BN1于N,BDAM于

D,由直线

ab

22

AB

知直线AB的倾斜角为60BAD60,|AD|

1

12

|AB|,

11

由双曲线的第二定义有|AM||BN||AD|(|AF||FB|)|AB|(|AF||FB|).

e22

156

又AF4FB3|FB||FB|e故选A

e25

21.(2009湖南卷文)抛物线y2~8x的焦点坐标是[B]

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)解:由y2~8x,

易知焦点坐标是(

P2

,0)(2,0),故选B.

22.(2009辽宁卷文)已知圆C与直线x—y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y

=0上，则圆C的方程为

(A)(xl)2(yl)22(B)(il)2(yl)22(C)(il)2(yl)22(D)(xl)2(yl)22

【解析】圆心在x+y=0上，排除C、D,再结合图象，或者验证A、B2即可答案B23.(2009

宁夏海南卷理)双曲线

X

2

4

y

2

12

=1的焦点到渐近线的距离为

(A

)(B)2(C

(D)1

x

2

解析：双曲线

4

y

2

12

=1的焦点(4,0)

到渐近线y

的距离为d

2

选A

24.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（l,0）,直线1与

抛物线C相交于A,B两点。

若AB的中点为（2,2）,则直线的方程为.

2

yl4x1

Axl,yl,Bx2,y2,则有xlx2,2

y24x2

2

解析：抛物线的方程为y4x,两式相减得，yl2y24x1x2,

2

yly2xix2

4yly2

1

直线1的方程为y-2=x-2,即y=x

答案：y=x

25.（2009陕西卷文）过原点且倾斜角为60的直线被圆xy4y0所截得的弦长为

学

22

科网

(A

(B)2(C

)(D)

答案:D.

解析

:直线方程,圆的标准方程X62)4,圆心(0,2)

到直线的距离d

22

1,由垂

径定理知所求弦长为

d故选D.2226.(2009陕西卷文)“mn0”是“方程mjcny1”表示焦点在y轴上的

椭圆”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条

件(D)既不充分也不必要条件答案:C.

解析:将方程mxny1转化为

2

2

X

2

1m

y

2

In

1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足

1m

0,

In

0,所以

In

Im

，故选C.

27.(2009四川卷文)已知双曲线点

x

2

2

yb

22

l(b0)的左、右焦点分别是Fl、F2,其一条渐近线方程为yx,

P(3,y0)在双曲线上.贝ljPF1PF2=

A.-12B.-2C.0D.4

【解析】由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，，双曲线方程是x2y22,于是两

焦点坐标分别是(一2,0)和(2,0),且P(3,l)或P(W1).不妨去P(3,l),贝iJPFl(2PF2(2

3,1).APF1PF2=(2

xa

2

3,1),

3.)10

3,1)(23,1)'(23)(2

28.(2009全国卷I文)设双曲线率等于

-2

yb

22

=la>0,b>Q的渐近线与抛物线y=x+l相切，则该双曲线的离心

2

(A

(B)2(C

(D

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,

基础题。解：山题双曲线

xa

2

-2

yb

22

=la>0,b>Q的一条渐近线方程为y

bxa

,代入抛物线方程整理得

ax

2

~bxa0,因渐近线与抛物线相切，所以64a

22

0,即c

2

5a

2

e5,故选择C。

29.(2009全国卷I文)已知椭圆C:

则AF=

x

2

2

AF3By1的右焦点为F,右准线1,点A1,线段AF交C于点B。若F

2

(A)(B)2

(C)(D)3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

2

解:过点B作BM1于M,并设右准线1与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意FA3FB,

故|BM|.又由椭圆的

3

第二定义，

得|BF|

2|AF|

233

x

2

故选A

30.（2009湖北卷文）己知双曲线

2

y

2

2

1的准线经过椭圆

X

2

4

yb

22

1(b>0)的焦点，则6=

A.3B.5C.3D.

a

2

2

2

【解析】可得双曲线的准线为x

c

1,

又因为椭圆焦点为（

0）所以有1.即b=3故

6=故C.

A,B两点，与抛物线

的面积之比

SBCFSACF

D）

1

2

2xBl,2xAlB~3

xA2,

SBCFSACF

2xB12xAl

3141

45

，故选择Ao

32.（2009四川卷理）已知双曲线

X

2

2

yb

22

l(b0)的左右焦点分别为Fl,F2,其一条渐近线方程为yx,点

PyO)在该双曲线上，则PF1PF2=

A?12B?2C.OD.4

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。(同文8)解析:

由题知b2,故y032l,Fl(2,0),F2(2,0),APFlPF2(2

3,1)(2

3,1)3410,故选择C。

X

2

2

解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

2

y

2

2

1,则左、右焦点坐标分别为Fl(2,0),F2(2,0),再将

点PyO)代入方程可求出P1),贝IJ可得PF1PF20,故选C。

2

33.(2009四川卷理)已知直线ll:4i3y60和直线12:x~1,抛物线y4x上一动点P到

直线11和直线12

的距离之和的最小值是

A.2B.3C.

115

D.

37

16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

解析：直线12:x1为抛物线y24x的准线，山抛物线的定义知，P到12的距离等于P

到抛物线的焦点F(l,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P使得

P到点F(1,O)和直线12的距离之和最小，最小值为F(1,O)到直线ll“3y60

的距离，即dmin

|406|

5

2

2,故选择A。

解析2

：如下图，由题意可知d

34.(2009宁夏海南卷文)已知圆C1：(乂1)2+61)2=1,圆C2与圆Cl关于直线句10对

称，则圆C2的方程为

(A)(x2)2+(y2)2=l(B)(x2)2+(y2)2=l

(C)(x2)2+(y2)2=l(D)(x2)2+(y2)2=l

albl

0a222

【解析】设圆C2的圆心为(a,b),则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，

b~2bl」

al

为1,故选B。

35.(2009福建卷文)若双曲线

xa

22

y3

22

laQ的离心率为2,则a等于

32

A.2

B.

xa

22

C.D.1ca

a

解析解析

由

y

2

3

1可知虚轴而离心率e=2,解得a=l或a=3,参照选项知而应选D.

36.（2009重庆卷理）直线y象与圆Xy1的位置关系为（）

A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心【解析】圆心（0,0）为到

直线yxl,即"yl

0的距离d

22

2

D.相离,而0

2

1,选B。

x（1,1]

37.（2009重庆卷理）已知以T

4为周期的函数f(x),其中mOo若方程3f(x)x恰

1x2,x(1,3]

有5个实数解，则m的取值范围为()

A

.8

)33

B

.3

C.(,)

33

48

D

3

4

【解析】因为当X(1,1］时，将函数化为方程ym

22

x

2

l(y0),实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，

同时在坐标系中作出当x(1,3］得图像，再根据周期性作出函

x3

数其它部分的图像，由图易知直线y与第二个椭圆64.)

2

ym

22

l(y0)相交，而与第三个半椭圆

(x4)

2

ym

22

l(y0)无公共点时，方程恰有5个实数解，将y

x3

代入&4)

2

ym

22

l(y0)得

(9ml)x72mxl35m0,令t9m(t0)则(tl)"8txi5t0

222222

由(8t)2415t(tl)0,得t15,由9m215,且m0得m

22

3

同样山y

x3

与第二个椭圆68.)

2

ym

l(y0)由

0可计算得m

综上知m3

38.（2009重庆卷文）圆心在y轴上，半径为1,且过点（1,2）的圆的方程为（）

A.x2（y2）21B.x2（y2）21C.（xl）2（y3）21D.x2（y3）21

解法1（直接法）：设圆心坐标为（0,b

）1,解得b2,故圆的方程为

x（y2）lo

2

2

解法2（数形结合法）：山作图根据点（1,2）到圆心的距离为1易知圆心为（0,2）,故圆的

方程为X62）1解法3（验证法）：将点（1,2）代入四个选择支，排除B,D,又由于圆

心在y轴上，排除C。

（xlj（yl）1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B,AOB被圆分39.（2009年

上海卷理）过圆C：

2

2

22

成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S.S¥S.S|||,则直线AB有（）（A）

0条（B）1条（C）2条（D）3条

【解析】山已知，得：sivsnsnisi,,第n,iv部分的面积是定值，所以，SIVSII为定

值，即snisi,为定值，当直线AB绕着圆心c移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线

AB只有一条，故选B。二、填空题1.(2009

2

2

四川卷理)若。

Ol:xy5

22

与。

O2:(im)y20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的

长度是

【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由

题知01(0,0),O2(m,0),且5|m|35,又O1AAO2,所以有

2

m

(5)(25)25m5,AAB2

22

55

20

4o

2.(2009全国卷I文)若直线m被两平行线ll:kyl0与12:xy30所截得的线段的长为

22,则m的倾斜角可以是

①15②30③45@60⑤75

其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的

思想。解：两平行线间的距离为d

|31.|1

2,由图知直线m与11的夹角为30,11的倾斜角为45,所以直线m的

O

O

倾斜角等于30p450750或456300150。故填写①或⑤

3.(2009天津卷理)若圆x?y24与圆x2y?2ay60(a>0

)的公共弦的长为则ao

【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。

解析：由知x?y?2a歹60的半径为Qa,由图可知§a"&l)2(3)2解之得a14.(2009湖

北卷文)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q,则线段

PQ的长

为。【解析】可得圆方程是63)264)25又由圆的切线性质及在三角形中

运用正弦定理得PQ4

xa

22

2

5.(2009重庆卷文)已知椭圆

yb

22

l(ab0)的左、右焦点分别为Fl(c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P

使

asinPFlF2

csinPF2Fl

,则该椭圆的高心率的取值范围为

.解法1,因为在PF1F2中，由正弦定理得

PF2sinPFlF2

PFlsinPF2Fl

则山已知，得

aP!F2

cPIFI

,即aPFlcPF2

设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aexO,PF2aexO则a(aexO)c(aexO)记得xO

a(ca)e(ca)

a(el)e(el)

山椭圆的几何性质知xO%则

a(el)e(el)

'a,整理得

e2el

0,解得e1或e

2

1,又

e(0,1),故椭圆的离心率e1,1)

解法2由解析1知PF1

ca

PF2由椭圆的定义知

PF1PF22a则

ca

2

PF2PF22a即PF2

2a

2

ca

,山椭圆的几何性质知

PF2ac,则

2a

ca

”,既c2ca0,所以e2el0,以下同解析1.

222

6.(2009重庆卷理)已知双曲线

sinPFlF2sinPF2Fl

ac

xa

22

yb

22

l(a0,b0)的左、右焦点分别为Fl(c,0),F2(c,0),若双曲线上存在

一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是.

解法1,因为在PF1F2中，由正弦定理得

PF2sinPFlF2

PFlsinPF2Fl

则由已知，得

aPlF2

cPIFI

，即aPFlcPF2,且知点P在双曲线的右支上，

设点(xO,yO)由焦点半径公式，得PF1aexO,PF2exOa则a(aexO)c(exOa)解得xO

2

a(ca)e(ca)

a(el)e(el)

由双曲线的几何性质知xOa则

a(el)e(el)

a,整理得

e2el

O,解得1e1,又

e(1,),故椭圆的离心率e1)

解法2由解析1知PF1

ca

2

ca

PF2山双曲线的定义知

PF1PF22a则PF2PF22a即PF2

2a

2

ca

,由椭圆的几何性质知

PF2晶，则

2a

ca

ca,既c2aca0,所以e2el0,以下同解析1.

222

7.（2009北京文）椭圆

x

2

9

y

2

2

1的焦点为Fl,F2,点P在椭圆上，若|PF1|4,贝lJ|PF2|F1PF2的

大小为

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属

于基础知识、基本运算

的考查.

Va9,b3,

2

2

AF1F2

又PF14,PF1PF22a6,APF22,

242

2

又由余弦定理，得cosF1PF2

2

224

12

,F1PF2120,故应填2,120.

8.(2009北京理)设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(l,f(l))处的切线的斜率为1,则该

曲线在处的切线的斜率为.

【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运

算的考查.

取Ax,如图，采用数形结合法，

2

易得该曲线在。,氏1))处的切线的斜率为1.

故应填1.

9.(2009北京理)椭圆

X

2

9

y

2

2

1的焦点为F1,F2,点P在

椭圆上，若|PF1|4,则|PF2|；

F1PF2的小大为.

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属

于基础知识、基本运算的考查.Va29,b23,

..c

AF1F2

242

2

又PF14,PF1PF22a6,APF2

2,又由余弦定理，得cosF1PF2

・・・F1PF2120,故应填2,120.

,2

224

12

10.(2009江苏卷)如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆

,2l(ab0)的四个顶点，F为2

ab

其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的

中点，则该椭圆的离心率

x

2

y

2

为.【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以

及直线的方程。直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：则乂(

c

2

2

xaxc

.y

yb

1;

lo二者联立解得：T(

2acac

,b(ac)ac

)，

~b

ac

ac2(ac)(ac)

22

b(ac)

)在椭圆

2

xa

22

yb

22

l(ab0)±,

2

2

(ac)4(ac)

l,cl0ac3a0,el0e30,

解得：e'5

11.(2009全国卷II文)已知圆O：xy5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与

两坐标轴围成的三角形的面积等于。

解析：山题意可直接求出切线方程为y-2=

12

2

2

(x-1),即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和

52

所

以所求面积为

12

52

5

254

12.(2009广东卷理)巳知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x

焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为【解析】e

32

，且G上一点到G的两个

,2a12,a6,b3,则所求椭圆方程为

2

36

y

2

9

13.（2009年广东卷文）以点（2—1）为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是.【答案】

（x2）2（yl）2

252

【解析】将直线xy6化为xy6o,

圆的半径r

，所以圆的方程为62）2（yl）2

25

2

14.（2009天津卷文）若圆x2y24与圆x2y22a±60（a0）的公共弦长为23,则a=.

la【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y

la

II

，利用圆心（0,0）到直线的距离d

为爱

3

2

1,解得a=l

【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了

同学们的运算能力和推理能力。

15.（2009四川卷文）抛物线y24x的焦点到准线的距离是【解析】焦点F（1,0）,准

线方程x~1,...焦点到准线的距离是216.（2009湖南卷文）过双曲线C：

xa

22

yb

22

l（a0,b0）的一个焦点作圆xya的两条切线，

222

切点分别为A,B,若AOB120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为2.

解:AOB120AOF60AFO30c2a,e

ca

2.

17.（2009福建卷理）过抛物线y2px（p0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、

B两点，若线段AB的长为8,则p

y22px2

PP2

解析：由题意可知过焦点的直线方程为yx,联立有0,

又px3px

24yx

2

2

AB8p2o

18.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线

X

2

4

y

2

12

1的左焦点，A（l,4）,P是双曲线右支上的动点，则PFPA的

最小值为。

【解析】注意到P点在双曲线的两只之间，且双曲线右焦点为F'（4,0）,于是由双

曲线性质|PF|一|PF'|=2a=4而|PA|+|PF'曰AF'|=5

两式相加得|PF|十|PA|N9,当且仅当A、P、F'三点共线时等号成立.【答案】9

19.（2009四川卷文）抛物线y24x的焦点到准线的距离是【解析】焦点F（1,0）,准

线方程x~l,.♦.焦点到准线的距离是2

20.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线产x与

抛物线C交于A,B两点，若P2,2为AB的中点，则抛物线C的方程为。

【解析】设抛物线为y2=kx,与y=x联立方程组，消去y,得：x2-kx=0,xlx2=k=2x2,

故y24x.21.（2009湖南卷理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边

形中，有一个.

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角

分别是b,c（b是虚半轴长，

be

o

,则双曲

c是焦半距），且一个内角是30,即得

tan30,所以c

，所以a

，离心率e

ca

2

22.（2009年上海卷理）已知Fl、F2是椭圆C:

xa

22

yb

22

1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且

PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.

|PF1||PF2|2a

【解析】依题意，有|PF1||PF2|18,可得4c2+36=4a2,即a2—c2=9,故有b=3。

222|PF1||PF2|4c

23.（2009上海卷文）已知Fl、F

2点，p为椭圆C上的一

点，且

PF1F2的面积为9,则b.

|PF1||PF2|2a

【解析】依题意，有|PF1||PF2|18,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3。

222|PF1||PF2|4c

三、解答题

1.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上，离心率为

2

2

32

，两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离

之和为12.圆Ck:xy2kx4y210(kR)的圆心为点Ak.⑴求椭圆G的方程

⑵求AkFlF2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

xa

22

【解析】(1)设椭圆G的方程为：

yb

22

1(ab0)半焦距为c;

2a12

a6

则c,b2a2c236279,

解得

c2a

所求椭圆G的方程为：（2）点AK的坐标为K2

SVA

F1F2

x

2

36

y

2

9

1.

K

12

F1F22

12

2（3）若k0,由620212丽21512kfD可知点（6,0）在圆Ck外，若k0,

由（6）20”2团21512kg可知点（-6,0）在圆Ck外；不论K为何值圆Ck都不能

包围椭圆G2.（2009全国卷I理）（本小题满分12分）

如图，已知抛物线E:y2x与圆M:64）2y2r2（r0）相交于A、B、C、D四个点。（I）

求r得取值范围；

（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标

分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线E:y2x与圆M:&4.）yr（r0）的方程联立，消去

y,整理

得由0.........................(*)

抛物线E:yx与圆M:64)yr(r0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程(文)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

有两个不相等的正根即可.

易得•r4).考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以.

(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代

入的方法处理本小题是一

个较好的切入点.

设四个交点的坐标分别为A(xl

、B(xl,

、C(x2,

、D（x22

则由（I）根据韦达定理有x.lx27,xlx216

2

4)

则S

2

12

2|x2xl|2

|x2xl|

2

S[(x1x2)4x1x2](x1x2(7rl5)

t,则S2(72t)2(72t)下面求S2的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有

时很方便。它的主要手

段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

S

2

(72t)(72t)

2

12

(72t)(72t)(144t)

172t72tl44t31283()()2323

76

当且仅当?2t144t,即t

时取最大值。经检验此时r2

4)满足题意。

方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点P的坐标。设

点P的坐标为：P(xp,O)

xlx2

xl

xp

76

由A、P、

C三点共线，则以下略。

得xpt

o

3.(2009浙江理)(本题满分15分)已知椭圆C1：长轴的弦长为1.

(I)求椭圆C1的方程；

ya

22

xb

22

l(ab0)的右顶点为A(l,0),过Cl的焦点且垂直

(II)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)±,C2在点P处

的切线与Cl交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小

值.

b12

a2y2

解析：(I)由题意得b2x1,,，所求的椭圆方程为

41b12

a

2

2t,直线MN的方程为

2

2

(II)不妨设M(xl,yl),N(x2,y2),P(t,th),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y

xt

y2txth

2

，将上式代入椭圆Cl的方程中，得4x(t2i

,t

2

)h4,即0

411

2

x4t(t

22

h)x

2

(t

2

，因)h4为直0线MN与椭圆Cl有两个不同的交点，所以有

422

116'.t2(h2)th40,

设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3

xlx2

2

t(th)2(lt)

2

2

设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4

2(lh)

2

,tl2

2

,由题意得x3x4,即有0,其中的

40,h或lh~3；

2422

当h-3时有h20,4h0,因此不等式116因此h1,当h1',t2(h2)th40

不成立；2422

时代入方程0得t1,将hl,t~l代入不等式116*.t2(h2)th40成立,

因此h的最小值为1.

4.(2009浙江文)(本题满分15分)已知抛物线C：x2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点

的距离为(I)求p与m的值；

2

174

(ID设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点

M,过点Q作PQ

的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值.

解析(I)由抛物线方程得其准线方程：y~

P2

，根据抛物线定义

点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4

抛物线方程为：x

2

174

,解得p

12

y,将A(m,4)代入抛物线方程，解得m2

2

2

(II)由题意知,过点P(坟2)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为ko则lPQ:ytk(xt),

当V0,x

2

~.tkt

k

,则M(

.tkt

k

,0)o

yt2k(xt)2

联立方程，整理得：ikxt(kt)02

xy

HP：(xt)[x(kt)]0,解得xt,或xkt

Q(kt,(kt)),而QNQP,直线NQ斜率为

1

2

1

k

1NQ

12

y(kt)'[x(kt)]2

:y(kt)[x(kt)],联立方程k

k2

xy

2

整理得：x

Ik

x

Ik

(kt)(kt)

2

0,即：kxx(kt)[k(kt)l]0

k(kt)l

k

2

2

2

[kxk(kt)l][x(kt)]0,解得:x~

2

，或xkt

[k(kt)l]

k(kt)l[k(kt)l]

N(,),KNM2

kk

k

k(kt)l

k

上kt

k

2

(k

22

>tl)

2

2

k(tkl)

而抛物线在点N处切线斜率：k切y

MN是抛物线的切线，

2

2

'2k(kt)2

k

x

k(kt)l

k

(k

22

ktl)

2

2

k(tkl)23

2k(kt)2

k

23

,整理得k2tki2t20

23

't4(12t)0,解得t~(舍去)，或t

,tmin

5.(2009北京文)(本小题共14分)

已知双曲线C:

xa

22

yb

22

l(a0,b

x

3

o

(I)求双曲线c的方程；

(ID已知直线iym0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆xy5

上，求m的值.

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的

关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.

22

a2c3

(I)由题意，得，解得al,c

a

2

2

2

Abca2,・••所求双曲线C的方程为A

2

y

2

2

1.

（II）设A、B两点的坐标分别为xl,yL,x2,y2，线段AB的中点为MxO,yQ,

2y2

1x

由得x22mim220（判别式0）,2

xym0

AxO

xlx2

2

m,y0xOm2m,

•・•点MxO,yQ在圆x2y25±,Am22m5,Am1.

6.（2009北京理）（本小题共14分）

已知双曲线C:

xa

22

2

yb

22

l（a0,b

0)

3

(I)求双曲线C的方程；

(II)设直线1是圆O:x2y22上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线，1与双曲线C交于不

同的两点A,B,证明AOB的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的

关系等解析儿何的基本思想方法，考查推理、运算能力.

a23

(I)由题意，得c,解得al,c

a

2

2

2

Abca2,.•.所求双曲线C的方程为4

22

(II)点Px0,y0x0y0Q在圆xy2上，

2

y

2

2

1.

圆在点FxO,yQ处的切线方程为yyO'

xOyO

.xxO,

化简得xOxyOy2.

2y2

1X22222

由及x0yO2得3xd4x4x0x*2x00,2

xxyy2

00

2

•・•切线1与双曲线C交于不同的两点A、B,且0xO2,

2222

A3x040,且16xd43xO482xQ0,

设A、B两点的坐标分别为xl,yl.,x2,y2，则x.lx2

4x03x4

2

,xlx2

82x0

20

2

3x4

OAOB

VcosAOB,且

OAOB

1

OAOBxlx2yly2x1x222x0x12x0x2,

yO

2

42xxxxxlx2.012022x0

xlx2

1

222x082x08x0

4.2222

3x042x03x043x04

82x0

2

1

82x0

2

2

3x4

82x0

20

2

3x4

0.

・・・AOB的大小为90.【解法2】(I)同解法1.

(II)点PxO,yQxOyOQ在圆x2y22±,圆在点PxO,yQ处的切线方程为讨0

xOyO

.xxO,

2y2

1x22

化简得xOxyOy2.山及x0yO2得2

xxyy2

00

,3x3x

2

20

'4x4x0x82x00①

2

2

2

2

^4y8y0x82x00②

2

・・•切线1与双曲线C交于不同的两点A、B,且0xO2,

2

A3x040,设A、B两点的坐标分别为xl,yl.,x2,y2，

则xlx2

82x0

2

2

3x04

,yiy2

2x083x04

2

2

AOAOBxlx2yly20,/.AOB的大小为90.

22222

(VxpyO2且xOyO0,AOxO2,0yO2,从而当3x040时，方程①和方程②的

判别式均大于零).7.(2009江苏卷)(本题满分10分)