2020-2021苏教版数学第二册教师用书：第13章13.1 13.1.3直观图的斜二测画法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材苏教版数学必修第二册教师用书：第13章13.113.1.3直观图的斜二测画法含解析13。1.3直观图的斜二测画法学习目标核心素养1.了解斜二测画法的概念．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．（难点、易错点)3．会根据平面图形及空间图形的直观图还原出平面图形及空间图形．（难点）1.通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于斜二测画法的相关计算，培养学生数学运算素养。在工程制图中,正投影被广泛应用于绘制三视图，但三视图的直观性较差．如何把立体图形画在纸上？思考平面图形水平放置图应怎么画图，才能体现图形的立体感？1．用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则（1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°）,它们确定的平面表示水平面．（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段,长度为原来的一半．2．空间图形的直观图的斜二测画法规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz＝90°,且∠yOz＝90°。（2）画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′,并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°,x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．（3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．思考：画平面图形直观图的关键和注意点是什么？提示：(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半,直角画45°(或135°）．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴，长度不变． （）（2）原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq\f(1，2）． （)（3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°． （）（4）在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同． (）［答案]（1）√(2）√（3)×（4)√2．下列说法正确的是（）A．相等的角，在直观图中仍相等B．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等C．若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行D．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直C［由斜二测画法规则知,角度、长度都可能改变，平行性不变,所以A、B、D错误，C正确．］3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.5[由空间直观图的画法知,在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2cm＋3cm＝5cm。]4．如图是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC的形状是________三角形．直角［由斜二测画法规则知,在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．］画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．［思路点拨］eq\x（建系)eq\o(→，\s\up10（依据斜二测），\s\do15（画法))eq\x（定点)→eq\x(连线成图）[解］画法：(1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°。(2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB,在y′轴上取O′E′＝eq\f（1,2）OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．(3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[跟进训练］1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．［解］如图(1）在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，如图（2)在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB．（1)（2）在y′轴上截取O′D′＝eq\f（1，2）OD，过D′作线段D′C′＝DC且D′C′∥A′B′，连接B′C′,A′D′，则四边形A′B′C′D′即为▱ABCD的直观图．画空间图形的直观图【例2】有一个正三棱锥，底面边长为3cm,高为3cm，画出这个正三棱锥的直观图．［思路点拨]根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图,进而确定出正三棱锥的顶点即可．［解]（1)先画出水平放置的边长为3cm的正三角形的直观图，如图（1）所示．（2)过正三角形中心O′建立z′轴,画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3cm，连接V′A′，V′B′，V′C′,如图(2）所示．（3)擦去辅助线,遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图,如图(3）．（1）（2）(3）1．用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．2．在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可．3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．［跟进训练]2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面）的直观图．[解](1）画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°（或135°)，∠x′O′z′＝90°。(2）画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF。(3）画侧棱：过A，B，C,D,E,F分别作z′轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′,EE′，FF′都等于侧棱长．（4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′,E′,F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．(1)(2)将直观图还原为原平面图形[探究问题]1．如图所示，一个平面图形的直观图为平行四边形，则四边形ABCD的实际形状是什么图形？[提示］矩形．因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．2．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，这个平面图形本身是等腰梯形吗？其面积是多少?[提示］不是等腰梯形，是直角梯形．根据斜二测画法，等腰梯形A′B′C′D′的高为eq\f（\r(2),2)，所以A′B′＝1＋2×eq\f(\r（2），2）＝1＋eq\r(2)，在平面图形中,AB的长为1＋eq\r(2)，CD的长为1,AD的长为2，所以这个平面图形的面积为eq\f（1，2）×（1＋1＋eq\r(2）)×2＝2＋eq\r(2)。【例3】如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．［思路点拨］eq\x（画直角坐标系)→eq\x(利用平行、长度、定点）→eq\x(连接点，得图)[解］（1）画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′,即CA＝C′A′；（2）过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′,如图（1)所示．在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；（3)连接AB，BC，得△ABC．则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形,如图(2)所示．（1）(2）由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴,y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．[跟进训练]3．已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积．［解]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上,把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C，使OC＝2OC′，A,B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，C′D′为△A′B′C′边A′B′上的高，C′D′＝eq\f(\r（3），2）a，∴OC′＝eq\r(2）·eq\f(\r(3）,2）a＝eq\f（\r(6）,2)a，∴OC＝eq\r（6)a,故S△ABC＝eq\f(1,2）A′B′·OC＝eq\f(1，2)a·eq\r（6)a＝eq\f（\r(6)，2）a2.1．本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．2．本节课要重点掌握的规律方法（1）画平面图形直观图的方法步骤．（2）画简单空间图形直观图的方法步骤．(3)直观图与原图形之间的关系．3．本节课的易错点是直观图、原空间图形形状之间的相互转换．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（）A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点B[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．］2．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f（\r(3)，2)，那么△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．底边与腰不相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形A［根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形,如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形,故选A．]3．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是________．[答案]椭圆4．如图所示,梯形A′B′C′D′是一平面图形ABCD的直观图．若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′,A′B′＝eq\f（2，3)C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1。试画出原四边形的形状,并求原图形的面积．[解]如图，建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD＝O′