1.4 二项式定理（教师版）

1.4二项式定理【基础梳理】【典型例题】题型一二项式定理公式运用313【例1】 (1)求 x4的展开式．2化多式(＋15(＋1＋10(1)－10(1)5(＋1－1结是( ．(＋25 ．5．(－15 ．35【答案】见解析【解析方法一

134x＝(3)＋(3)·34

14xC(3)24

14x＋(3)4

14x＋C44

1x＝82＋1.＋3x＋1xx3x＋1x1x31x4

4 1 4

1 2 2

3 4 4 1 2方法二

＝ ＝＝

[1CC()C()C()]＝

(1＋12x＋54x3 4 1 12

2 2 22＋ 2 x2原式＝[(1)1]()＝3.【举一反三】11)5(＋1＋10＋1－10＋1＋5(1)1.35【解析】原式＝C(＋15－C(＋14＋C2(＋1)－C3(＋1)2＋C(＋1)－C5(＋1)0＝[(＋1)－155 5 5 5 5 5()3.n n n n （200已知C0C142C23C3n4nCn n n n n n n C1C2C3Cnn n n A．64 B．32C．63 D．31【答案】C【解析】根据二项式定理展开式的逆运算可知n n n n C04C142C243C31n4nCn14n，所以14nn n n n n n n n 所以C1C2C3Cn26C026163故选:C．12C＋4－8…(2n n n n n n n nA．1 B．1 C．(－1)nD．3n【答案】 C【解析】逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.题型二指定项的（二项式）系数

1521201·（在二项式x2

x4的项的系数xx是 。2202·二项式(3x

1)8的展开式的常数项是 ．2x3201·国三题习理在项式(x22)5展式，x系为 。x【答案】（1）10（2）7（3）-805（1）x215

展项T Ckx2kx15k5kCkx3k5， x

k5 5 5 令k54，可得k3，∴5kCk53C310．故选C5 二项式3x

)8的展开式的通项公式为T Cr(3x)8r(1)rCr1

84r3,2x r8

2x 82r84r0r，故所求的常数项为C2

=7.3 822（3）由题意，二项式(x22)5的展开式的通项为T Cr(x2)5r(2)r(2)rCrx103r，x r5 x 5令r3，可得T(2)3C3x80x，即展开式中x的系数为80.4 5【举一反三】

1 6（209理）x

x展开式中的常数项为 ．【答案】15【解析】1x

6x展开式的通项为6 16k k

k k k 3k6T Ck xCkxk61x2Ck1x2 k6x 6 3

1 6当k4时

C44x24615即

x

展开式中的常数项为15故答案为：155 6 x （209国三理）(x22)4开中含5项系为（ ）xA．8 B．8C．4 D．4【答案】B【解析】由x22

开的项式T ðkx24k2

=ðk2kx83k,k,,,,4, x

k4

x 44k 4k4令8k5即k1,∴x225的项的系数为1218.故选:B.4 x4 （209海三考二式3x1二展式第3的项系为 .【答案】55【解析】由题意n＝11，r＝2，（113项的二项式系数为CrC2

55，故答案为：55．11 11题型三多项式的（二项式）系数例31202·庆开学三考理）x2x2x4展式中x的数（ ）57 D．82201·庆中三考理）x2yxy5展式中x3y3系为（ ．10 ．0 C、30 D．0【答案】（1）A（2）C1x2x2x4x2(x)4x(x)4(x)4(x1)4二项展开式的通项公式T Crx(4r)(1)r，x2(x1)4中不含x项,无需求解.r44x(x1)4xr4时xC4x(44)1)4x442(x1)4xr32C3x(43)1)38x4x2x2x4x项9x故选:A.5 5 2）x2yxy5x2yC0x5C1x4y+C5y5，x3y3的项有的C3x3y32C2x5 5 5 55 故x3y3的系数为C32C230，故选：5 【思路总结】【思路总结】①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；【举一反三】（200南三末理）x1(x)5开中含项系为（ ） x A．-112 B．112 C．-513 D．513【答案】C【解析】当项(x1)出x时，5个括号(x3)均出(3)；x当项(x1)出1时，5个括号(x3)有2个出x，3个出(3)；x x所以展开式中含x的项为：xC5x0(3)51C3x2(3)3513x.5 x5所以含x的项的系数为513.故选：C.（200）1

1x6开中x2系为（ ）2x2 A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】当1111x6x2的项为C2x2 x26 当（11x2

1x2

1x6x2的项为C4x， 6所以（111x6x2的系数为C2C430.6

故选C. x2 6 6 （209（理）12x

81

y444

的展开式中x2y2的系数是（ ）A．58 B．62 C．52 D．42【答案】D【解析】12x81

y4

21的展开式中x2y2的系数是C222C2 421 4 8 44 （200江三题习）xyx2y3展式中x3y系 .【答案】53 xyx2y3x3yC1x22yC0x36x3yx3y5x3yx3y3 系数为5.故答案为：5.题型四（二项式）系数和4-1（201（理若f(x)12x)7a

axax2ax7.1）017；（2）；

0 1 2 7

a1a2

a7.1）22）13）27.【解析】（1）令x1，可得f(1)33aaaaaaaa

27，0 1 2 3 4 5 6 7∴a2a427．①（2）xf1)3aaaaaaaa，0 1 2 3 4 5 6 7a2a41．②28，∴14．（3）由题意得二项式2x)7展开式的通项为T Cr(2x)r2rCrxr，2,7)，

r7 7∴

a1a2

a7

a0a1a2a3a4a5a6a727．4-2－)9(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．【答案】见解析－).0 1 2 9(1＋CC2.9 9 9 9(2，令1＝，所以(23)－1.0 1 2 9(31－1，可得5，0 1 2

51又…－1将式加得＝ ，251即所有奇数项系数之和为 .2【思路总结】【思路总结】二项展开式中系数和的求法(12∈R∈N＝1∈RN(2)2n0 1 2＋…＋axn奇数项系数之和为a＋a＋a＋…0 2 4＝f1＋f－1，2偶数项系数之和为a＋a＋a＋…1 3 5＝f1－f－1.2【举一反三】（209）设12x)3a

axax2a x2013(xR).（1）求a1a2a2013的值；（2）a2013的值；

0 1 2 2013（3）

a1a2

a2013的值132013【答案（1）-2；(2) ;(3)320132【解析】（1）令x0，得a01.令x1，得a+aaa (1)20131.①∴aaa

20 1 2 2013 1 2 2013（2）令x1，得aaaaa

32013.②与①式联立，0 1 2 3 20132a

a

132013，所以

1320131 3 2013

a2013 2（3）aaa aaaa

32013（令x1）0 1 2013 0 1 2 2013．设(2－)a求；

0 1 2

100(2…；(3…；(4＋a)…a)；0 2 100 1 3 99(5||…|.【答案】见解析0(102.0(21，可得a＝(－3)，①0 1 2 100a＝(－3)2.1 2 100(3－1，可得a(2＋).②与①式联立相减得＋＝

0 1 2 3－3－2＋30

100.(4a)a)＝a

)(a－a＋a－…＋a

)＝(20 2 100 1

99 0 1

100 0 1

100－)·(＋3)1.(5||＋…＋a，即(＋0(2＋01，0 1 100可得各项系数的和为(2＋3)100.题型五最值问题n【例5（2018·上海市七宝中学高二期末）已知二项式3x 1 的展开式中，前三项系数的绝对值n2323x 成等差数列.n的值；求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项.35 41）8

8（3）7x3. 1 n

nr

1

1r n2r3x【解析（1）二项式 3x

展开式的通项为Cr3x

Cr x3，23x2 n23x2 2 x3由于展开式系数的绝对值成等差数列，则2C11C0C21，即n1n2 x3n2 n n4 8整理得n29n80，Qn2，解得n8；8r1项的二项式系数为Cr，因此，第5r4；81rrr

r

1r

28! 8!C82

2

r!8r！r1!7r! 由 rCr1Cr1

1r，得8! 28! ， 82 8 2

r8r

r1!9r! 2r28整理得9r2r

2r3r=12 4

或3时，项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为C2 x37x3.8 2 2【思路总结】【思路总结】(1)二项式系数的最大项的求法①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)展开式中系数的最大项的求法况进行分析．如求(∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，且第＋1项最大，应用，，得出系数的最大项．【举一反三】x（208）在(x求展开式中所有的有理项；

2)8的展开式中，x2展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项【答案】(1

x4,

112x1,

1120x6,

1792x11；3576、7357

1792x11

1722 8r

2r

45rx【解析】(1)由题(x

)8展开式中的第r项T Crx

Crx 2.x2 r8

x28即T (1)rCr2r

452

4

5r为整数时为有理项.故当r0,2,4,6,8时成立,r8 2分别为TC020x4x4TC222x45112x1TC424x4101120x6,1 8 3 8 5 8TC626x415=1792x11.7 8即x343

112x1,T1120x6,5745r57

1792x11r r(2)由T

(1)rCr2rx

2知,当系数的绝对值最大的项即C82最大.r8

1 2Cr2rCr12r1

8r r1故8 8

5r6.Cr2rCr2r2 18 8

r

9r故绝对值最大的项是第6、7项.其中系数最大的项为T

C626x415=1792x11,系数最小的项为T

7 8C525

172=1792x

1726 8（209理已知(12x)n4等于37，求：展开式中二项式系数最大的项的系数．展开式中系数最大的项．35【答案】(1) 8

T28x7,

28x8.98【解析】（1）由(12x)n的展开式前三项的三项式系数的和等于37，984即C0C1C237，解得n8，即二项式(12x)8，n n n 4所以展开式中第5项的二项式系数最大，因此由T

41 1

24x4

70x435

x4可知此项的系数为35.5 84

16

18rCr

811Cr1

2r184 8 4（2）设二项展开式的第r项的系数最大，则

，解得7r8，Cr1

8r

Cr1

7r

2r184 8 4 所以展开式中系数最大的项为第8项及第9项，1即TC7

27x7x7，

011

28x828x8. 8 84 9 8 题型六二项式定理运用61201·理）1-9C1+902C2-903C3+…+910C108810 10 10 10（）A．－1 B．1 C．－87 D．872202·江三题习）7计结精到位近值（）A．106 B．107 C．108 D．109【答案】（1）B（2）B（1）190C1902C2903C3C1010 10 10 1019010188101C1

882C2883C3

…+C1010 10 10 10188(C12882C3…+889C10),10 10 10 10所以1-90C1+902C2-903C3+…+9010C10除以88的余数是1，故选:B.10 10 10 107 2∵725727C1265C252107.287 ∴1.957107.故选：B【举一反三】（209理若7a(aZ,0

a4)能被3整除，则）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B17 【解析】因为+aaC1C16181aa17 （200江三题习）1以9余为 ；【答案】5132293223 3 3 932222C0322C19222C29222C33 3 3 3211除以9922C35537（201角形中的一种几何排列.如图所示去除所有为1的项依此构成数列则此数列的前46项和为 .【答案】2037nn1行n12n第n1行去掉所有为1的项的各项之和为：2n2从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,则：12345678945，即至第11行结束，数列共有45项1146项为第12行第1个不为1C111

11前46项的和为：2122222322102112037本题正确结果：2037【举一反三】（201理（1261一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下从左到右依次排列得数列，146，，1…记数列n若列n前n和为Sn则S7（ ）A．265 B．521 C．1034 D．2059【答案】B【解析】根据题意杨辉三角前9行共有12345678945故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和S47202122281929119521故选B项.2行有个数且两端的1数均为

(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：

1 1 ＋＝＋

1 1 1 1 1＝＋， ，＝＝＋n≥3)行第3个数字是 ．

1 2

2 3 6

4 12【答案】 2

∈N3)【解析】 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．≥3)行第3个数字是C2

，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是1nC＝ 2 .nCnn－1n－2

n－1

2n－1 26

【强化训练】x2（209川三考理）x x2 A．

的展开式中，常数项为B．C．15 D．60【答案】D【解析】x

26

的展开式的通项为T

Crx6r

2

Crx63r， x2

r6

x262 r 2 r令60r所以x

2x2

展开式中常数项为22C20，故选D 6（200江三题习1+214展式中3系为A．12 B．16 C．20 6【答案】A4 3的系数为C3C14812，故选4 （209西三考理）a2b2ab6展式中a4b4系为（ A．320 B．300 C．280 D．260【答案】B解】ab6开的项：T Cra6rbr2rCra6rbr，r6 6T24C4a64b4240a2b4，T22C2a62b260a4b2，5 6 3 6据此可得：a4b4的系数为24060300.本题选择B选项.（209国三理）(x22)4开中含5项系为（ ）xA．8 B．8C．4 D．4【答案】B【解析】由x22

开的项式T ðkx24k2

=ðk2kx83k,k,,,,4, x

k4

x 44k 4k4令8k5即k1,∴x225的项的系数为1218.故选:B.4 x4 1 5（209北二末理）x4 2x

的展开式中含x5项的系数为（ ） x2 A．160 B．210 C．120 D．252【答案】D【解析】x4

12x

5 1 1

，T

Cr

x210r1

Crx203r，当r=5时，

x

r10

x 10r rTC5x5252x5.故选D.6 10（209理）1)(1x)6x2的系数为（）x2A．30 B．15 C．0 D．-15【答案】C【解析】x)6的展开式的通项公式为T Crxr，r6故x)6x2项的系数是C2x4项的系数是C46 6所以(11)(1x)6展开式中x2的系数为C2-C4=0x2 6 6 1634x（200南三末理）2x 展式中项（34x A．-40 B．40x2 C．40 D．40x2【答案】B6k解】2x 1展式通为T Ck2x6k16k34x34x k634x34x 13

1

313则中间项为T

C3(2x)3

2023 x

40x2.故选：B.4 6

34x

4 （200国三题习若x2ax110展式中x6系为30则a于（ ） x1 1B．3 2

C．1 D．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为x2ax110x2x110ax110 x x x rnrr

1

r10r

1

r102r根据二项式定理展开式通项为Cna

,x x x

的通项为x

x x

C10x令102r

r

，所以x6的项为x2C3x4120x6令102r6解得r=21010x6的项为aC2x645ax61010

x6的系数为12045a

a

故选:Dn n n n （200已知C0122C23C32nCnn n n n n n n C1C2C3Cnn n n A．63 B．64 C．31 D．32【答案】A【解析】根据二项式定理展开式的逆运算可知n n n n C02C122C223C32nCn12n所以3nn n n n n n n n n6则C1C2C3Cn26C026n n n n 1202·国三题习） 设i虚单，则＋i6展式含4项( －14 ．14 C－204 D204【答案】A6(狘ᚃᥨ6Trᔥ=Cr6rr6垰r=4r=ᔥ狘4的项66Cᔥ狘4ᥨᔥ=垰ᔥ5狘46

17x1202·国三题习已知x x

的展开式的第4项等于5，则x等于（ ）1A．7【答案】B

17

C．7 D．7n【解析】根据二项式定理展开式通项为n

Cranrbr34

1

765x4

135x54C7

x

5321

x3 解得x1故选:B71202·）13x5=0+1x+2x2+3x3+4x4+5x5a0++a2++a4+=（ ）A．1024 B．243 C．32 D．24【答案】A【解析】根据二项式定理展开可得13x5=C03x+C23x2+C33x3+C43x4+C53x55 5 5 5 5 5则a01,a1C1315,aC23290,aC3332705 2 5 3 555 a4C434405,aC53555 所以a0+a1+a2+a3+a4+a51+15+90+270+405+2431024故选:A

16x21202·蒙高期（二式x x2

m0的展开式中常数项为60，则m（ ）23A． B． C．2 D．323【答案】A解】项T Crx6rx2rrCrm6rx63rr,r,,,,,,6,r6 6令63r0，得63r，得r=2，2所以C2m62(1)2C2m460，即故m ，故选：A.26 61202·设A．0，且B．1，若13C．11D．12【答案】D【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.1201·西二末理）1x13展式，数小项（ A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【答案】C【解析由题设可知展开式中的通项公式为T Cr(x)r(1)rCrxr其系数为(1)rCr当r为奇数r13 13 1313时展开式中项的系数(1)rCr最小，则r7，即第8项的系数最小，应选答案C。131201设(2x)5aaxax2ax50a2a40 1 2

aaa1 3 5为（ ）A．244241【答案】B

B．122121

C．6160

D．-1【解析】由(2x)5aaxax2ax5，0 1 2 5令x1得：(21)5aaaaaa，①0 1 2 3 4 5x得：[2aaaaaa，②0 1 2 3 4 5联立①②得：aaa1243122，aaa1243121，0 2 4 2 1 3 5 2a0a2a41 3 即aa1 3

122，故选：B.1211201西考（国宋学杨辉121所解章法书出了图所示的表即杨辉三角这是数学史上的一个伟大成就“杨辉三角中第n行的所有数字之和为2n1，若去除所有为1的项依次构成数列则此数列的前15项和（ A．110 B．114 C．124 D．125【答案】Bnn1行，x12n，其中第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，n 1-2n n

Sn

=1-2

2-1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,12

n(n1)，2令n(n1)15，解得n5，2所以前157，即2713114，15114B.1201·庆二考理）(x2y)4开中项系最的的数为 (数作答)【答案】24【解析(x2y)4展开式中的通项公式为T Cr2rx4ryr，r44r1项的二项式系数为Crr=4时，二项式系数最大，4故二项式系数最大的项的系数为C22224.故答案为：24．41201海大中二考）1x81y4展式中x2y2系是 （数作）【答案】16881x8x2的系数为C281y4y2的系数为C2x2y2的系数是C2C287431684故答案为:168

84 2 21202·设1x)8aaxax2a

x2018，若0 1 2 20182a2a0，则实数a.【答案】2【解析】(1ax)2018aaxax2a

x20180 1 2 2018两边分别求导：2018a(1ax)2017a2ax2018a

x20171 2 2018x12018a(1a)2017a

2018a

2018aa22

1 2 20182201·若1x5aaxax2ax5aaa

.0 1 2 5 1 2 5【答案】311x5aaxax2a5,0 1 2 5x0a1x115aaaa

32,0 0 1 2 5∴a1a2a532131.故答案为：31.n n 2202·若是正整数，则7n7n1C17n2C27Cn1n n .【答案】07【解析】7n7n1C17n2C27Cn1C09nC19n1(1）n n n n nn Cn191(1)n1Cn90(1)nn （﹣1﹣1C09nC19n1(1）Cn1﹣11n n n每项都是9的倍数．∴这整个式子都可以被9整除，此时余数为0．是正奇数，则原式C09nC19n1(1）Cn191(1)n1Cn90(1)n1．n n n nC09nC19n1(1）Cn191(1)n12．n n n∵﹣29707．故答案为：07．2201·海七中高）5﹣1被7后余为 ．【答案】051 51 51 【解析】50511(491)511C04951C14950C504951 51 51 51 51 C04951C14950C504949是750﹣1被751 51 故答案为：02201·理若12x)9a

axax2a x2019(xR，则a1a2a2019

．

0 1 2 20102 221

22019【解析】2x)2019aaxax2a x2019(xR)0 1 2 2010x0a

x1，则0

a1a2a2019a1a2a2019

10故答案为1

2 0 2 22

22019

2 22

220192201·在(2x3y0(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和;(3)各项系数之和;(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.答1）104（2512 512（）1（4见析【解析】(1)各项的二项式系数的和为C0C1C2C102101024;10 10 10 10(2)奇数项的二项式系数的和为C0C2C102951210 10 10偶数项的二项式系数的和为C1C3C9

2951210 10 100 1 2 10 0 1 2 (3(2x3y)=a+ay+axy+…+ay0(*)0 1 2 10 0 1 2 (*x==1(2-)=(-1=1.(4+a++…+aa++a+…+.由(3+a++…+a=1.①0 1 2 3 (*x=,y=1a-a+a-a0 1 2 3 2(aa

)=15

15102;20 2 102(a+a+…+a)=-

15102.21 3 9x 1nx2201·）若

24x

展开式中前三项系数成等差数列，求： 的一次幂的项；x的有理项；展开式中系数最大的项．1T35x（T

x4；T35x；T

1 3系数最大项为第3项5 8 5 7

5 8

256x2T37x2和第4项T47x4【解析】

1n

Cr

nrx

1r n3r224x r r 22 xx2x4n由已知条件知C0C212C11，解得：n8或x2x4nn n22