2021年全国高考乙卷数学（理）真题试卷（含详解）

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

工.设2(z+z)+3(z—z)=4+6i,贝!|z=()

A.1—2zB.1+2zC.1+zD.1—i

2.已知集合5=1卜=2〃+l,〃eZ},T={t'=4〃+l,〃eZ},则S?T()

A.0B.SC.TP.Z

w

3.已知命题p:HxeR,sinx<1；命题q:VxeR,e>1,则下列命题中为真命题的是()

A.B.nPA4C.夕八FP.->(〃vq)

1—x

4.设函数/(x)=——，则下列函数中为奇函数的是()

1+X

A./(X—1)—1B./(%-1)+1c.y(x+l)-1D./(x+l)+l

5在正方体ABC。—45G2中，P为42的中点，则直线PB与所成的角为()

无兀-无71

A.-B.-C.-D.一

2346

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

7.把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的51倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移1TT个

单位长度，得到函数'=$足》一£的图像，则/（%）=（）

x7%X7C

A.sinB.sin—+一

2~~12212

sin2x-左

D.sin

C.I12I2x+—12

7

8.在区间@i）与a,2）中各随机取।个数，则两数之和大，的概率为（）

7c23DI

A.8.—

932

<?.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，

H,G在水平线AC上，OE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称

为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）

“表高x表距言C表高X表距

表目距的差卡表问区表目距的差一表同

表高X表距表高X表距

表目距的差表D.一表距

表目距的差

ro.设aoO,若x=a为函数/（x）=a（x-a）2（x—3的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>cr

设3是椭圆C:[+2"=l（a>b〉0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足IPB区28,则c的离

ab~

心率的取值范围是（）

人肉）8心1]。[衅D同

12.设。=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=VLO4-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

X3.已知双曲线C:工—:/=］（机＞0）的一条渐近线为Gx+my=0,则C的焦距为.

m

14.已知向量a=（1,3）,B=（3,4）,若（a—萩）则4=.

IS.记A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,面积为G，B=60°,a1+c2=3ac＞则匕=

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所

选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

H—2—H

图③

图④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10110.410.110.010.110.310.610.510.4105

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为［和亍，样本方差分别记为S；和.

⑴求"G,S：,s；；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果》—了22、寸土4,则认为

V10

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

28.如图，四棱锥尸一438的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M为6c的中点，

(2)求二面角A—PM—3的正弦值.

21

工名记S”为数列｛%｝的前"项和，"为数列｛"｝的前〃项积，已知不+了=2.

(1)证明：数列出｝是等差数列；

(2)求｛凡｝的通项公式.

2-0.设函数/(》)=1!1(«—工)，已知x=0是函数y=V(x)的极值点.

(1)求4；

/、X+f(x)、.

(2)设函数g(x)=―4一.证明:g(zx)<l.

xf(x)

2L已知抛物线C：f=2〃y(p>0)焦点为F,且E与圆加：/+。+4)2=1上点的距离的最小值

为4.

(1)求〃；

(2)若点尸在M上，是C的两条切线，A,B是切点，求△尸AB面积的最大值.

(二)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

22.在直角坐标系中，OC圆心为。（2,1）,半径为1.

（1）写出G）C的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切

线的极坐标方程.

［选修4-5：不等式选讲］（10分）

23.已知函数/（%）=上一。|+卜+3］.

（1）当4=1时，求不等式/（耳26的解集；

（2）若求“的取值范围.

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理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设2（z+z）+3（z—z）=4+6i,贝!|z=（）

A.1—2/3.1+2zC.1+zP.1—z

【答案】C

【分析】设2=。+初，利用共规复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、b的等式，解出这两个未

知数的值，即可得出复数Z.

【详解】设2=。+万，则-6，则2（z+z）+3（z-z）=4a+6bi=4+6i,

4。=4

所以，\,,解得。=人=1,因此，z=l+i.

6b=6

故选：C.

2.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃62},T={f'=4〃+I,〃eZ},则S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得T=由此可得出结论.

【详解】任取feT,则r=4〃+l=2・（2〃）+L其中〃eZ,所以，feS,故TqS,

因此，SDT=T.

故选：C.

3.已知命题p：eR,sinx<1；命题<7：VxeR,e"‘>1,则卜列命题中为真命题的是（）

A.P^qB.-PMC.PAfD.

【答案】A

【分析】由正弦函数的有界性确定命题。的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正

确选项.

【详解】由于sinO=O,所以命题P为真命题；

由于y=/在R上为增函数，凶之0,所以#2e0=l，所以命题4为真命题；

所以〃为真命题，—p^q、〃八f、一为假命题.

故选：A.

1—x

4.设函数/（x）=——，则下列函数中为奇函数的是（）

1+X

A./（X—1）—1B./（X—1）+1C./（X+1）—1D.+1

【答案】8

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得了（》）=丁』=一1+;—,

1+X1+X

2

对于A,f（x-l）-\=——2不是奇函数；

X

2

对于B,1）+1=一是奇函数；

x

2

对于C,f（x+l）-l=------2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

x+2

2

对于D,/（x+l）+l=——,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

$在正方体A8CO—A4G2中，P为3Q的中点，则直线总与AA所成的角为（）

71兀71

A.-B.—D.—

236

【答案】D

【分析】平移直线AA至Bq,将直线PB与A3所成的角转化为心与BG所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接BG，PC1,PB,因为AA〃BG，

所以NPB0或其补角为直线依与所成的角，

因为B41平面A&GA，所以BB|J.,又PC]±BQi，BBiCBQi=B],

所以PG_L平面PBB\,所以PQJ.PB,

设正方体棱长为2,则=2P&=g。筋=&,

sinZPBC,=^-=1.所以NP8G=1.

oCf26

故选：D

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘

法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同

的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；x4!=24()种不同的分配方案,

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排

思想求解.

1JT

7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移差个

23

单位长度，得到函数y=皿|\一£］的图像,则/(%)=()

/、

D.sin2,xM----

I12；

【答案】8

【分析】解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到

再利用换元思想求得y=fix)的解析表达式;

解法二：从函数y=sinx-f出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=/(x)的解析

I4)

表达式.

【详解】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到

y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移。个单位长度，应当得到y=/的图象,

根据已知得到了函数y=sin(x—f］的图象，所以/2|<x—=sin(x—g］,

人，/万t兀71t71

所以〃/)=sin：+舟，所以/(x)=sin仁+《

解法二：由已知的函数y=sin(x-f］逆向变换，

向左平移?个单位长度，得到y=sin》+?-7]=5山1》+专)的图象,

第一步:

fX7t\

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin万+五的图象,

即为y=/(x)的图象，所以/(x)=sin]：+总.

故选：B.

7

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()

4

72392

A.-B.—C.—D.一

932329

【答案】8

【分析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为X,y,则实验的所有结果构成区域为

O={(x,y)0<x<l,l<y<2},设事件A表示两数之和大于,则构成的区域为

A=，(x,y)[0<x<l,l<y<2,x+y)(},分别求出Q,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即

可解出.

【详解】如图所示:

设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为乂丁，则实验的所有结果构成区域为

0={(x,y)[0<x<l,l<y<2},其面积为*=1x1=1.

设事件A表示两数之和大于(，则构成的区域为A={(x,y)[0<x<1,1<y[2,x+,即图中的阴影

i3393S23

部分，其面积为SA=1-二x：x：=),所以d=

24432SQ32

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件。,A对应的区

域面积，即可顺利解出.

9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，

H,G在水平线AC上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称

为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与E”的差称为"表目距的差”则海岛的高()

表高〉表距表高x表距

A.+表高B.表目距的差一表同

表目距的差

表高x表距表高x表距一*加

C.+表距D.表目距的差表距

表目距的差

【答案】A

【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.

【详解】如图所示：

DFFHFGCG

由平面相似可知，-,而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEH_CG_CG-EHCG-EH

,而

AC-AH~~CHCH=CE-EH=CG—EH+EG,

CG-EH+EGMEGxDE”表高〉表距

即AB=--------------xDE=-------------+DE=+表高.

CG-EHCG-EH表目距的差

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.

ro.设a00,若x=a为函数/(x)=a(x-a)2(x—。)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2P.ab>a2

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对a进行分

类讨论，画出了(4)图象，即可得到”,〃所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=人，则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.

・•・/(X)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=6左右附近是变号的.依题

意,工■”为函数/(x)=a(x_a)2(x-b)的极大值点，，在左右附近都是小于零的.

当"0时，由x〉Z?,/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知。avO,故a。〉。2.

当。>0时，由X”时，/(%)>0,画出/(力的图象如下图所示:

由图可知/?>〃，。>0,故

综上所述，〃力>〃2成立.

故选：D

【点睛】本小题主耍考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

22

11.设B是椭圆C:=+[=l（a>b〉O）的上顶点，若C上的任意一点尸都满足IPB区2。，则。的离

CTb-

心率的取值范围是（）

人悍氏[；,1]“qD.[0,1

【答案】C

【分析】设尸（“0，九），由3（0,6）,根据两点间的距离公式表示出恒身，分类讨论求出|P8|的最大

值，再构建齐次不等式，解出即可.

22

【详解】设〃6°,几），由3（0,。），因为*+乌=1,/=/+,2,所以

a"b~

2

,,（v>,r2（h3y

=*+（为一〃）~a~1-#+（%一〃）~=一F%+7+—^+a-+h-,

因为一当-二g-b，即时，伊欧=4凡即=2b,符合题意，由

IImaxIimax

022c2可得a222c2,即0<e«注；

2

当-鸟>-劣,即。<。2时,\PBf=*/+〃，即4.+“2+从44/，化简得,

21

CImaxc2c2

(c2-&2)2<0,显然该不等式不成立.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是如何求出|尸耳的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论

函数的单调性从而确定最值.

工2.设。=21nl.01,b=lnl.O2,c=V1.04-1.则()

A.a<b<c8.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】8

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对。力的大小作出判定，对于〃与C,b与。的大小关

系，将0.01换成X,分别构造函数〃x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,利用

导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合式0尸0,g(0)=0即可得出a与c,b与c的大小

关系.

【详解】a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=/?,

所以。<Q；

下面比较C与〃力的大小关系.

222(Jl+4x—1—x

记〃x)=21n(l+x)-J1+4X+1厕/(0)=0,/(x)

1+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于1+4元一(1+xf=2x-x2=x(2-x)

所以当0<r<2时，l+4x—(l+x『>0,即Jl+4x>(l+x)J'(x)>(),

所以/(九)在［0,2］上单调递增,

所以/(0.01)>〃0)=0,即21nl.01>A/LO4-1,BP^>C；

222(Jl+4x-l-2x

☆g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l』iJg(O)=O,/(%)=

l+2xJl+4x(l+2x)Jl+4x

由于l+4x—(l+2x)“=-4x2,在x>0时,l+4x—(l+2xj<0,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+8)上单调递减，所以g(O.Ol)vg(O)=O,即lnL02v«5?-1,即Xc;

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.已知双曲线y2=l(m>0)一条渐近线为6x+my=(),则C的焦距为.

m

【答案】4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再结合双曲线中。2,从对应关系，联立求解加，再

由关系式求得C,即可求解.

【详解】由渐近线方程6x+〃少=0化简得y=-且x,即2=更，同时平方得］=乌，又双曲线中

mamam

cc31

a1=m,h2=1,故二r=—，解得，〃=3,m=0(舍去)，c2=a2+b2=3+\=4^>c=2,故焦距2c=4.

nrm

故答案为：4.

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

X4.已知向量Q=（1,3）,B=（3,4）,若（。一刀）_1力，则2=.

3

【答案】-

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为々-花=（1,3）-2（3,4）=（1-343-4孙所以由R-网_L1可得,

3（1—3X）+4（3—4X）=（）,解得九=].

3

故答案为：—.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设Z=（x，x）,彼=（々,%），

a±b<^>a-h-O<^>+y}y2=0.注意与平面向量平行的坐标表示区分.

15.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,面积为6，8=60。，a2+c2=3ac>则匕=

【答案】2x/2

【分析】由三角形面积公式可得ac=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，SAI!C=-acsinB=^-ac=\/3>

△A外,24

所以ac=4,t/2+c2=12,

所以。2=/+。2_，2accosB=12-2x4x；=8,解得。=2血（负值舍去）.

故答案为：2夜.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所

选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

H——2-H

图①

图④

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】选择侧视图为③，俯视图为④,

如图所示，长方体ABC。—中，AB=BC=2,BB]=1,

民厂分别为棱4G，BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E-AT方.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关

系.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品该项指标的样本平均数分别记为1和亍，样本方差分别记为和门.

（1）求X,y,S；,；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果9—元22、丘土豆，则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较I日设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）1=10,7=10.3,5；=0.036国=0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显

著提高.

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

【详解】（1）x=

10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=2>/0.0225>2J0-03^0-04=270.0076,

不_122,且萨，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

.如图，四棱锥尸―ABCD的底面是矩形，PO_L底面ABC。，PD=DC=\,M为BC的中点,

（2）求二面角A——3的正弦值.

【答案】（Z）V2；（2）叵

14

【分析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC、DP所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系，

设8C=2a,由已知条件得出丽.亚=0,求出”的值，即可得出BC的长；

（2）求出平面的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）［方法一］：空间坐标系+空间向量法

平面ABC。，四边形ABC。为矩形，不妨以点。为坐标原点，D4、DC、0P所在直线分别

为X、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

设8C=2a,则。（0,0,0）、P（0,0,l）、B（2a』,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

则丽=（2a,l,-l）,加=（—a,l,O）,

•.•PB_LAM，则而・应=-2/+1=0，解得a=也，故BC=2a=6；

2

［方法二］【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结80.因为PD_L底面A8CQ,且A〃u底面A8C。，所以FQ_LAAf.

又因为PB^PD^P,所以A〃_L平面P/犯.

又BDu平面PBD,所以AW_L3Z）.

从而ZADB+ZDAM=90°.

因为/儿为8+/0470=90°,所以NM4B=NAD3.

所以AADBSABAM，于是F=

ABBM

所以gBC2=l.所以8C=J2.

［方法三］:几何法+三角形面积法

如图，联结交A4于点N.

由［方法二I知4W_LDB.

ANDA2

在矩形ABC。中，有ADANABMN,所以——=——=2,即4V=-AM.

MNBM3

令3C=2t(f>0),因为M为3c的中点，则=DB=+1，AM=V?2+1-

由邑。"=3。4.48=:。8.4",得「=37^777•|V7TT,解得『=：,所以3c=2f=&.

(2)［方法一］【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面RVW的法向量为两=&,y,zj,则通f=-y-,1,0,丽=卜0,0,1上

m-AM=-^-X]+y=0

由,取％=夜，可得庆=(五,1,2),

in•AP=一夜％+Z]=0

,0,0,BP=(-V2,-1,1),

设平面PBM的法向量为n=(x2，y2,z2),BM=

7

n-BM=-^-x.=0/、

由＜2-，取％=1，可得冗=（0』,l）,

心-\[2X

BP=2-y2+z2=0

in-ft3_3^/14

cos（冠尸）

I研同77x72-14

所以，sin（所,n）=Jl-cos?（而㈤=~~，

因此，二面角A—9—3的正弦值为叵.

14

［方法二］:构造长方体法+等体积法

如图，构造长方体ABC。一人用G2,联结A4，AB,交点记为4,由于AgJ.4B,\LBC,

联结AG,由三垂线定理可知AG±D.M,

故NAG”为二面角A—PM—3的平面角.

易证四边形A8cA是边长为0的正方形，联结〃”，HM.

—

S.D、HM=3D\M,HG,SQ、HM=§正方形人痛鼻一S©%”^HBM~9

由等积法解得HG=±叵.

10

在Rf»HG中，A”=Y2,"G=3叵，由勾股定理求得AG=4*

2105

所以，sinZAGH=-=^.即二面角A—PM—B的正弦值为画.

AG1414

【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结

合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面

积方法求得.

（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简

洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.

21

订.记s”为数列｛凡｝的前"项和，勿为数列⑸｝的前〃项积，已知不+7=2.

（1）证明：数列｛4｝是等差数列；

（2）求｛凡｝的通项公式.

[3,

—,n=l

2

【答案】（1）证明见解析；（2）凡=，

—7—n，〃22

〃（〃+1）

2\2b

【分析】（1）由已知丁+了=2得且取〃=1,得〃由题意得

2期-12

2b,2A2h,2bzh+]（、

不看•瓦W•••不七=%,消积得到项的递推关系2h=,，进而证明数列｛bn｝是等差数列；

（2）由（1）可得〃的表达式，由此得到S“的表达式,然后利用和与项的关系求得

【详解】⑴[方法一]:

21c。221

由已知"+元=2得5.=万％,且〃产0,2产

取〃=1,由&=4得

由于“为数列｛s.｝的前〃项积，

24-12b,—l

2b「l2b2-l

由于2+i工。

211

所以2b一广厂即4+1一2=5,其中”eN*

qI

所以数列｛〃｝是以4=5为首项，以△=彳为公差等差数列;

乙2.

［方法二］【最优解】：

由已知条件知bn=S｝-S2-S3••…5„_,-S,,①

于是如=工。邑。§3..5„_］(n>2).②

b

由①②得广=5“.③

21三

又不+了=2,④

S“bn

由③④得

a

令〃=1,由S]=4，得4=/.

31

所以数列｛2｝是以I■为首项，;为公差的等差数列.

22

[方法三]:

215

由晨+1=2,得b“=2s工，且S，尸0，〃产°，S,尸1.

,b,1

又因为a=SjS,i……S—,所以=所以

3"23"-2

bn-bn,=----------J—=>T=-(«>2)

“z2S„-22S„-22(S„-1)2

21c3

在不+不=2中，当〃=1时，4=5]=；.

S.bn2

31

故数列｛〃｝是以彳为首项，3为公差的等差数列.

［方法四］:数学归纳法

2］2b勺q

由己知丁+a=2,得S“=药七，b、《,4=2,4=］，猜想数列也｝是以1•为首项，；为

公差的等差数列，且2=g〃+l.

下面用数学归纳法证明.

当〃=1时显然成立.

1女+2

假设当〃=后时成立，即4=2攵+1,&=晨1,

那么当〃=后+1时，々向="$句=|^左+1）三|=一=；（左+D+1.

综上，猜想对任意的〃eN都成立.

21

即数列｛〃｝是以二为首项，2为公差的等差数列.

乙乙

（2）

O1

由（1）可得，数列｛4｝是以为首项，以为公差的等差数列，

乙L

,.3/八I1〃

..h=---F（/2—I）X_=IH-----,

7

n2v22

s-2b"-2+n

n

2bn-ll+〃’

3

当n-1时，，4=&=一,

2

CC2+HI+HI、

当时，，。〃=S〃一Si=~=7一=,显然对于n=l不成立,

l+nnn\n+\）

21co2仇，、

【整体点评】（1）方法一从不+了=2得S“=iU［,然后利用/的定义，得到数列｛a｝的递推关

系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论;

方法二先从4的定义，替换相除得到F6=S„,再结合不2+丁1=2得到a一一i，从而证得结论，为

最优解；

2］S人\

方法三由不+1=2,得/=不丁丁，由久的定义得也一=于=：7「7,进而作差证得结论；方法

四利用归纳猜想得到数列2=,〃+1,然后利