椭圆简单几何性质

椭圆及其性质【学习目标】①了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【考纲要求】椭圆方程为B级要求【自主学习】1．椭圆的定义(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2②当2a＜|F1F2．椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中(>>0，且)(2)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足：．3．椭圆的几何性质(对,a>b>0进行讨论)(1)范围：≤x≤，≤y≤(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；(4)离心率：(与的比)，，越接近1，椭圆越；越接近0，椭圆越接近于．

(5)椭圆的参数方程为．

4．焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)(3)面积：＝r1r2sin＝·2c|y0|(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)

【基础自测】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于.

2.若椭圆=1的离心率为，则实数m=.

3设椭圆+=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为.

4（2008·江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=.

[典型例析]例1（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.

例2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

例3已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点A(1，eq\f(2\r(5),5))，B(－2，eq\f(\r(5),5))．圆F的圆心是椭圆E的右焦点F，且圆F的半径恰等于椭圆的短半轴长．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)若点P是圆F上的一个动点，求eq\o(\s\up8(),FP)eq\o(\s\up8(),OP)的取值范围．

[当堂检测]1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是.

2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为.

3.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为.

4经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则·等于.

解(Ⅰ)设椭圆E的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．………………2分因为A(1，eq\f(2\r(5),5))，B(－2，eq\f(\r(5),5))在椭圆E上，所以eq\b\lc\{(\a\al(m＋eq\f(4,5)n＝1，,4m＋eq\f(1,5)n＝1，))…4分解得m＝eq\f(1,5)，n＝1，满足条件．所以所求椭圆E的标准方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1．…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的右焦点为F(2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝1，所以圆F的方程为(x－2)2＋y2＝1．……8分设P(x，y)，则eq\o(\s\up8(),FP)＝(x－2，y)，eq\o(\s\up8(),OP)＝(x，y)，所以eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)＝x(x－2)＋y2＝x2＋y2－2x＝2x－3．…………10分因为(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，即－1≤x－2≤1，得1≤x≤3．所以－1≤2x－3≤3，即eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)的取值范围为[－1，3]．………14分解法二由(Ⅰ)知椭圆E的右焦点为F(2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝1，所以圆F的方程为(x－2)2＋y2＝1．…………………8分设P(2＋cosθ，sinθ)，θ∈R，则eq\o(\s\up8(),FP)＝(cosθ，sinθ)，eq\o(\s\up8(),OP)＝(2＋cosθ，sinθ)，所以eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)＝cosθ(2＋cosθ)＋(sinθ)2＝2cosθ＋1．……12分因为－1≤cosθ≤1，所以－1≤2cosθ＋1≤3，即eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)的取值范围为[－1，3]．……………