高中数学第5章三角函数53诱导公式公式二公式三和公式四第一册数学教案

第1课时公式二、公式三和公式四学习目标核心修养认识公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够正确记忆公式二、公式三和公式

1.借助公式进行运算，培育数学运算修养．四．(要点、易混点

)

2．经过公式的变形进行化简和证明，

提高逻3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵巧

辑推理修养

.应用．

(难点)1．公式二角π＋α与角α的终边对于原点对称．如下图．公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．公式三角－α与角α的终边对于x轴对称．如下图．公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．公式四角π－α与角α的终边对于y轴对称．如下图．公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.思虑：(1)引诱公式中角α只好是锐角吗？引诱公式一～四改变函数的名称吗？提示：(1)

引诱公式中角

α能够是随意角，要注意正切函数中要求

α≠kπ＋

π2，k∈Z.引诱公式一～四都不改变函数名称．1．假如

α，β知足

α＋β＝π，那么以下式子中正确的个数是

(

)①sin

α＝sin

β；②sin

α＝－sin

β；③cos

α＝－cos

β；④cos

α＝cos

β；⑤tanα＝－tanβ.A．1

B．2

C．3

D．4C[因为

α＋β＝π，因此

sin

α＝sin(

π－

β)＝sin

β，故①正确，②错误；cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，故③正确，④错误；tanα＝tan(π－β)＝－tanβ，⑤正确．应选C.]2．tan－4π等于()333A．－3B.3C．－3D.34π－2π＋2π2πC[tan－3＝tan3＝tan3ππ＝tanπ－3＝－tan3＝－3.]3．已知tanα＝3，则tan(π＋α)＝________.3[tan(π＋α)＝tanα＝3.]2π4．求值：(1)sin3＝________.(2)cos7π－＝________.6332ππ(1)2(2)－2[(1)sin3＝sinπ－33sin3＝2.7π7πππ3(2)cos－6＝cos6＝cosπ＋6＝－cos6＝－2.]给角求值问题【例1】求以下各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos31π；(3)tan(－945°)．－6[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)3＝－sin60°＝－.2法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)3＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－2.(2)法一：cos－31π＝cos31π667πππ3＝cos4π＋6＝cosπ＋6＝－cos6＝－2.31π5π法二：cos－＝cos－6π＋66ππ3cosπ－6＝－cos＝－.26(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用引诱公式求随意角三角函数值的步骤“负化正”——用公式一或三来转变；2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转变为锐角；4“锐求值”——获得锐角的三角函数后求值.π2π3π4π1．计算：(1)cos5＋cos5＋cos5＋cos5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．[解](1)原式＝π4π＋cos2π3πcos＋cos＋cos5555ππ2π2π＝cos5＋cosπ－5＋cos5＋cosπ－5＝cosπ－cosπ＋cos2π－cos2π＝0.5555(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°114°]tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)sin66°－sin66°＝0.给值(式)求值问题【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()22A.m－1m＋12B.222C.1－mD．－m＋1221(2)已知cos(α－75°)＝－3，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[思路点拨](1)化简已知和所求三角函数式→依据sinα±cosα，sinαcosα的关系求值105°＋α－α－75°＝180°(2)1→cosα－75°＝－3，α为第四象限角求sin

α－75°

→用sin180°＋α

＝－sin

α求值(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－

α)sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosαsin22α＋cosα－1m－1＝2＝2.]1[解]∵cos(α－75°)＝－3＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°222＝－1－－3＝－3，sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]2＝－sin(α－75°)＝3.1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．[解]cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]1＝－cos(α－75°)＝3.12．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－3”改为“tan(α－75°)＝－5”，其余条件不变，结果又怎样？[解]因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，因此α－75°是第四象限角．sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，由sinα－75°cosα－75°＝－5，26sinα－75°＝－26，解得26cosα－75°＝26sin526α－75°＝，26或(舍)α26cos－75°＝－26.因此sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]26＝－sin(α－75°)＝26.解决条件求值问题的两技巧找寻差别：解决条件求值问题，第一要认真察看条件与所求式之间的角、函数名及相关运算之间的差别及联系.2转变：能够将已知式进行变形向所求式转变，或将所求式进行变形向已知式转变.提示：想法除去已知式与所求式之间的各种差别是解决问题的要点.利用引诱公式化简问题[研究问题]1．利用引诱公式化简sin(kπ＋α)(此中k∈Z)时，化简结果与k能否相关？提示：相关．因为k是奇数仍是偶数不确立．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2(∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.nn2．利用引诱公式化简tan(kπ＋α)(此中k∈Z)时，化简结果与k能否相关？提示：没关．依据公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα.(此中k∈Z)【例3】设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α].[思路点拨]此题常用的解决方法有两种：①为了便于运用引诱公式，一定把k分红偶数和奇数两种状况议论；②察看式子构造，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用副角法．[解]法一：(分类议论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin－αcosπ＋α－sinα－cosα＝－1；sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sinπ＋αcosα＝－sinαcosα当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(副角法)因为kπ－α＋π＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2π，kk故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．因此原式＝－sinkπ＋α[－coskπ＋α]－sin＝－1.kπ＋αcoskπ＋α三角函数式化简的常用方法1合理转变：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依照所给式子合理选用引诱公式将所给角的三角函数转变为角α的三角函数.2切化弦：一般需将表达式中的切函数转变为弦函数.提示：注意分类议论思想的应用.tan2π－αsin－2π－αcos6π－α2．化简：(1)；cosα－πsin5π－αsin1440°＋α·cos1080°－α(2)cos－180°－α·sin－α－180°.[解](1)原式＝－tanαsin－αcos－α＝tanα·sinα·cosα＝－tancosπ－αsinπ－α－cosα·sinαα.原式sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]sinα·cos－α＝－cosα·sinαcosα＝－cosα＝－1.1．引诱公式一～四可简要归纳为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α当作锐角时原函数值的符号”．或许简述为“函数同名，象限制号”．2．利用公式一～四能够把随意角的三角函数转变为锐角三角函数，一般可按下边步骤进行：随意负角的用公式随意正角的用公式一――→――→三角函数三角函数三或一0～2π的角用公式锐角的三的三角函数――→角函数二或四1．思虑辨析(1)公式二～四对随意角α都建立．( )(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(3)在△中，sin(＋)＝sin．()ABCABC[提示](1)错误，对于正切的三个公式中α≠kπ＋π，k∈Z.2由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．因为A＋B＋C＝π，因此A＋B＝π－C，因此sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.[答案](1)×(2)×(3)√32．已知sin(π＋α)＝5，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )4443A.5B．－5C．±5D.5B[因为sin(π＋α)＝－sin33α＝，因此sinα＝－.55又α是第四象限角，因此cosα＝45，4因此cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－5.]cos－585°3.sin495°＋sin－570°的值等于________．cos360°＋225°2－2[原式＝sin360°＋135°－sin360°＋210°cos180°＋45°sin180°－45°－s