【成才路】20162017学年高中数学人教版选修21习题第3章空间向量与立体几何315Word版含答案

第三章3.1一、选择题→2→)1．已知A(3，－2,4)、B(0,5，－1)，若OC＝AB，则C的坐标是导学号33780784(314，1014，－10A．(2，－33)B．(－2，33)14101410C．(2，－3，－3)D．(－2，－3，3)[答案]B[分析]→＝(－3,7，－5)，∵AB→2(－3,7，－5)＝－2，14，－10.∴OC＝333应选B.→→)2．设M(5，－1,2)、A(4,2，－1)，若OM＝AB，则点B应为导学号33780785(A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)[答案]B[分析]→→→→∵OM＝AB＝OB－OA，→→→∴OB＝OM＋OA＝(9,1,1)．应选B.3．已知点A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则△ABC的形状是导学号33780786()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[分析]→→→AB＝(3,4，－8)、AC＝(5,1，－7)、BC＝(2，－3，1)，→22289，∴|AB|＝3＋4＋8＝→52＋122＝75，|AC|＝＋7→22＋3214，|BC|＝＋1＝|AC→|2＋|BC→|2＝75＋14＝89＝|AB→|2.∴△ABC为直角三角形．4．已知a＝(1,2，－y)、b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则导学号33780787()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝－4321C．x＝2，y＝－4D．x＝1，y＝－1[答案]B[分析]a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，(a＋2b)∥(2a－b)，2x＋1＝λ2－x，1∴4＝3λ，∴x＝2，4－y＝－2y－2λ.y＝－4.5．(2015河·南郑州市高二期末测试)已知a＝(2,4，x)、b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是导学号33780788()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1[答案]A[分析]∵|a|＝6，∴|a|2＝36，4＋16＋x2＝36，∴x2＝16，x＝±4.又∵a⊥b，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，x＋2y＋2＝0.当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.6．已知a＝(x,2,0)、b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是导学号33780789()A．x<－4B．－4<x<0C．0<x<4D．x>4[答案]A[分析]∵a、b的夹角为钝角，∴a·b<0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0.x<－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b＝λa，3＝λx，2－x＝2λ，此方程组无解，所以选A.x＝0.二、填空题7．已知a＝(2，－3,0)、b＝(k,0,3)，<a，b>＝120°，则k＝________.导学号33780790[答案]－39[分析]∵a·b＝2k，|a|＝13，|b|＝k2＋9，∴cos120°＝2k，13×k2＋9k＝－39.8．(2015山·东临沂市高二期末测试)已知a＝(2，－1，3)、b＝(－1,4，－2)、c＝(7,7，λ)，若a、b、c共面，则实数λ＝________.导学号33780791[答案]9[分析]若a、b、c共面，∴c＝xa＋yb，2x－y＝7∴－x＋4y＝7，∴λ＝9.3x－2y＝λ三、解答题9．已知点A(2,3，－1)、B(8，－2,4)、C(3,0,5)，能否存在实数→→→x，使AB与AB＋xAC垂直？导学号33780792[分析]→→AB＝(6，－5,5)，AC＝(1，－3,6)，→→AB＋xAC＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，→→→∵AB⊥(AB＋xAC)6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0，x＝－86，∴存在实数x＝－86，5151→→→使AB与AB＋xAC垂直．10．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2).导学号33780793→→→→(1)若DB∥AC，DC∥AB，求点D的坐标；(2)问能否存在实数→→→α、β，使得AC＝αAB＋βBC建立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明原因．[分析]→→→(1)设D(x，y，z)，则DB＝(－x,1－y，－z)，AC＝(－1,0,2)，DC＝(－x，－y,2－z)，→AB＝(－1,1,0)．→→→→由于DB∥AC，DC∥AB，x，1－y，－z＝m－1，0，2所以，x，－y，2－z＝n－1，1，0x＝－1解得y＝1.z＝2即D(－1,1,2)．→→→(2)依题意AB＝(－1,1,0)、AC＝(－1,0,2)、BC＝(0，－1,2)，假定存在实数→→→α、β，使得AC＝αAB＋βBC建立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)(－α，α－β，2β)，α＝1所以α－β＝0→→→，故存在α＝β＝1，使得AC＝αAB＋βBC建立.2β＝2一、选择题1．已知△ABC的三个极点为A(3,3,2)、B(4，－3,7)、C(0,5,1)，则BC边上的中线长为导学号33780794()A．2B．3C．4D．5[答案]B[分析]设BC边上的中点为→1→→→1＋4＋4D，则AD＝(AB＋AC)＝(－1，－2,2)，所以|AD|＝23.2．以下各组向量中共面的组数为导学号33780795()a＝(1,2,3)、b＝(3,0,2)、c＝(4,2,5)a＝(1,2，－1)、b＝(0,2，－4)、c＝(0，－1,2)a＝(1,1,0)、b＝(1,0,1)、c＝(0,1，－1)a＝(1,1,1)、b＝(1,1,0)、c＝(1,0,1)A．0B．1C．2D．3[答案]D[分析]①设a＝xb＋yc，则1＝3x＋4yx＝－12＝0·x＋2y，解得.y＝13＝2x＋5y故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，∴a，b，c共面．②中b＝－2c，③中c＝a－b.x＋y＝1故②③中三个向量共面．④设a＝xb＋c，则x＝1明显无解，故a、b、c不共面．y＝13．已知向量a＝(1,2,3)、b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为导学号33780796()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[分析]a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝12＋22＋32＝14，所以cos〈a，c〉＝a·c＝－1，〈a，c〉＝120°.|a||c|2→→4．已知A(1,2,3)、B(2,1,2)、C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当DA·DB取最小值时，点D的坐标为导学号33780797()444B．(848)A．(，，)，，333333448884C．(，，)D．(，，)333333[答案]C[分析]→→→点D在直线OC上运动，因此可设OD＝(a，a,2a)、DA＝(1－a,2－a,3－2a)、DB＝→→(2－a,1－a,2－2a)，DA·DB＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝→→→4，4，8)，应选C.4时DA·DB最小为－2，此时OD＝(33333二、填空题5．已知a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)、c＝(0,0,2)，则a·(b－c)＝________.导学号33780798[答案]5[分析]b－c＝(2,0,1)，a·(b－c)＝(2，－3,1)(2,0,1)·＝4＋0＋1＝5.6．已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则CN＝________.导学号33780799CF[答案]116[分析]设CN→→→→→→1→→CF＝m，则CN＝mCF＝mAD，∵M为BC中点，∴MN＝MC＋CN＝BC＋mAD，2→→→又AE＝AB＋BE，由条件知，→→→→1→→AE·MN＝(AB＋BE)·(BC＋mAD)2＝1→→1→→→→→→AB·BC＋2BE·BC＋mAB·AD＋mBE·AD2＝－1＋4m＝0，∴m＝1416.三、解答题7．已知空间三点A(0,2,3)、B(－2,1,6)、C(1，－1,5).导学号33780800→→(1)求以AB、AC为邻边的平行四边形面积；(2)若|a|＝→→a的坐标．3，且a分别与AB、AC垂直，求向量[分析](1)由题中条件可知→→AB＝(－2，－1,3)、AC＝(1，－3,2)，→→→→－2＋3＋61〉＝AB·AC＝∴cos〈AB，AC＝，→→14×142|AB||AC·|→→3∴sin〈AB，AC〉＝，2→→∴以AB，AC为邻边的平行四边形面积→→→→S＝|AB||AC·|sin·〈AB，AC〉＝73.(2)设a＝(x，y，z)，x2＋y2＋z2＝3x＝1x＝－1由题意得－2x－y＋3z＝0，解得y＝1，或y＝－1.x－3y＋2z＝0z＝1z＝－1∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．8．设O为坐标原点，向量→→→，点Q在直线OP上运OA＝(1,2,3)、OB＝(2,1,2)、OP＝(1,1,2)→→动，则当QA·QB获得最小值时，求点Q的坐标.导学号33780801[分析]→→设OQ＝λOP，→→→→→∴QA＝OA－OQ＝OA－λOP(1,2,3)－λ(1,1,2)(1－λ，2－λ，3－2λ)，→→→