-新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4.1第三课时空间中直线平面的垂直学案新人教A版选择性必修第一册

PAGEPAGE9第三课时空间中直线、平面的垂直新课程标准解读核心素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系数学抽象、直观想象2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系逻辑推理、直观想象观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直．[问题]如何证明旗杆与地面垂直？知识点空间中直线、平面垂直的向量表示1．线线垂直的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0．2．线面垂直的向量表示设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn．3．面面垂直的向量表示设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0．若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？提示：垂直．1．(多选)下列命题中，正确的命题为()A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥aD．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直解析：选BCDA中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知B、C、D正确．2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交解析：选B∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.3．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为________．解析：由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－eq\f(1,2).答案：－1或－eq\f(1,2)4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．解析：∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.答案：5直线和直线垂直[例1]如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.[证明]由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1，0)，C(0，2，0)，因而Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.从而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以EF⊥BC.eq\a\vs4\al()利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直；(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．[跟踪训练]如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，B1(1，1，1)．(1)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴BD1⊥AC.(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(－1)×eq\f(1,2)＋(－1)×eq\f(1,2)＋1×1＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EB1,\s\up6(→))，∴BD1⊥EB1.直线和平面垂直[例2](链接教科书第32页例4)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.[证明]设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.eq\a\vs4\al()用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直；(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．[跟踪训练]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2))).法一：因为eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.法二：设F(x，y，z)，则eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因为eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因为eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可设eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).设n＝(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x1－\f(1,6)y1＋\f(1,6)z1＝0，,\f(1,2)y1＋\f(1,2)z1＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－z1，,y1＝－z1.))取z1＝1，则n＝(－1，－1，1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n，所以PB⊥平面EFD.平面和平面垂直[例3]在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明]设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up6(→))，,n1⊥\o(BE,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n1·\o(BE,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．∵AS⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0，0，1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.eq\a\vs4\al()证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．[跟踪训练]如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则eq\o(DQ,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，－1，0)，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DQ,\s\up6(→))＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.垂直关系中的探索性问题[例4]如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝eq\r(3)，CH＝3，∴AC＝2eq\r(3)，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2eq\r(3)，0)，E(－1，eq\r(3)，2)．假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设eq\f(BP,PE)＝λ，则0<λ<1，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(3)，0)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up6(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝2\r(3)y＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,z＝\f(λ－2,2λ)x，))取x＝1，则z＝eq\f(λ－2,2λ)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(λ－2,2λ)))为平面PAC的一个法向量．同理，可求得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，1))为平面BCEF的一个法向量．当m·n＝0，即λ＝eq\f(2,3)时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时eq\f(BP,PE)＝eq\f(2,3).eq\a\vs4\al()解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算．[跟踪训练]如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD.(2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置．解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，P(0，0，a)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a，0)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))·(0，a，0)＝0，∴EF⊥CD.(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，∴eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2))).由(1)，知eq\o(CB,\s\up6(→))＝(a，0，0)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(0，－a，a)．∵GF⊥平面PCB，∴eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a，0，0)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))＝0，eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(0，－a，a)＝eq\f(a2,2)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(a,2)))＝0，∴x＝eq\f(a,2)，z＝0.∴点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，即点G为AD的中点．1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．无法确定解析：选Ba·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.2.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，