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文档简介
PAGEPAGE9第三课时空间中直线、平面的垂直新课程标准解读核心素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系数学抽象、直观想象2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系逻辑推理、直观想象观察图片,都知道图中旗杆所在直线和地面垂直.[问题]如何证明旗杆与地面垂直?知识点空间中直线、平面垂直的向量表示1.线线垂直的向量表示设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.2.线面垂直的向量表示设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn.3.面面垂直的向量表示设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0.若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗?提示:垂直.1.(多选)下列命题中,正确的命题为()A.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥βB.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0C.若n是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,若l与平面α垂直,则n∥aD.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直解析:选BCDA中平面α,β可能平行,也可能重合,结合平面法向量的概念,可知B、C、D正确.2.若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交解析:选B∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.3.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a=(3λ+1,0,2λ),b=(1,λ-1,λ),若l1⊥l2,则λ的值为________.解析:由题意知,a⊥b,∴3λ+1+2λ2=0,∴λ=-1或-eq\f(1,2).答案:-1或-eq\f(1,2)4.平面α与平面β垂直,平面α与平面β的法向量分别为u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为________.解析:∵平面α与平面β垂直,∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直,∴u·v=0,即-1×t+0×5+5×1=0,解得t=5.答案:5直线和直线垂直[例1]如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.[证明]由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,eq\r(3)),D(eq\r(3),-1,0),C(0,2,0),因而Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),\f(\r(3),2))),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(1,2),0)),所以eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),0,-\f(\r(3),2))),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,2,0),因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0.从而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),所以EF⊥BC.eq\a\vs4\al()利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法:①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;②把两直线的方向向量用基底表示;③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直;(2)坐标法:①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标;③计算两直线方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直.[跟踪训练]如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),0)),B1(1,1,1).(1)eq\o(BD1,\s\up6(→))=(-1,-1,1),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0,∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)),∴BD1⊥AC.(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))=(-1,-1,1),eq\o(EB1,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),1)),∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(EB1,\s\up6(→))=(-1)×eq\f(1,2)+(-1)×eq\f(1,2)+1×1=0,∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EB1,\s\up6(→)),∴BD1⊥EB1.直线和平面垂直[例2](链接教科书第32页例4)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.[证明]设正方体的棱长为2a,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a).∴eq\o(EF,\s\up6(→))=(a,a,2a)-(2a,2a,a)=(-a,-a,a),eq\o(AB1,\s\up6(→))=(2a,2a,2a)-(2a,0,0)=(0,2a,2a),eq\o(AC,\s\up6(→))=(0,2a,0)-(2a,0,0)=(-2a,2a,0).∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))=(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=(-a)×0+(-a)×2a+a×2a=0,eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,∴EF⊥平面B1AC.eq\a\vs4\al()用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直:①将直线的方向向量用坐标表示;②找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直;(2)利用平面的法向量:①将直线的方向向量用坐标表示;②求出平面的法向量;③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.[跟踪训练]如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点,EF⊥BP于点F.求证:PB⊥平面EFD.证明:由题意得,DA,DC,DP两两垂直,所以以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,设DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))=(1,1,-1),eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),\f(1,2))),eq\o(EB,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2),-\f(1,2))).法一:因为eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))=(1,1,-1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),\f(1,2)))=0+eq\f(1,2)-eq\f(1,2)=0,所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→)),所以PB⊥DE,因为PB⊥EF,又EF∩DE=E,EF,DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.法二:设F(x,y,z),则eq\o(PF,\s\up6(→))=(x,y,z-1),eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x,y-\f(1,2),z-\f(1,2))).因为eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→)),所以x+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(1,2)))-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z-\f(1,2)))=0,即x+y-z=0.①又因为eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→)),可设eq\o(PF,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1),所以x=λ,y=λ,z-1=-λ.②由①②可知,x=eq\f(1,3),y=eq\f(1,3),z=eq\f(2,3),所以eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),-\f(1,6),\f(1,6))).设n=(x1,y1,z1)为平面EFD的法向量,则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))=0,,n·\o(DE,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x1-\f(1,6)y1+\f(1,6)z1=0,,\f(1,2)y1+\f(1,2)z1=0,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1=-z1,,y1=-z1.))取z1=1,则n=(-1,-1,1).所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n,所以PB⊥平面EFD.平面和平面垂直[例3]在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.[证明]设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),\f(1,2))).法一:连接AC,交BD于点O,连接OE,则点O的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),0)).易知eq\o(AS,\s\up6(→))=(0,0,1),eq\o(OE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,0,\f(1,2))),∴eq\o(OE,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→)),∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD,∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.法二:设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z).易知eq\o(BD,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2),\f(1,2))),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up6(→)),,n1⊥\o(BE,\s\up6(→)),))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))=-x+y=0,,n1·\o(BE,\s\up6(→))=-\f(1,2)x+\f(1,2)y+\f(1,2)z=0.))取x=1,可得平面BDE的一个法向量为n1=(1,1,0).∵AS⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为n2=eq\o(AS,\s\up6(→))=(0,0,1).∵n1·n2=0,∴平面BDE⊥平面ABCD.eq\a\vs4\al()证明面面垂直的两种方法(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.[跟踪训练]如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=eq\f(1,2)PD.证明:平面PQC⊥平面DCQ.证明:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则eq\o(DQ,\s\up6(→))=(1,1,0),eq\o(DC,\s\up6(→))=(0,0,1),eq\o(PQ,\s\up6(→))=(1,-1,0),∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DQ,\s\up6(→))=0,eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,DQ,DC⊂平面DCQ,∴PQ⊥平面DCQ,又PQ⊂平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.垂直关系中的探索性问题[例4]如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求证:AC⊥BF;(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出eq\f(BP,PE)的值;若不存在,请说明理由.[解](1)证明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF⊂平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略),则BH=1,AH=eq\r(3),CH=3,∴AC=2eq\r(3),∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB.∵AB∩AF=A,AB,AF⊂平面FAB,∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB,∴AC⊥BF.(2)存在.理由:由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.以A为坐标原点,eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(AF,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2eq\r(3),0),E(-1,eq\r(3),2).假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,设eq\f(BP,PE)=λ,则0<λ<1,Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2-λ,1+λ),\f(\r(3)λ,1+λ),\f(2λ,1+λ))).设平面PAC的法向量为m=(x,y,z).由eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2-λ,1+λ),\f(\r(3)λ,1+λ),\f(2λ,1+λ))),eq\o(AC,\s\up6(→))=(0,2eq\r(3),0),得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up6(→))=\f(2-λ,1+λ)x+\f(\r(3)λ,1+λ)y+\f(2λ,1+λ)z=0,,m·\o(AC,\s\up6(→))=2\r(3)y=0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=0,,z=\f(λ-2,2λ)x,))取x=1,则z=eq\f(λ-2,2λ),所以m=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,0,\f(λ-2,2λ)))为平面PAC的一个法向量.同理,可求得n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(3),3),1))为平面BCEF的一个法向量.当m·n=0,即λ=eq\f(2,3)时,平面PAC⊥平面BCEF,故存在满足题意的点P,此时eq\f(BP,PE)=eq\f(2,3).eq\a\vs4\al()解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理;(2)探索性问题的关键是设点:①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如Oxy面上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);④直线(线段)AB上的点P,可设为eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→)),表示出点P的坐标,或直接利用向量运算.[跟踪训练]如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD.(2)已知点G在平面PAD内,且GF⊥平面PCB,试确定点G的位置.解:(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图),设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(a,2),0)),P(0,0,a),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(a,2),\f(a,2))),∴eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),0,\f(a,2))),eq\o(DC,\s\up6(→))=(0,a,0),∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),0,\f(a,2)))·(0,a,0)=0,∴EF⊥CD.(2)∵G∈平面PAD,设G(x,0,z),∴eq\o(FG,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,2),-\f(a,2),z-\f(a,2))).由(1),知eq\o(CB,\s\up6(→))=(a,0,0),eq\o(CP,\s\up6(→))=(0,-a,a).∵GF⊥平面PCB,∴eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,2),-\f(a,2),z-\f(a,2)))·(a,0,0)=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,2)))=0,eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,2),-\f(a,2),z-\f(a,2)))·(0,-a,a)=eq\f(a2,2)+aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z-\f(a,2)))=0,∴x=eq\f(a,2),z=0.∴点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),0,0)),即点G为AD的中点.1.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定解析:选Ba·b=-2+2+0=0,∴a⊥b,∴α⊥β.2.如图,在空间直角坐标系中,正方体棱长为2,点E是棱AB的中点,点F(0,y,z)是正方体的面AA1D1D上一点,且CF⊥B1E,
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