新设计数学人教A版必修四讲义第一章三角函数章末复习课1

章末复习课网络构建核心归纳1．任意角与弧度制(1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．(2)角度与弧度的互化：1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝(eq\f(180,π))°．(3)弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2．2．任意角的三角函数设任意角α的终边上任意一点P(x，y)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．3．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1；eq\f(sinα,cosα)＝tanα．4．诱导公式(1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．(2)功能：将k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．5．三角函数的图象(1)正弦曲线：(2)余弦曲线：(3)正切曲线：6．三角函数的性质(表中k∈Z)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x∈R，且x≠eq\f(π,2)＋kπ}单调性增区间：[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]，减区间：[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ]，增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，减区间：[2kπ，π＋2kπ]，增区间：(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)周期性2π2πΠ图象的对称轴x＝eq\f(π,2)＋kπ，x＝kπ，无图象的对称中心(kπ，0)，(eq\f(π,2)＋kπ，0)，(eq\f(1,2)kπ，0)要点一任意角三角函数的定义利用定义求三角函数值的两种方法：(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值．(2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．【例1】已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；(2)若cosα≤0，且sinα>0，求实数m的取值范围．解(1)若m＝2，则P(－3,4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5，所以sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3)，故5sinα＋3tanα＝5×eq\f(4,5)＋3×(－eq\f(4,3))＝4－4＝0．(2)由题意知，cosα＝eq\f(x,r)≤0，sinα＝eq\f(y,r)>0，即x≤0，y>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－9≤0，,m＋2>0，))所以－2<m≤3．【训练1】已知角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．解由题意，得r＝eq\r(3＋m2)，所以sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m．因为m≠0，所以m＝±eq\r(5)，故角θ是第二或第三象限角．当m＝eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，点P的坐标为(－eq\r(3)，eq\r(5))，角θ是第二象限角，所以cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3)；当m＝－eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，点P的坐标为(－eq\r(3)，－eq\r(5))，角θ是第三象限角，所以cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(－\r(5),－\r(3))＝eq\f(\r(15),3).典例迁移要点二同角三角函数基本关系式的应用同角三角函数基本关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α弦切互化．(2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝(sinα－cosα)2＋4sinαcosα．(3)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解【例2】(1)已知tanα＝eq\f(1,2)，α∈(0，eq\f(π,2))，则sinα－cosα＝________；解析因为tanα＝eq\f(1,2)＝eq\f(sinα,cosα)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝\f(1,2)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα－cosα＝eq\f(\r(5),5)－eq\f(2\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5)．答案－eq\f(\r(5),5)(2)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)．①求tanα的值；②把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出来，并求其值．解①由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，所以sinαcosα＝－eq\f(12,25)，因为α是三角形的内角，所以sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝eq\r(?sinα－cosα?2)＝eq\r(?sinα＋cosα?2－4sinαcosα)＝eq\r(?\f(1,5)?2＋\f(48,25))＝eq\f(7,5)，故得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3)．②eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)，又tanα＝－eq\f(4,3)，所以eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝－eq\f(25,7)．【迁移】本例(2)中保持条件不变，求：（1）eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；（2）sin2α＋2sinαcosα．解（1）原式＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝eq\f(－\f(4,3)－4,5×?－\f(4,3)?＋2)＝eq\f(8,7)．（2）原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(?－\f(4,3)?2＋2×?－\f(4,3)?,1＋?－\f(4,3)?2)＝－eq\f(8,25)．要点三诱导公式的应用用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，eq\f(π,2)±α，eq\f(3,2)π±α(或k·eq\f(π,2)±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．【例3】(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值；解∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝π，∴eq\f(5π,6)－α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))．∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(\r(3),3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)．(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))的值．解∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)．∴sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))＝sin(π＋α)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)π－α))))＝sinα·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝sinα·eq\f(cosα,sinα)＝cosα＝eq\f(3,5)．【训练2】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))的值为________；解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－eq\f(1,3)．答案－eq\f(1,3)(2)已知sinα是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则eq\f(sin?－α－\f(3,2)π?cos?\f(3,2)π－α?,cos?\f(π,2)－α?sin?\f(π,2)＋α?)·tan2(π－α)＝________．解析∵方程2x2－x－1＝0的根为－eq\f(1,2)或1，又α是第三象限角，∴sinα＝－eq\f(1,2)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(3),2)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(3),3)，∴原式＝eq\f(cosα?－sinα?,sinα·cosα)·tan2α＝－tan2α＝eq\f(1,3)．答案eq\f(1,3)要点四三角函数的图象1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤：第一步：列表，由ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值.X－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πY0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．2．由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数(1)A：由最大值、最小值来确定A．(2)ω：通过求周期T来确定ω．(3)φ：利用已知点列方程求出．【例4】(1)下图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一部分，则其函数解析式是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))解析由题图可知A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(π,2)，∴T＝2π，ω＝eq\f(2π,T)＝1，又1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋φ＝0，即φ＝eq\f(π,3)，故y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))．答案A(2)已知f(x)＝1＋eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，画出f(x)在x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的图象．解(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)π，\f(3,4)π))．列表：X－eq\f(π,2)－eq\f(3π,8)－eq\f(π,8)eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(π,2)2x－eq\f(π,4)－eq\f(5π,4)－π－eq\f(π,2)0eq\f(π,2)eq\f(3π,4)f(x)211－eq\r(2)11＋eq\r(2)2(2)描点，连线，如图所示．【训练3】函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如右图所示，则ω，φ的值分别是________．解析由题图可知eq\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12)，∴T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，又2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)．答案2，－eq\f(π,3)要点五三角函数图象的变换由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种方法【例5】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变B．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变D．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析由题图象知A＝1，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，由五点法知eq\f(2π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq\f(π,3)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))．故将函数y＝sinx的图象先向左平移eq\f(π,3)个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，可得函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象．答案A【训练4】将函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移eq\f(π,6)个单位，所得函数图象的一条对称轴是()A．x＝eq\f(π,4) B．x＝eq\f(π,6)C．x＝π D．x＝eq\f(π,2)解析y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))eq\o(→,\s\up7(横坐标伸长到原来的2倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))eq\o(→,\s\up14(向左平移\f(π,6)个单位),\s\do10())y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,3)))，即y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))．由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝eq\f(π,2)时，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)－\f(π,4)))＝1，故选D．答案D考查方向要点六三角函数的性质1．三角函数的两条性质(1)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)．(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋B的形式．2．求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sinx，cosx的有界性．(2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误．3．求三角函数的单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间．方向1三角函数的周期性和奇偶性【例6-1】已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,2)))－1，下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数解析f(x)＝sin(πx－eq\f(π,2))－1＝－sin(eq\f(π,2)－πx)－1＝－cosπx－1，∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，且周期为T＝eq\f(2π,π)＝2．答案B方向2三角函数的单调性【例6-2】已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f(eq\f(π,8))＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(