基本不等式练习题(含答案)

n

i

h

t

基本不等式e

1m

1．函数y＝x＋x(x＞0)的值域为()．o

s

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)r

C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)o

a＋b1f

22d

2．下列不等式：①a＋1＞2a；②ab≤2；③x＋x2＋1≥1，其中正确的个数o

是o

g()．

e

A．0B．1C．2D．3r

3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为a()．

1g

n

A.2B．1C．2D．4i

1e

x－2b

4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)r在x＝a处取最小值，则a＝()．

23i

A．1＋B．1＋C．e3D．4

t2－4t＋1h

5．已知t＞0，则函数y＝tt的最小值为________．

n

利用基本不等式求最值i

s11

【例1】►(1)已知x＞0，gy＞0，且2x＋y＝1，则x＋y的最小值为________；

n

i2x

h

(2)当x＞0时，则tf(x)＝x2＋1的最大值为________．

l

l1

【训练1】(1)A已知x＞1，则f(x)＝x＋x－1的最小值为________．

d2

(2)已知n0＜x＜5，则y＝2x－5x2的最大值为________．

(3)若ax，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

e利用基本不等式证明不等式

m

i

tbccaab

2a0b0c0abcabc.

a【例】►已知＞，＞，＞，求证：＋＋≥＋＋

t

a

g

n

n

i

h

t

e

m

o

s

【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.r

o

111f

求证：a＋b＋c≥9.d

o

o

g

e

r

利用基本不等式解决恒成立问题a

xg

n

【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，x2＋3x＋1i≤a恒成立，则a的取值范围是

e

________．b

r

【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，iy＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，

则实数m的最大值是________．e

h

t

n

考向三利用基本不等式解实际问题i

s2

【例3】►某单位建造一间地面面积为g12m的背面靠墙的矩形小房，由于地理

n2

位置的限制，房子侧面的长度ix不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m，

h2

房屋侧面的造价为t150元/m，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙

l

高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？l

A

d

n

a11

(2010·e四川)设a＞b＞0，则a2＋ab＋aa－b的最小值是()．

m

iA．1B．2C．3D．4

t

a

t

a

g

n

n

i

h

t

e

m

o

s

r

o

双基自测f

1.答案Cd

11o

2．解析①②不正确，③正确，x2＋x2＋1＝(x2＋1)＋x2＋1－1o≥2－1＝1.答案

Bg

1

e

3．解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22abr，即ab≤2.答案A

1a

x－2

4．解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋g＋2≥2

1

1n

x－2×i

x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝x－2(x＞2)，即x＝3时取等号，即当

f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案Ce

t2－4t＋11b

r

5．解析∵t＞0，∴y＝t＝t＋it－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取

等号．答案－2e

【例1】解析(1)∵x＞0，y＞0，且h2x＋y＝1，

112x＋y2x＋yy2xty2x

n

∴x＋y＝x＋y＝3＋x＋iy≥3＋22.当且仅当x＝y时，取等号．

2

2xs121

gx＋

(2)∵x＞0，∴f(x)＝x2＋n1＝x≤2＝1，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号．答

案(1)3＋22(2)1i

h

t1

lx－1

【训练1】．解析l(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3当且仅当

1

x＝2时取等号．A(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝5·5x·(2－5x)，

d25x＋2－5x1

∵0＜x＜n5，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤22＝1，∴y≤5，当且

仅当a5x＝2－5x，

1128

即ex＝5时，ymax＝5.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴y＋x＝1，

m

i828y2x4yx4yx

t＋＋·

∴x＋y＝(x＋y)xy＝10＋x＋y＝10＋2xy≥10＋2×2×xy＝18，

a

t

a

g

n

n

i

h

t

4yxe

当且仅当x＝y，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，m

1o

∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案(1)3(2)5(3)18s

bccabccabcrab

·

abo

【例2】证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2＝2c；af＋c≥2

bcabcaabcaab

··d

acbcbc

＝2b；＋≥2＝2a.以上三式相加得：o

bccaabbccaab

＋＋o

2abc≥2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥a＋b＋c.g

【训练2】证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cebcacab

r

a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝a＋b＋ca＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c

bacacb

＋＋＋g

＝3＋ab＋ac＋bc

n

1i

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝3时，取等号．e

xbx

r

解析若对任意x＞0，x2＋3x＋1≤a恒成立，只需求得iy＝x2＋3x＋1的最大值

e11

xh111

tx＋＋32x·

即可，因为x＞0，所以y＝x2＋3x＋1＝x≤x＝5，当且仅当x＝1时

n

i11

，＋∞，＋∞

55

取等号，所以a的取值范围是s答案

【训练3】解析由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由

m－2≤xy恒成立，得m－g2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案10

n

i1216

x

h＋

【例3．解由题意可得，造价ty＝3(2x×150＋x×400)＋5800＝900x＋5

l1616

lx＋x×

xx

800(0＜x≤5)A，则y＝900＋5800≥900×2＋5800＝13000(元)，

d16

当且仅当nx＝x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

【示例a】．正解∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，

b2a

e1212b2a

＋·

∴a＋b＝ab(a＋b)＝1＋2＋a＋b≥3＋2ab＝3＋22.

m

i12

t当且仅当Error!即Error!时，a＋b的最小值为3＋22.

a

t

a

g

n

n

i

h

t

1111e

【试一试】尝试解答]a2＋ab＋aa－b＝a2－ab＋ab＋ab＋aa－b＝a(a－b)＋m

1111o

aa－b·ab·

aa－b＋ab＋ab≥2aa－b＋2ab＝2＋2＝4.当且仅当a(a－bs)＝

11r

o