解读IEEE标准754浮点数表示

解读IEEE标754：浮点数表一、背景在IEEE标754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则以及运算细节那时实的速度和简易性比数字的精确性更受重视。直到年Intel打算为其的微处理器引进一种浮点数协处理器的时候地意识到为计芯片者的电子程师和固体物理学家们许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在加州大学伯克利分校的Kahan教──最优秀的数值分析家之一来为8087FPU设计浮点数格;而这家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组（Kahn,Coonan,andStone）他共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的准浮点格式目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。二、表示形式从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序(sequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。然而IEEE标从逻辑上用三元{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：N的实值n由列式子表示：其中：★n,s,e,m分为N,S,E,M对的实际数,而N,S,E,M仅是一串二进制位。★S(sign)表示N的号位。对应值s满足：时，s=0;n<0时s=1。★E(exponent)表示N的指数位位于和间的若干位。对应值e值也正可负。★M(mantissa)表N的数位于N尾也有效数字sinificand系数位（coefficient）甚被称作“小数”。

三、浮点数格式IEEE标754规定了三种浮点数式：单精度、双精度精度前者正好对应C语言里头的float、double或FORTRAN头的realdouble精度型。限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。★单度N共32位其中S占1位，E占，占23位★双度N共64位其中S占1位，E占11位M占52位值得注意的是M虽是23位者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数就是说定M为“010110011...”,在二制数值上其实是“.010110011...”。而事实上标规定小数点左边有一个隐含位这个隐含位通常，哦不应该说绝大多数情况下是1么况下是0呢答案是N对应非小的时候小2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”四、计算e、m首先将提到令初学者头疼的“规格化normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话规化与否全看指数E！下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:1、规格化：当E的进制位不全为也不全为1，规格化形式此e被释为表示偏置（biased）式的整,计算公式如下图所示：

上图中|E|表E的进制序表示的整数,例如E为则|E|=132,e=132-127=5。k则示的位，对单精度来说k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。此时m的算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即2、非规格化：当E的二进制位部为0时N非规格化形式此e，m的算都非常简单。注意，此时小数点左侧的隐含位为。为么等于1-bias)而不是-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。有了非规格化形式，我们就可以表示0。把符号位S值1,余所有位均置0后我们得到了-0.0;同，把所有位均置0,得到+0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的数，而且这些小数均匀地接近0,为“逐渐下溢graduallyunderflow)”属性。3、特殊数值：当E的进制位为为特殊数值此时，若M的进制位全为0，则n表无穷大为1则负无穷大S为则为正无穷大若M的进制位不全为

0时表示NaN(Nota，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。五、范例仔细研读第四点后再回忆一下章开头计算n公式应该写出一个浮点编码的实际值n了？还能吗？不急先给你示范一下我们假定N是一位点数其，S占位E占4位M占3位下这张表罗列了可能正数形式也含了em等，请你对照着这张表重一下第点，你会慢慢明白的实在的，这张表花了我不少功夫呢幸TeX画表格还算省事！

这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：★看列，上到下，二进制表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。这不是偶然，正是巧妙设计的结果。观察最大的非规格数，发现恰好就是全为E全为0的况。于是我们求出最大的规格数为：

上面的公式中，h为M的位数如例中为3)。意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的如范例中为8/512二项则正是最小非规格数的(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。★看列，格化数都是x的式，这个1正隐含位1;而非规格化数隐含位为所以有"1+"。