平面向量的数量积

考点36平面向量的量积【题读平面向量是高考考查的重点、热.往以选择题或填空题的形式出.常平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问.【础识顾1．向量的夹角――→(1)定义已知两个非零向量a和，如图所示，作OA，＝b则∠θ≤≤叫向量a与b的夹角，记作〈a，b(2)范围：夹角的围[，．当θ＝时两向量a共且同向；π当θ＝时，向量a，b相互直，记作a⊥b2当θ＝时两向量，b共线但反向．2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b把数abθ叫与b的数量积或内积aba·b＝abθ其中是a与b的夹．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3．平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向的投影设θ是，b的夹，bθ叫向量b在量a的向上的影a|cosθ叫做向量a在量b的方向上的投影．(2)ab的何意义数量积ab等于a的度|与在的方上的投影b|cosθ的积．4．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a(2)数乘结合律：a)·b＝a·b)＝a·．(3)分配律：a＋bc＝ac＋b·c向数量积的运算不足乘法结合律，ab不一定等于ab·，这是由于a)·c表示一个与c共线向量，abc表示一个与共线向，而c与不一共线．5．平面向量数量积的性质设a，b为个非零向量是与b同的单位向量θ是a的夹，则

1122→→→→→＝1122→→→→→＝→→(1)ea·＝a|cos.(2)a⊥ba·b0.(3)当a与b同向时a·b＝|a||b|；当b反向，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝|a|或a|＝aab(4)cos＝.||b(5)|a·b≤|a||b|.6．面数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(，)，b＝x，，为a与的夹，则(1)|a＝x＋2；(2)a·b＝x＋y；111212(3)a⊥bxx＋＝0;_(4)cosθ＝1212

x＋y1212x＋2x2＋21122

.1、已知＝(2,3)，＝，，＝，则·等()A．－B．－．D．【答案】→→→→【解析】因B＝＝以|

＝得t＝以＝以B＝＋＝，故选C.2、已非零向量a，b的角为，且b＝，a－b＝，a＝)1A.2

B.1C.2D.2【答案】1a|【解析】由题意得a＝a|×1×22，又a－＝1，∴|2－b2

＝a

2

－ab＋

2

＝a2

－a＋＝，即a2－a＝，a，1解得a＝.23山泰安市高其他模拟已向量

aab

，则在

方向上的投影为（）

A．【答案】

B．C．

D．5【解析】由

a

，

a

，由

，得

，得

，所以，故

在a方上的投影为

a2

．故选：．4山济宁市高二模）在平面直角坐系中坐标原点，已知点

3,

和点

．若点P的平分线上，且OP，）A．

B．

C．D．【答案】【解析】如图所示：因为，所以，有60，，所以点P的坐标为2

MN3,2因此

OP33

．故选：5选题）设a，b是个非零向量．则下列命题为假命题的()A．若a＋b＝a－b，则a∴B若∴，a＋b＝a－bCa＋b＝a－b，存在实数，得b＝aD．存实数，使得＝λ，则ab＝a－b

【答案】ABD【解析】对A，a＋b＝a－b，则a2

＋b2＋aba2b

2

－ab，得ab＝－ab，a与b不直，所以A为命题；对于B由A析可知，若∴，ab|a－，以为命题；对于Cab＝a－b|，则a2

＋b2＋aba2b

2

－ab，得abab，则cosθ＝－，则a与b反，因此存在实数，使得bλ，所以为真命题．对于D，存在实数，得＝a，则ab＝λa2，ab＝a2，由于λ不等于0，因此ab－a，则a＋|≠|a－|b，所以D不确．故选6选题）设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则列命题中的真命题()A．abc－cab＝Ba－b＜a－C(bca－acb不c垂D．a＋ba－b＝a2

－b2【答案】BD【解析】由b，不共线的向量，因abc与(ca)b相的结果应为量，故A错误；由于a，b不线，故a，b，a－成三角形，因此B正；由于[(bc－(cabc＝bcac)－cabc＝，故C中向量垂直，故C错；根据向量数量积的运算可以得出D是确的．故选7、已知j为相垂直的单位向量＝i2jbiλj，且a与b的角为锐角，则实取值范围为．1【答案】λ<且λ≠－2【解析】π∴ab〉∴(0，)，∴·b且a，b不向．21即i|－λj|2>0，∴．2当a，b同时，由a＝bλ得＝－．

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1∴且－．28、已知点，，足AB＝，＝，＝5，则ABBC＋BC·CA＋·AB的是________【答案】－【解析】如图，根据题意可∴为直角三角形，π4且∴＝，A＝，cos＝，255∴·BC＋·CA＋CA·＝·＋·AB43＝4×5cos(－)＋5×3cos(－)＝－－15cos＝－－＝25．55考向一

平面向量的数量积的算例1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥，＝，＝，∠ABC，和分在线段→2→1→→和DC上且E＝DFDC则·的为．36（知方形ABCD的长为，E是边的动点，DECB的为_________DE·的最大值为_．29【答案1．18

．1→→【解析．法一取，为组基底，→→→2→→则－＝－，3→→→7→AF＋＋＝－＋＋＝BA＋，1212→→∴·＝

2BCBABA312725＝|2－BA＋BC2725229＝×418×2×1×＋18

．法二CO⊥，立如图所示的平面直角坐标系，

23→→23→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→max则，C353所以F,662

，→→所以·＝

3,

1029＝＋＝．2．法一如，DE·＝DA＋)·CB＝·＋·CB＝2DEDC(＋)·DC＝·DC·DC

＝，＝·DC＝AE|·|DC≤DC2

＝．法二以线，AD为x轴y轴正方向建立面直角坐标系，则A，，(1，，(11)，，，设Et，，∈，1]D＝(t，－＝，1)所D·＝t，－1)·(0，－＝．因为＝(1，，D·＝(t，1)·(1，0)＝≤，故·DC的最大值为．法三由知E点哪个位置方上的投影都是C＝，∴·＝＝．当E运到点，DE在方向上的投影最大即为DC＝，∴DC＝DC|·1＝．π→→→→→→变式、如图，在梯形BCDAB∥CD＝∠＝，AB＝·，AD＝4【答案】12【解析】方法一几法

→→→→→→→→→→→→故D·＝ADAD＋→→→→→→→→→→→→故D·＝ADAD＋)＝AD＋·→→→→→→2因为·AC＝ABAD所以·－·AD＝·AD所以·＝AB·AD，π因为AB∴，CD，∴＝，4→→→π所以AB＝AB|·|AD|cos，4化简得＝→→→→→2＝2)2

π＋2×2cos＝4方法二(坐标法如，建立平面直角坐标系.依题意，可设点D，m，(2，)，(n,0)，中m>0，>0则由·AC＝ABAD得nm＋，＝nmm)，所以nm＋＝nm，化简得m＝故D·＝mm)·(＋，)＝m

＋m＝变式届山东实验中学高三上期中）已知向量,b满a，，a，___________.【答案】【解析知aa

以开得到

a

以

，所以aa，所以

10

；故答案为：．→→→→→变式3、在△中已AB＝AC＝∠＝°若点P满AP＝＋λAC且P＝则实数的为1【答案】或4→→→→→→→→→→→→→→→【解析】∵＝＋＝－＝λAC∴＝－)＝λAC·AP－2

＝－

→→→1AC2＋＝λ(－＋＝故λ＝或.4方法总结1.求量的模的方法(1)公法，利||＝a·a及±2＝a2±2·b＋|b|，把向量的模的运算转化为数量积运算；几法，利用向量的几何意.求量模的最值范围方法：代法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几法形结合法弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求.考向二

平面向量的夹角问题例2届山东德州市高三上期末）已知向量a，满b，则与b的角为（）

，A．

B．

3

C．

2

D．

56【答案】【解析】

a

，即a得则

cos

aa

12

，

0

.故选：变式山东日照市高二模

2,b

的角）A．

6

B．

C．

2

D．

34【答案】【解析】由

，从而可求，然根据向量夹角公式可.【详解】解：

b4

，

，即

a4ab0

，a，b

aab

42

22

，

所以向量a与的角为故选：

，变式山济南市高一模已单位向量a,c

满aa与的角）A．

6

B．

C．

2

D．

56【答案】【解析】由a，a所

，即

a

，所以

a

12

，由

aba,

，得

b

23

，故选：变式春泉期末）中，AB，a，CA，在下列命题中，是真命题的有(A．a，为角三角形B若a．ABC为角三角C若abb，ABC为等腰三角形D．()(a)则ABC为直角三角形【答案】．【解析】如图所示，ABC中，，BCa，，①若a，是角，ABC是钝角三角形，A错；②若a，BC，ABC为角三角形，正；③若a，()CA(AB)，(BCBA)，中D，CABD，以BC，ABC为腰三角形，正，

)④若a)(a)，则a

2

c)

2

，即

，

b2|||

A，由余弦定理可得：A，cos，即综合①②③④可得：真命题的有BCD，

2

，即为角三角形，即正，

→→→→变式届山东省滨州市三校高三上学期联考）|且b夹角的大小是______.【答案】【解析】

则向量与量由

得|

a

1a

,a36变式山省淄博实验中学三上期末若非零向量a、,足

b

,

,则a与b的夹角为__________.【答案】120【解析】设a与b的角为

，由题意b,

,，可得a)bcos

，以

cos

，再由0180可得，120，故答案是20.变式、已知a|＝，|b|，a－3·(2＋b＝．(1)求a与b的角；(2)求＋b|(3)若＝a，＝，的积．【解析∵a－3b)·(2ab)＝，∴

a2

－a·b－b2

＝．又a＝4，b＝，64－a·b27＝，

→→1→13|a|||121211221→→1→13|a|||121211221122∴∴

ab＝6．ab－cos＝＝＝－．a||b|2π又0≤≤，＝．3(2)可平方转化为向量的数量积．ab2＝(a＋b)2＝a2＋ab＋|b2＝2＋－＋32＝，∴

ab＝13．→→2(3)∵AB与的角＝，32ππ∴∠ABC＝－＝．33又＝＝，|BC＝b＝，∴

S

＝AB|sin∠＝×4×3×＝3．22方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当，是坐形式时，求a与b的角θ，求出及a|，或出它们之间的关a·b系，由cosθ＝求得．x＋(2)公式法：若已知＝x，)与b(，，〈a，〉＝，〉∈[0，π]．x＋2·x2＋2考向三平面向量中垂直例1山日照市高其他模拟）知向量(2,1)，b

(0,m)

，c，且()

，则实数的为（）A．

B．

C．

D．【答案】【解析】由已知得)，又)

，所以

，解得m2，故选：变式秋南期末）在ABC中，，ACk)，ABC是角三角形，则的可以

n6n6n6n6是()A．

B

C

32

D．

3132【答案】．【解析】中AB(2,3)，AC)，①当A，即，解得k；②当B90ACAB且BC；即2解得③当C，

；即(，理得k，解得

3133或k2

；11313综上知，的值为或或．2→→→变式(2019·黑江省齐齐哈尔市一中模已知向||＝|＝，＝OA＋，若与→m的角为60°，且OC⊥，则实数的为)1A.

B.

14C．

．【答案】

A→→→→→→【解析∵向量OA＝OB＝，OC＝mOA＋OB，OA与OB的角为60°∴OAOB＝3×2×cos＝，∴＝－)·(mOA＋n→＝m－OA·OB－m2＋|＝－－m＋＝－m＋＝，m1∴＝，选π变式3、连港期]已知向量a＝，θbθ＋)，1)R.3(1)若a⊥求tan的值；π(2)若a∥且θ∈，)求θ的2【解】(1)依题意得：＝即

θ＋cosθ＝，解：θ＝－622666θ＋cosθ＝，解：θ＝－622666π＋＋2sin＝0展开得：3ππθ＋θsin＋＝033533化简得sin25π(2)∵∥，∴2sinθ＋)＝，展开得：3ππθθ＋θ)＝，3即：2sin＋cosθ＝，即：1－＋3sin2θ＝π1ππ化为：θ－＝∵∈，，∴θ－∈π5ππππ(－，)∴－＝，解：＝.方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的标运算公式，计算出这两个向量的数量积为即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数值。1年考全国III理数】已知向量a，满足

||b

，

a则cos,aA．

B．

C．

1735

．

【答案】【解析】

，b，a25，

2

.因此，

,

.故选：．2年考全国卷理数】已知非零向量a，b满足

|

，且

(a)

b，则a与b的夹角为

,𝑥√ππ,𝑥√ππA．C．

62π3

B．．

35π6【答案B【解析

(a

以()

=0以

以

cos

=

12|b

，所以与的角为

3

，故选．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[

．3年考全国II

卷理数】已知

AB

，AC

=(3，BC

，则

=A．C2【答案C【解析】由BCt，

B．−2D．BC2t

，得，BC

，AB(2,3)．选．4年考全国卷理数】已知向量

，b足

||

，a则

a)A．C．【答案】

B．D．【解析】因为

2a|2

,所选5年考浙江卷】已知ab，是面向量e单位向量．若非零向量a与e的角为4·b，则a的最小值是满足bB．3A3−1

π

，向量bC．【答案】

D．2

【解析】设，由𝒂,⟩