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文档简介
考点36平面向量的量积【题读平面向量是高考考查的重点、热.往以选择题或填空题的形式出.常平面图形为载体,考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问.【础识顾1.向量的夹角――→(1)定义已知两个非零向量a和,如图所示,作OA,=b则∠θ≤≤叫向量a与b的夹角,记作〈a,b(2)范围:夹角的围[,.当θ=时两向量a共且同向;π当θ=时,向量a,b相互直,记作a⊥b2当θ=时两向量,b共线但反向.2.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b把数abθ叫与b的数量积或内积aba·b=abθ其中是a与b的夹.规定:零向量与任一向量的数量积为零.3.平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向的投影设θ是,b的夹,bθ叫向量b在量a的向上的影a|cosθ叫做向量a在量b的方向上的投影.(2)ab的何意义数量积ab等于a的度|与在的方上的投影b|cosθ的积.4.向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a(2)数乘结合律:a)·b=a·b)=a·.(3)分配律:a+bc=ac+b·c向数量积的运算不足乘法结合律,ab不一定等于ab·,这是由于a)·c表示一个与c共线向量,abc表示一个与共线向,而c与不一共线.5.平面向量数量积的性质设a,b为个非零向量是与b同的单位向量θ是a的夹,则
1122→→→→→=1122→→→→→=→→(1)ea·=a|cos.(2)a⊥ba·b0.(3)当a与b同向时a·b=|a||b|;当b反向,a·b=-|a||b|.特别地a·a=|a|或a|=aab(4)cos=.||b(5)|a·b≤|a||b|.6.面数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(,),b=x,,为a与的夹,则(1)|a=x+2;(2)a·b=x+y;111212(3)a⊥bxx+=0;_(4)cosθ=1212
x+y1212x+2x2+21122
.1、已知=(2,3),=,,=,则·等()A.-B.-.D.【答案】→→→→【解析】因B==以|
=得t=以=以B=+=,故选C.2、已非零向量a,b的角为,且b=,a-b=,a=)1A.2
B.1C.2D.2【答案】1a|【解析】由题意得a=a|×1×22,又a-=1,∴|2-b2
=a
2
-ab+
2
=a2
-a+=,即a2-a=,a,1解得a=.23山泰安市高其他模拟已向量
aab
,则在
方向上的投影为()
A.【答案】
B.C.
D.5【解析】由
a
,
a
,由
,得
,得
,所以,故
在a方上的投影为
a2
.故选:.4山济宁市高二模)在平面直角坐系中坐标原点,已知点
3,
和点
.若点P的平分线上,且OP,)A.
B.
C.D.【答案】【解析】如图所示:因为,所以,有60,,所以点P的坐标为2
MN3,2因此
OP33
.故选:5选题)设a,b是个非零向量.则下列命题为假命题的()A.若a+b=a-b,则a∴B若∴,a+b=a-bCa+b=a-b,存在实数,得b=aD.存实数,使得=λ,则ab=a-b
【答案】ABD【解析】对A,a+b=a-b,则a2
+b2+aba2b
2
-ab,得ab=-ab,a与b不直,所以A为命题;对于B由A析可知,若∴,ab|a-,以为命题;对于Cab=a-b|,则a2
+b2+aba2b
2
-ab,得abab,则cosθ=-,则a与b反,因此存在实数,使得bλ,所以为真命题.对于D,存在实数,得=a,则ab=λa2,ab=a2,由于λ不等于0,因此ab-a,则a+|≠|a-|b,所以D不确.故选6选题)设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则列命题中的真命题()A.abc-cab=Ba-b<a-C(bca-acb不c垂D.a+ba-b=a2
-b2【答案】BD【解析】由b,不共线的向量,因abc与(ca)b相的结果应为量,故A错误;由于a,b不线,故a,b,a-成三角形,因此B正;由于[(bc-(cabc=bcac)-cabc=,故C中向量垂直,故C错;根据向量数量积的运算可以得出D是确的.故选7、已知j为相垂直的单位向量=i2jbiλj,且a与b的角为锐角,则实取值范围为.1【答案】λ<且λ≠-2【解析】π∴ab〉∴(0,),∴·b且a,b不向.21即i|-λj|2>0,∴.2当a,b同时,由a=bλ得=-.
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1∴且-.28、已知点,,足AB=,=,=5,则ABBC+BC·CA+·AB的是________【答案】-【解析】如图,根据题意可∴为直角三角形,π4且∴=,A=,cos=,255∴·BC+·CA+CA·=·+·AB43=4×5cos(-)+5×3cos(-)=--15cos=--=25.55考向一
平面向量的数量积的算例1)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥,=,=,∠ABC,和分在线段→2→1→→和DC上且E=DFDC则·的为.36(知方形ABCD的长为,E是边的动点,DECB的为_________DE·的最大值为_.29【答案1.18
.1→→【解析.法一取,为组基底,→→→2→→则-=-,3→→→7→AF++=-++=BA+,1212→→∴·=
2BCBABA312725=|2-BA+BC2725229=×418×2×1×+18
.法二CO⊥,立如图所示的平面直角坐标系,
23→→23→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→max则,C353所以F,662
,→→所以·=
3,
1029=+=.2.法一如,DE·=DA+)·CB=·+·CB=2DEDC(+)·DC=·DC·DC
=,=·DC=AE|·|DC≤DC2
=.法二以线,AD为x轴y轴正方向建立面直角坐标系,则A,,(1,,(11),,,设Et,,∈,1]D=(t,-=,1)所D·=t,-1)·(0,-=.因为=(1,,D·=(t,1)·(1,0)=≤,故·DC的最大值为.法三由知E点哪个位置方上的投影都是C=,∴·==.当E运到点,DE在方向上的投影最大即为DC=,∴DC=DC|·1=.π→→→→→→变式、如图,在梯形BCDAB∥CD=∠=,AB=·,AD=4【答案】12【解析】方法一几法
→→→→→→→→→→→→故D·=ADAD+→→→→→→→→→→→→故D·=ADAD+)=AD+·→→→→→→2因为·AC=ABAD所以·-·AD=·AD所以·=AB·AD,π因为AB∴,CD,∴=,4→→→π所以AB=AB|·|AD|cos,4化简得=→→→→→2=2)2
π+2×2cos=4方法二(坐标法如,建立平面直角坐标系.依题意,可设点D,m,(2,),(n,0),中m>0,>0则由·AC=ABAD得nm+,=nmm),所以nm+=nm,化简得m=故D·=mm)·(+,)=m
+m=变式届山东实验中学高三上期中)已知向量,b满a,,a,___________.【答案】【解析知aa
以开得到
a
以
,所以aa,所以
10
;故答案为:.→→→→→变式3、在△中已AB=AC=∠=°若点P满AP=+λAC且P=则实数的为1【答案】或4→→→→→→→→→→→→→→→【解析】∵=+=-=λAC∴=-)=λAC·AP-2
=-
→→→1AC2+=λ(-+=故λ=或.4方法总结1.求量的模的方法(1)公法,利||=a·a及±2=a2±2·b+|b|,把向量的模的运算转化为数量积运算;几法,利用向量的几何意.求量模的最值范围方法:代法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;几法形结合法弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求.考向二
平面向量的夹角问题例2届山东德州市高三上期末)已知向量a,满b,则与b的角为()
,A.
B.
3
C.
2
D.
56【答案】【解析】
a
,即a得则
cos
aa
12
,
0
.故选:变式山东日照市高二模
2,b
的角)A.
6
B.
C.
2
D.
34【答案】【解析】由
,从而可求,然根据向量夹角公式可.【详解】解:
b4
,
,即
a4ab0
,a,b
aab
42
22
,
所以向量a与的角为故选:
,变式山济南市高一模已单位向量a,c
满aa与的角)A.
6
B.
C.
2
D.
56【答案】【解析】由a,a所
,即
a
,所以
a
12
,由
aba,
,得
b
23
,故选:变式春泉期末)中,AB,a,CA,在下列命题中,是真命题的有(A.a,为角三角形B若a.ABC为角三角C若abb,ABC为等腰三角形D.()(a)则ABC为直角三角形【答案】.【解析】如图所示,ABC中,,BCa,,①若a,是角,ABC是钝角三角形,A错;②若a,BC,ABC为角三角形,正;③若a,()CA(AB),(BCBA),中D,CABD,以BC,ABC为腰三角形,正,
)④若a)(a),则a
2
c)
2
,即
,
b2|||
A,由余弦定理可得:A,cos,即综合①②③④可得:真命题的有BCD,
2
,即为角三角形,即正,
→→→→变式届山东省滨州市三校高三上学期联考)|且b夹角的大小是______.【答案】【解析】
则向量与量由
得|
a
1a
,a36变式山省淄博实验中学三上期末若非零向量a、,足
b
,
,则a与b的夹角为__________.【答案】120【解析】设a与b的角为
,由题意b,
,,可得a)bcos
,以
cos
,再由0180可得,120,故答案是20.变式、已知a|=,|b|,a-3·(2+b=.(1)求a与b的角;(2)求+b|(3)若=a,=,的积.【解析∵a-3b)·(2ab)=,∴
a2
-a·b-b2
=.又a=4,b=,64-a·b27=,
→→1→13|a|||121211221→→1→13|a|||121211221122∴∴
ab=6.ab-cos===-.a||b|2π又0≤≤,=.3(2)可平方转化为向量的数量积.ab2=(a+b)2=a2+ab+|b2=2+-+32=,∴
ab=13.→→2(3)∵AB与的角=,32ππ∴∠ABC=-=.33又==,|BC=b=,∴
S
=AB|sin∠=×4×3×=3.22方法总结:求向量的夹角,有两种方法:(1)定义法:当,是坐形式时,求a与b的角θ,求出及a|,或出它们之间的关a·b系,由cosθ=求得.x+(2)公式法:若已知=x,)与b(,,〈a,〉=,〉∈[0,π].x+2·x2+2考向三平面向量中垂直例1山日照市高其他模拟)知向量(2,1),b
(0,m)
,c,且()
,则实数的为()A.
B.
C.
D.【答案】【解析】由已知得),又)
,所以
,解得m2,故选:变式秋南期末)在ABC中,,ACk),ABC是角三角形,则的可以
n6n6n6n6是()A.
B
C
32
D.
3132【答案】.【解析】中AB(2,3),AC),①当A,即,解得k;②当B90ACAB且BC;即2解得③当C,
;即(,理得k,解得
3133或k2
;11313综上知,的值为或或.2→→→变式(2019·黑江省齐齐哈尔市一中模已知向||=|=,=OA+,若与→m的角为60°,且OC⊥,则实数的为)1A.
B.
14C.
.【答案】
A→→→→→→【解析∵向量OA=OB=,OC=mOA+OB,OA与OB的角为60°∴OAOB=3×2×cos=,∴=-)·(mOA+n→=m-OA·OB-m2+|=--m+=-m+=,m1∴=,选π变式3、连港期]已知向量a=,θbθ+),1)R.3(1)若a⊥求tan的值;π(2)若a∥且θ∈,)求θ的2【解】(1)依题意得:=即
θ+cosθ=,解:θ=-622666θ+cosθ=,解:θ=-622666π++2sin=0展开得:3ππθ+θsin+=033533化简得sin25π(2)∵∥,∴2sinθ+)=,展开得:3ππθθ+θ)=,3即:2sin+cosθ=,即:1-+3sin2θ=π1ππ化为:θ-=∵∈,,∴θ-∈π5ππππ(-,)∴-=,解:=.方法总结:平面向量的垂直问题,有两个类型:(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的标运算公式,计算出这两个向量的数量积为即可。(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数值。1年考全国III理数】已知向量a,满足
||b
,
a则cos,aA.
B.
C.
1735
.
【答案】【解析】
,b,a25,
2
.因此,
,
.故选:.2年考全国卷理数】已知非零向量a,b满足
|
,且
(a)
b,则a与b的夹角为
,𝑥√ππ,𝑥√ππA.C.
62π3
B..
35π6【答案B【解析
(a
以()
=0以
以
cos
=
12|b
,所以与的角为
3
,故选.【名师点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为[
.3年考全国II
卷理数】已知
AB
,AC
=(3,BC
,则
=A.C2【答案C【解析】由BCt,
B.−2D.BC2t
,得,BC
,AB(2,3).选.4年考全国卷理数】已知向量
,b足
||
,a则
a)A.C.【答案】
B.D.【解析】因为
2a|2
,所选5年考浙江卷】已知ab,是面向量e单位向量.若非零向量a与e的角为4·b,则a的最小值是满足bB.3A3−1
π
,向量bC.【答案】
D.2
【解析】设,由𝒂,⟩
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