09 第九章 刚性构件机械系统的动力学

第九章刚性构件机械系统的动力学§9-1概述一、研究机械运转及其速度波动调节的目的机械的运转，决定于该系统中外力所作的功。当驱动力所作的功大于阻抗力所作的功机械动能增加；当驱动力所作的功小于阻抗力所作的功，机械动能减少。机械动能的增减导致运转速度的波动。要使机械的主轴保持匀速转动，其前提条件是在任一瞬时，驱动力所作的功等于阻抗力所作的功。对于大多数机械来说，工作时并不具备这一条件，而是呈现一定程度的速度波动。这种速度波动使机械的运动副产生附加的动压力，降低机械效率和工作的可靠性；会引起机械振动，影响零件的强度和寿命；还会降低机械的精度和机械性能，使产品质量下降。所以，必须对机械的速度波动进行调节。二、机械的运转过程机械的运转过程通常要经历三个阶段，即起动阶段、稳定运转阶段和停车阶段。机械原动件的角速度W由零逐渐上升到正常运转的平均角速度W所经历的时间称为m起动阶段。设在起动阶段，驱动力、阻抗力及有害力所作的功分别为驱动功Wd、阻抗功W、dr损耗功Wf,起动阶段开始和结束时机械的动能为E0及E,根据动能定理有E-E=W-W-W。f 0 0drf由于E0=O,动能的增量△E=E>0,所以驱动功大于阻抗功。为了缩短起动时间，应使驱动功除了克服损耗功外，全部转换成机械的动能，也就是使W=0,即机械空载起动。起动阶段结束后,机械进入稳定运转阶段,即是机械的正常工作阶段。稳定运转阶段通常分为情况。其一是机械主轴的角速度保持恒定不变，即所谓的等速稳定运转，如图9—la

抗功及损耗功之和，但在每一瞬时，驱动功不等于阻抗功及损耗功之和。当Wd-W-Wf>0,drf出现盈功，使机械主轴的角速度上升；Wd-W-WfVO,出现亏功，使机械主轴的角速度下降;drf因而机械的运转呈现周期性的速度波动。撤去驱动力，机械进入停车阶段。该阶段Wd=o,机械靠起动阶段所积累的动能来克服

d阻力维持运动的。当动能耗尽，机械停止运转。为了缩短停车时间，一些机械安装制动装置。§9-2机械等效动力学模型一、等效动力学模型的建立系统的运动也就确定。这样，研究机械系统运动问题可演化为单一构件运动的问题。这一构件称为等效构件。如图9-2所示等效构件在假想力（力矩）作用下的瞬时功率与机械系统中所有外力作用下的瞬时功率相等，这一假想力（力矩）称为等效力（力矩）。具有假想质量（转动惯量）的等效构件瞬时动能与机械系统瞬时动能相等，这一假想质量（转动惯量）称为等效质量（等效转动惯量）。即：任一瞬时，在等效力（力矩）作用下，具有等效质量（转动惯量）的等效构件的动力性能与机械系统的动力性能相同。这样，把机械系统简化为一等效动力学模型。二、等效力和等效力矩根据等效力和等效力矩的定义有F。=工Fucos9+工±M①

eiiiii

i=1 i=1工Fuiicos9+±Mw工Fuiicos9+±Mwiii=1i=1丄Fii=1卜cos9+工±Mii=1(9-1)i=1(9-2)cos0+工±Mi=1(9-2)iii=1式中，F、v为等效力及等效力作用点的速度；M、W为等效力矩及等效构件的角速e e度;F.、v.为作用在原机械系统中第i个构件上的外力及力作用点的速度；M.、（V.为作用在iiii原机械系统中第i个构件上的外力及该构件上的角速度；e.为力F.与速度v.之间的夹角。...式中M.和V.同方向时取“+”号，否则取“-”号..由式（9—1）及式（9—2）可知，等效力及等效力矩与作用在原机械系统中的主动力、力矩以及速比有关。由于主动力和力矩可以是常数（如提升机的工作载荷、重锤产生的驱动力等），或是机械位置的函数（如往复式活塞压缩机上的阻力、弹簧力等），还可以是速度的函数（如鼓风机和离心泵叶轮上的阻力，各种电动机的驱动力等），而速比不是常数就是机械位置的函数，所以等效力和等效力矩可能是常数，也可能是机械位置的函数，还可能是机械位置与速度等变量的函数。作用在机械系统中的主动力及力矩，可以是驱动力、驱动力矩，也可以是阻力、阻力矩。有时为了求解需要，可分别对它们求等效力或等效力矩，分别称之为等效驱动力Fd或等效d驱动力矩Md和等效阻力F或等效阻力矩M。此时机械系统的等效力或等效力矩为ed er erF=F—F （9-3）eederM=M—M （9-4）eeder值得注意的是，等效力或等效力矩是在建立机械系统的等效动力学模型时引入的一个假想力或假想力矩。它作用在等效构件上，产生的功率等于原机械系统中所有主动力和力矩产生的功率之和。它不是原机械系统中所有主动力或力矩的合力或合力矩。三、等效质量和和等效转动惯量根据等效质量和等效转动惯量的定义有=1=1工mu22 isii=1+-艺J①22 siii=1=1=1工mu22 isii=1+-工J①22 siii=15)工m5)工mii=1+匚sii=19—eii=1(u¥―金eii=1(u¥―金I①丿+二sii=19—式中，m、v为等效质量及等效构件的平移速度；J、W为等效转动惯量及等效构件e e的角速度；m.、J.为第个构件的质量及其对质心轴的转动惯量；W.、v.为第i个构件的

isiisi角速度及其质心的速度。由式（9—5）及式（9—6）可知，等效质量或等效转动惯量与原机械系统中各活动构件的质量与转动惯量以及各速比的平方有关，而各速比与各活动构件的真实速度无关，只取决于结构尺寸与位置。当机械系统中各活动构件的质量与转动惯量及结构尺寸和位置给定后，即使尚未求得机械的真实速度也可求得等效质量或等效转动惯量。通常等效质量或等效转动惯量可能是常数也可能是原机械系统中原动件的位置的周期函数，其变化周期对应于原动件的一个运动循环。等效质量或等效转动惯量是在建立机械系统等效动力学模型时引入的等效构件所具有的一个假想的集中质量或转动惯量。它使等效构件在运动过程中的每一瞬时所具有的动能都等于原机械系统中所有活动构件在同一瞬时所具有的动能之和。它不是简单的把解：由式（9-1）和式（9-6）可得M=F—cosl80。动能都等于原机械系统中所有活动构件在同一瞬时所具有的动能之和。它不是简单的把解：由式（9-1）和式（9-6）可得M=F—cosl80。e3①l(a)二jel(u¥—B2

w丿(b)ul式中：B2 11又有速度多边形（图9—3b）可知u sinp3B2lsinp1111代入（a）、（b）两式，可得①lsinpM=F—aicos180。=-Flsinp

e3 ① 31 1J二J+m12+m12sin2pe1 21 31 1

在本例中，等效转动惯量J的前两项为常数，第三项则随等效构件的转角申1而变化。e1一般来说，含有连杆机构的机械系统的等效转动惯量通常由常数和变量两部分组成，且由于连杆机构常安装在低级速，其对应的等效转动惯量中的变量部分较小，在计算中有时可以忽略不计。§9-3机械系统运动方程及其求解一、机械系统运动方程式求解机械的真实运动规律，首先列出机械系统运动方程式。由于平面单自由度机械系统的动力特性等价于其等效动力学模型，为此，研究机械系统的运动规律问题就简化为研究等效构件的运动规律问题。为了书写方便，将等效转动惯量（等效质量）和等效力矩（等效力）的下标“e”均省略不写。若以曲柄为等效构件，根据动能定理，其微分形式的动能方程为（9-7）将上式积分即可得积分形式的动能方程11J11J①2一 J①2二j申Md®®0(9-8)式中，®°、e°为等效构件的转角和角速度的初始值；J°为等效构件的转角为®。时的等效转动惯量。式（9—7）和（9—8）均为动能形式的运动方程。此外，还可从式（9—7）导出力矩形式的运动方程(1AdJ®2乜丿=Md®d®型+1®2Jd®型+1®2J=Mdt2 d®+—®2 d®整理，得（9-9）

同理，若以滑块为等效构件，可得微分形式的动能方程(1)d—mv2=Fds12丿(9-10)积分形式的动能方程11=isFdss0mv2一mv=isFdss02200(9-11)式中，S°、VQ为等效构件的位移和速度的初始值。力形式的运动方程dv1dmm—+—v2 =Fdt2ds(9-12)二、运动方程的求解一般来说，等效转动惯量可能是常数也可能是机械原动件位置的函数；而等效力矩或是机械原动件位置的函数，或是速度的函数。因此，运动方程的求解可根据不同的情况采用图解法、解析法及数值计算法。1.等效力矩或等效转动惯量均为常数dt由于等效转动惯量为常数，则(9-9)变为dt(9-13)上式可写成dtJ=(XdtJ=(Xw=w+xt01=ffi+wt+X12002(9-14)式中，9°、为等效构件起始位置的角位移和角速度；a为等效构件角加速度。这类问题常见于恒定载荷的齿轮传动或机械制动过程中。例9—2图9—4所示为某机械的传动系统。它由电动机A驱动，经由一带传动和二级齿轮减速器将动力传至输出轴W,其制动器B安装在轴III上.已知电动机的转速为1420r/min,各轴间传动比分别为i12=2.5,i23=4.5,i34=3；各轴系的转动惯量(单位kg・m2)分别为J=0.15,厶=0.5,J3=0.24,J4=0.3，制动器B转动惯量Jb=0.15；当切断电动机电源后，要求2 3 4 b在不到2s的时间内使该传动系统停止运转，问所需的制动力矩Mr为多大？解：选取制动器B所在轴系为等效构件，其角速度W3为—x rad/s=13.218rad/s60 2.5x4.5o=0在不到2s的时间内使该传动系统停止运转，问所需的制动力矩Mr为多大？解：选取制动器B所在轴系为等效构件，其角速度W3为—x rad/s=13.218rad/s60 2.5x4.5o=0/ii=3 1 1223由式（9一6）,求得其等效转动惯量仏丫

2丿3=0.15x(2.5x4.5)+0.5x(4.5)+0.39+0.3x(1/3)=J1仏丫—12丿3+(J+J)3B—3-2丿3)2+J4=29.533kgDm2等效构件的角加速度a为0—①—13.218 厂, [a= 3= rad/s=—6.609rad/st2所需制动力矩M=Ja二29.533x(—6.609)NDm=—195.183NDm2．等效力矩是速度函数，等效转动惯量是常数由式（9一14）分离变量后得d0M(0)积分得000d0M(o)整理得t=t+jJo00doM(o)(9-15)式（9—13）还可变换成oM(o)do=一dq积分得oM(o)do=卜丄dq%J（9-16）整理得这类问题常见于电动机驱动的鼓风机、离心泵等机械。例9-3已知某机械系统的等效驱动力矩M=a-b^，等效阻od抗力矩M为常数，如图9—5aor所示，其中，a，b均为正值，且为常数。若该系统的等效转动惯量Jo也为常数，试求该机械o的运动规律。解：该系统从静止开始启动，随着速度的上升，驱动力矩下降。假设驱动力矩与阻抗力矩相等时，对应的转速为W，则Sa—M=borsa—M3 = rsb于是，等效力矩3M=M—M=(a—M)(1—)d r r 3s由式（9—15）得解得该系统的运动曲线如图9—5b所示，反映了机械的启动过程。当t—8时，W—3，即S机械处于稳定运转。由于该曲线是一条递增的，且收敛于3s的曲线，所以一般认为机械的S运转速度达到3的某一百分比，如95%时，机械即进入稳定运转阶段，相应所需的时间ttt即为起始时间。3.等效力矩和等效转动惯量均为等效构件位置的函数这类问题采用式（9—8）表述的积分形式的动能方程求解较为方便-Md^+(9-17)J®0

(9-17)等效构件的角加速度d®

a=—

dt等效构件的角加速度d®

a=—

dtdQ(9-18)机械运动时间(9-19)当等效力矩不是一个简单的可积函数表达式，甚至不能以解析式表达时，可采用数值解法求解较为方便。这类问题常见于内燃机驱动的含有连杆机构的机械系统。4.等效力矩是位置和速度的函数，等效转动惯量是位置的函数这种情况可按式（9—7）列出其运动方程式1d[-J（Q）①2]二M（Q,①）dQ2这是一个非线性微分方程，通常难以求出其解析解。一般情况下只能用数值方法求解首先，构造一个适宜于数值解的迭代计算公式。为此，将上式展开2dJ（Q）+J（Q）①d®=M（Q,①）dQ(9-20)用差分代替微分dQ=AQ=Q—QTOC\o"1-5"\h\zi+- id®=A®=®—®i+- idJ(Q)=AJ(q)=J—J=J(Q)—J(Q)i+- i i+- i代入式(9—20)得--®2(J一J)+J®(®-®)+M(q,®)AQ2i i+- iii i+- iii整理得M(Q,®) 3J—J\o"CurrentDocument"®= i iAQ+ i i+—®\o"CurrentDocument"i+- J® 2J iii i(9-2-)采用式（9—21）进行迭代计算时，首先需选定初值0。，然后按一定的转角步长AQ计算出一个运动循环中各等分点的3订，最后进行收敛判别，即应使终值3n和初值O0相等。否则应重复选定O°重复上述运算，直至收敛。用数值解法求解机械运动方程时，通常都要构造一个迭代计算公式，迭代算式的不同决定了其计算工作量以及计算结果的精度的不同。究竟选用何种方法，读者可参考有关的书籍。例如，用四阶龙格—库塔法求解此类方程就可得到较高精度的数值解。这类问题常见于电动机驱动的冲床、刨床、插床等含有连杆机构的机械系统等场合。在这些实例中，电动机的驱动力矩是速度的函数，而工作机的工作阻力则为机构位置的函数因此等效力矩是机构位置和速度的函数；由于该系统中含有速比不为常数的构件，等效转动惯量成为机构位置的函数。§9-4周期性速度波动及其调节一、周期性速度波动产生的原因及条件通常，作用在机械上的驱动力矩和阻抗力矩是机械主轴的转角9的周期性函数，因而其等效驱动力矩M与等效阻抗力矩M必然也是等效构件转角9的周期函数。由于等效转动dr惯量J也是等效构件转角9的周期函数，所以必然能找到它们的公共周期9T（即运动周期所对应的转角），使1 9AE二一J(9)①2(9)- J(9)^2(9)=J9[M(9)-M(9)]d9 (9-24)2aa9dra机械在任一位置的动能为

E仰)二1J仰)①2®)二1J仰)rn2仰)+_T[M仰)-M(甲伽(9-25)2 2 a a ⑴ d r(9-25)其变化曲线如图9—6b所示。在图9—6a中，当机械运转在9〜Pb段时，由于MdVM，因而驱动功小于阻抗功，ab dr其差值为负，称之为亏功，等效构件的角速度因动能的减少而下降。当机械运转在Pb〜9bc段时，由于Md>M,因而驱动功大于阻抗功，其差值为正，称之为盈功，等效构件的角速度dr因动能的增加而上升。显然，在周期内的任一段，由于驱动功与阻抗功并不相等，引起机械的动能发生变化，使机械的运转角速度产生波动。这就是机械产生速度波动的原因。要使机械作周期性变速稳定运转，即W（9+9T）=®（9），则1E（9）二-J（9）w2（9）11E(9+9)二 J(9+9)◎2(9+9)二 J(9)®2(9)二E(9)T2TT2由式(9—24)及式(9—25),得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AE=E(9+9)-E(9)={1J(9)«2(9)+J9+9t[M(9)-M(9)]d9}T 2aa9d ra(9-26)-{1J(9妙2(9)+J9[M(9)-M(9)]d9}(9-26)2aa9d r=J9+9t[M(9)-M(9)]d99 d ra上式说明，要使机械作周期变速稳定运转，在一个公共周期9T内，驱动功等于阻抗功或盈功等于亏功。这就是机械作周期性速度波动的必要条件。二、机械运转不均匀系数①二1(① +rn)m2maxmin（9-28）等效构件的最大角速度w 与最小角速度wi之差反映了机械运转速度波动的绝对max min量，但不能真实反映机械运转速度的不均匀程度，速度波动绝对量相同而平均角速度不同的两台机器，平均角速度较低机械的运转速度的不均匀程度较高。因此，平均角速阪m也是反映机械速度波动的一个重要指标。综合考虑这两方面的因素，用机械运转速度波动的绝对量与其平均角速度之比来表示机械运转速度波动的程度，这一比值称为机械运转速度不均匀系数，用C表示，即O=maxminm(9-29)由式(9—28)和式(9—29)可得max(9-30)min(9-31)W2 ―⑷2 二20®maxminm(9-32)不同类型的机械，由于其工作性能要求不同而对机械运转速度不均匀系数提出不同的要求。表9-1部分机械的运转速度不均匀系数的许用值［6］机器名称6机器名称6粉碎机1/5〜1/20纺纱机1/60〜1/100冲、剪、锻床1/7〜1/20船用发动机1/20〜1/150泵1/5〜1/30压缩机1/50〜1/100轧钢机1/10〜1/25内燃机1/80〜1/150农业机械1/5〜1/50直流发电机1/100〜1/200织布、印刷、制粉机1/10〜1/50交流发电机1/200〜1/300金属切削机床1/20〜1/50航空发动机<1/200汽车与拖拉机1/20〜1/60汽轮发电机<1/200三、周期性速度波动的调节所谓机械的周期性速度波动的调节，就是将所设计的机械的运转速度不均匀系数限制在一个许用值内。即C］。通常所采用的方法是在变速轴上安装一个具有很大转动惯量的回转构件——飞轮。1)飞轮的调速原理机械产生速度波动的原因是在机械运转的某一时段内驱动功不等于阻抗功。当出现盈功时，机械和飞轮的运转速度将会增大，盈功的大部分将被飞轮以动能的形式储存起来；反之，当出现亏功时，机械和飞轮的运转速度将会减小，飞轮释放动能以弥补能量的不足。由于飞轮的转动惯量可以设计足够大，因此在盈亏功相对有限的情况下，飞轮的速度波动幅度不会很大，也就是机械速度波动得到了限制。在这一过程中，飞轮实质上是一个能量储存器，它以动能的形式自发地按需要把能量储存或释放出来。由于飞轮的转动惯量相当大，其角速度的微小升降，即可调节机械系统较大的能量增减，这就是飞轮的调速原理。此外，对于某些工作时间短，峰值载荷大，但在工艺上对运转不均匀程度要求不高的机械，如破碎机、冲压机等，可以利用飞轮在机械非工作时间所储存的动能来克服其尖峰载荷，从而选用功率较小的原动机。所以机械安装飞轮后不仅可以调速，而且可以减低能耗。(2)飞轮转动惯量的近似计算机械系统的等效转动惯量J一般由常量J和变量J两cv部分组成，即J=J+J。当在等效构件上安装了一转动惯量为JF的飞轮后，由于J«JF，在cv F vF近似计算中可略去不计，即认为系统的等效转动惯量J=J+JF。cF由式(9—25)可得系统在任一位置的动能1E仰)二(J+J)02®)二E仰)+「［M仰)-M仰)］dq2cF a d r%W(甲)仃M(甲)-M(甲)旳令 ％d r它是系统的等效力矩在所研究的区间［Q,P］内所作的功。显然，当等效力矩所作的功a最大时，系统具有的能量最大，此时对应的等效构件的角速度亦最大；等效力矩所作的功最小时，系统具有的能量最小，对应的等效构件的角速度亦最小。即1E二一(J+J)02二E(Q)+Wmax2cFmax amax1E二一(J+J)02二E(Q)+Wmin2cFmin amin两式相减，得[(J+J)(0 2-O2)二W-W2cFmaxminmaxmin将式(9—32)代入式(9—33)，解得J二竺-JFO2(5) cm(9-34)式中，［w］=W—Wi，称为最大盈亏功。maxmin例9-4如图9-8所示将机组的力和质量都等效到曲柄AB上的点B。在机组稳定运动时，它的一个运动循环对应于轴的一转。已知切向等效阻力F是点B行程sB的函数，F=F(sB)；r B rrB切向等效驱动力Fd在稳定运动中为常数；机组各构件质量的等效质量m=150kg=常数；等效

点的平均速度vB=2.5m/s;曲轴的长度l=100mm,装在B AB轴A上的轮形飞轮的平均直径d=500mm。求：1） 保证不均匀系数5不超过0.05的飞轮转动惯量JF；F2） 飞轮的最大角加速度a。max解1）按题意，机组各构件在轴A的等效转动惯量J=J=ml2=150X0.12=1.5kg•m2二常数，而不计RCABJ的作用。曲柄的平均角加速度为WVm=v/AB=2.5/0.1=25rad/s。又根据一个运动循环中驱动力的功与阻力的功相等，而题设等效驱动力F为常数,d故可用下式求出F的值。按题意，di2xFdsF=—0-——Bd 2x上式积分即为图b中F=F（sB）曲线与横坐标轴线所包rrB括的三个三角形面积乘以卩和卩。故得FsAF©2bfcb图9-8卜10x2xAF©2bfcb图9-8卜10x=5kN在图b中F=F（sB）为一水平直线aa/,它与F=F（sB）曲线相交于b、c、d、e、f、=5kNddB rrB点，所包围的面积①、②、・••⑦各代表相应区间的盈亏功，亦即机组的动能增量。由于这些面积均为三角形，且其高度相同，所以它们与其底边ab、be、…、ga/成正比，其大小也容易求出，在此情况下不必再求曲线AE。可用图c所示的能量指示图直接确定各极值点剩余功的相应变化。图c中矢量ab、be、…、ga/各代表面积①、②、・••⑦（可直接根据各三角形的底边长作出）。那么，最高点b和最低点c即对应于机组动能最大和最小时的位置,亦即等效构建最大角速度w 和最小角速度w.的位置。be长代表该区间的盈亏功W（对max min bc应于面积②），即最大盈亏功[w]二丄x（兰）x5= x5=KX0.1x5二393Nm22440.05^57-1.5=11.076〜11.1kgm22）飞轮的最大角加速度a为max（M-Mr） （5x0.1-0）a=d= x1000=39.7rad/s2maxJ+J 11.1+1.5FC四、飞轮尺寸的计算

求得飞轮的转动惯量以后，可确定其尺寸。飞轮常作成轮形，如图9-9所示。它由轮缘A、轮毂B和轮辐C三部分组成。因与轮缘比较，轮辐及轮毂的转动惯量较小，故常略去不计。设QA为轮缘的重量，D1和D2为轮缘的外径和内径，则轮缘的转动惯量近似为TTQ(D2+D2]AF2g(4丿X■%drd1—1If图X■%drd1—1If图9-9AF(9-35)QAD2二4gJF(9-35)式中JF是飞轮实际的转动惯量，QAD2称为飞轮的飞轮转矩，其单位为Nm2。由上式可知，当选定飞轮轮缘的平均直径D时，即可求出飞轮轮缘的重量QA。至于平均直径D的选择，一方面需考虑飞轮在机械中的安装空间，另一方面还需使其圆周速度不致过大，一面轮缘因离心力过大而破裂。又设轮缘的宽度为b,材料单位体积的重量为y(N/m3),则Q^二兀DH中NHb=(9-36)于是(9-36)式中D、H及b的单位为m。当飞轮的材料及比值H/b选定后，由上式可求得轮缘的横断面尺寸H和b。§9-5非周期性速