专题05一元一次不等式（热考题型）-

/17/17/专题05一元一次不等式【思维导图】◎考点题型1一元一次不等式的定义概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。例．（2023春·八年级课时练习）下列各式中是一元一次不等式的是（????）A．2x-y≥0 B．C．>0 D．x-≥【答案】D【分析】直接根据一元一次不等式的定义判断即可．【详解】解：A．2x-y≥0含2个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；B．的最高次项的系数是2，不是一元一次不等式，故不符合题意；C．>0的分母含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；D．x-≥是一元一次不等式，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．变式1．（2023春·八年级课时练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（????）A．1 B． C．1或 D．不确定【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式，∴|m|=1且m-1≠0，解得m=-1，则m的值为-1，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．变式2．（2023春·八年级单元测试）若是关于的一元一次不等式，则的值为（????）A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【详解】解：∵，∴且，解得．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．变式3．（2022春·云南·七年级云南师范大学实验中学校考期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（????）A． B． C． D．2【答案】B【分析】含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这样的不等式是一元一次不等式，根据定义列方程与不等式，从而可得答案．【详解】解：是关于x的一元一次不等式，解得：故选B【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，掌握“一元一次不等式的定义”是解本题的关键．◎考点题型2解一元一次不等式1、解一元一次不等式的一般步骤：去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为12、解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解例．（2021春·江苏淮安·七年级校考期中）不等式的解集在数轴上表示为（???）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集即可．【详解】解：，系数化为1得，，在数轴上表示为，故选：C．【点睛】本题考查了解不等式和在数轴上表示不等式解集，解题关键是准确的解不等式，会在数轴上表示解集．变式1．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如果不等式的解集是，那么m必须满足（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两边同时除以，不等号的方向改变，可得，据此即可求解．【详解】解：因为的解集是，不等号的方向改变了，所以，解得．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．变式2．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【详解】解：解得：故选：D．【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．变式3．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）不等式的解集在数轴上表示为（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴数轴表示不等式的解集如下所示：故选B．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键，注意数轴表示的时候那里要用实心点．◎考点题型3整数解问题例．（2023春·八年级课时练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出不等式的最小整数解，代入方程，求出a的值即可．【详解】解：∵解不等式得，，∴其最小整数解为，∴，解得．故选：A．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．也考查了一元一次方程的解法．变式1．（2022秋·八年级单元测试）不等式的正整数解为（????）A．1，2 B．0，1，2 C．1，2，3 D．0，1，2，3【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再求正整数解即可．【详解】解：，除以得：，所以不等式的正整数解是1，2，3，故选C．【点睛】本题考查一元一次不等式的正整数解．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的求出不等式的解集，是解题的关键．变式2．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）不等式的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】先求解一元一次不等式，再得出非负整数解即可；【详解】解：解不等式得，，不等式的非负整数解是0，1，2，3，一共4个．故选：．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，准确理解非负整数解的意义是解题的关键．变式3．（2022春·广西贺州·七年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集为，再根据不等式只有两个正整数解得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵关于x的不等式只有2个正整数解，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，正确得到是解题的关键．◎考点题型4表示方法1、一元一次不等式的解集的表示方法：表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。定方向时要注意“小于向左，大于向右”。例．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是(????)A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案．【详解】解：解不等式得，∴不等式的解集在数轴上表示为，故选B．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键．变式1．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（????）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先解得关于x的不等式的解集即，然后观察数轴上表示的解集，求得m的值．【详解】解：关于x的不等式，得，由题目中的数轴表示可知：不等式的解集是：，∴，解得，，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是正确解出关于x的不等式，把不等式问题转化为方程问题．变式2．（2022春·湖南湘西·七年级统考期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是（????）A．－2 B．－3 C．－1 D．0【答案】B【分析】根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是．∵，∴，∴，∴解得．故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．变式3．（2022春·福建福州·七年级校考期中）不等式﹣3（x﹣2）≤0的解集在数轴上表示为（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1，再在数轴上表示出其解集可得．【详解】解：去括号，得：-3x+6≤0，移项，得：-3x≤-6，系数化为1，得：x≥2，在数轴上表示解集为：故选：A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．◎考点题型5求不等式解的最值例．（2023春·八年级课时练习）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（????）A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．【详解】∵是不等式的一个解，∴，解得，∴整数k的最小值是3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．变式1．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期中）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（????）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】将y和z分别都用含x的式子表示，根据题意，把x的范围求出来，则x+y+z求出最大值．【详解】由，．可得y=3-x，z=x-6，∴x+y+z=x+3-x+x-6=x-3．∵，∴．解得．∴x-3，∴x+y+z3，则最大值为3．故选A．【点睛】此题考查了不等式的计算，把y和z分别都用含x的式子正确表示出来是解此题的关键．变式2．（2022春·河南漯河·七年级统考期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案．【详解】①②得：①②得：解得的最小值为．故选B．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．变式3．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）不等式4-2x＞0的最大正整数解是（）.A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】先解不等式得到x的取值范围，然后取其最大正整数解即可.【详解】解：移项，得：-2x＞-4，系数化为1，得：x＜2，∴不等式4-2x＞0的最大正整数解是1.故选D．【点睛】本题考查解一元一次不等式，需要注意的是当不等式两边同时乘以（或除以）负数时，不等式的方向要改变.◎考点题型6一元一次不等式解决实际问题1)审：认真审题，分清已知量、未知量；2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；3)设：设出适当的未知数；4)列：根据题中的不等关系列出不等式；5)解：解出所列不等式的解集；6)答：检验是否符合题意，写出答案。例．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，最低可打（）折出售．A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折【答案】C【分析】设最低可打折，根据电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，可列不等式求解．【详解】解：设最低可打折，则∴，∴最低打八折，故选：C．【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据利润＝售价?进价，可列不等式求解，难度一般．变式1．（2023春·八年级课时练习）某品牌洗地机的进价为2000元，商店以2400元的价格出售．元旦期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该洗地机最多可降价多少元？若设洗地机可降价元，则可列不等式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．【详解】解：根据题意，得．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．变式2．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）某商畈去菜摊买黄瓜，他上午买了千克，价格为每千克x元，下午，他又买了千克，价格为每千克y元﹒后来他以每千克元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（????）A．＜y B． C． D．【答案】B【分析】根据题意列不等式，解出不等式的解集，即可得到答案．【详解】解：由题意得，解得：，故选B．【点睛】本题考查列不等式及解不等式，解题的关键是得到不等关系式．变式3．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设小明到A站之间的距离为，则公交车距离A站为，根据公交车的速度是小明速度的5倍，得出要保证小明不会错过这辆公交车，解不等式即可得出答案．【详解】解：设小明到A站之间的距离为，则公交车距离A站为，∵公交车的速度是小明速度的5倍，∴要保证小明不会错过这辆公交车，解得：，即小明到A站之间的距离最大为，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．◎考点题型7解决几何问题例．（2022秋·湖南益阳·八年级校联考期末）用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度m，要使靠墙的一边长不小于25m，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．【详解】根据题意和图形可得，解得：，故选：D【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．变式1．（2022秋·全国·八年级专题练习）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可．【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，∴每一块的棱长l＝2.5cm，∵长方形面积是36，长方形木板的长是宽的4倍，设宽为xcm，长为4xcm，x?4x＝36，得：x＝3，∴长为12cm，根据题意,得2.5n≤12，∴n≤4.8，∵n是正整数，∴n的最大值是4．故选：C．【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键．变式2．（2022·河北邯郸·校考三模）2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏