2.1 数列的概念与简单表示法2

2.1数列的概念与简单表示法自学导引1．按照一定顺序排列着的一列数称为______，数列中的每一个数叫做这个数列的_____，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第____项．数列项首n

2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为________．3．项数有限的数列叫做______数列，项数无限的数列叫做______数列．4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的______公式．{an}有穷无穷通项自主探究1．－3，－2,2，x,6,8，y,12这几个元素能构成数列吗？说明理由．【答案】当x，y代表数时为数列，当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数构成的．2．数列与数集有什么不同？【答案】数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的，数列中的数可以相同而数集中的数是互异的．课堂讲练互动1．数列的概念(1)数列与数集是两个不同的概念，它们主要区别在于：集合中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是有序的且可以相同，即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．另一方面，同一个数在数列中可以重复出现．(2){an}与an是两个不同的概念：{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an只表示数列{an}的第n项．(3)数列的项与它的项数是两个不同的概念：数列的项是指出现在这个数列中某一个确定的数an，它是一个函数值，即an＝f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)的对应的自变量的值，即n.2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．注意：(1)有的数列写不出通项公式，有的数列其通项公式不唯一．(2)数列可看成定义域为正整数集或其有限子集的函数，其通项公式为函数解析式．例如：数列2,4,8,16，…通项公式：an＝2n(n∈N*)．3．数列的递推公式(1)通项公式和递推公式的区别．通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.(2)如何用递推公式给出一个数列．用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．典例剖析题型一：用观察法求数列的通项公式题型二通项公式的简单应用例2：已知数列{an}的通项为an＝n2－5n＋4，(1)数列中有多少项为负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求此最小值．题型三由数列的递推公式求数列的指定项例3：已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝(

)A．－165 B.－33

C．－30 D．－21【答案】C【解析】解法一：由已知得a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.解法二：∵a2＝a1＋a1＝－6，∴a1＝－3，a3＝a1＋a2＝－9，a5＝a2＋a3＝－15，a10＝a5＋a5＝－30.课堂总结：1．数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an仅表示数列{an}的第n项an.2．数列中的项和它的项数是不同的，数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)．而项数是指这个数在数列中的位置记号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.3．数列中的项是按一定的次序排列的，它的项是可以相同的，与集合中的元素不同，集合中的元素要求不能重复出现．4．并不是所有的数列都有通项公式，如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得到的通项公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可以．5．数列的递推公式是已知数列的第1项(或前几项)，利用其任意一项an和其前一项an－1(或前几项)来给出数列的一种方法，可由递推公式求出数列的每一项．6．已知数列的递推公式求通项公式，此类题型求数列通项公式方法大致分两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明(后面学)；另一类是将已知递推关系，用各项累加(乘)法、迭代法、换元法或转化为基本数列(后面学)的方法求通项.课堂检测：1．下列命题中错误的是(

)A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫做无穷数列【解析】考查数列的定义与特点．【答案】C【解析】考查数