新教材北师大版必修第二册第二章6.2平面向量在几何物理中的应用举例作业

第二章平面向量及其应用6.2平面向量在几何、物理中的应用举例基础过关练题组一向量在几何证明中的应用1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE(利用向量证明).2.用向量法证明三角形的中位线定理.3.如图,平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=13BD,求证:M、N、C三点共线4.在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=12题组二向量在物理中的应用5.用力F推动一物体水平运动sm,F与水平面的夹角为θ,则力F对物体所做的功为()A.|F|·s B.Fcosθ·sC.Fsinθ·s D.|F|cosθ·s6.水平横梁的一端A插在墙壁内,另一端装有一光滑的小滑轮,一轻绳的一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物,∠CBA=30°,如图所示,则滑轮受到绳子的作用力大小为(g=10N/kg)()A.50N B.503NC.200N D.103N7.(2020广东佛山实验中学高一下学期期末)长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸的A点出发,以5km/h的速度沿AD方向行驶,到达对岸C点,且AC与长江南岸垂直,同时江水的速度为向东3km/h,则船实际航行速度的大小为()A.2km/h B.34km/hC.4km/h D.8km/h8.如图,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)能力提升练题组一向量在几何中的应用1.()若四边形ABCD满足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则该四边形一定是()A.菱形 B.矩形C.正方形 D.直角梯形2.(2020江西赣州高二上学期期中联考,)非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|·BC=0,且AB|AB|·3.()如图,在平行四边形OACB中,BD=13BC,OD与BA相交于E,用向量法证明BE=144.()已知在?ABCD中,M、N、P分别在DC、CB、AD上,|DP||AD|=|CM||CD|=14,|BN|(1)求向量AM;(2)求证:PM∥AN.5.()已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为线段BC的中点,P为线段AB上一点.(1)利用向量知识判断点P在什么位置时,∠PED=45°;(2)若∠PED=45°,求证:D、P、E、C四点共圆.6.()如图,已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N,在BN的延长线上取点P,使NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使MQ=CM,用向量方法证明:P、A、Q三点共线.7.()证明:三角形的三条中线交于一点.题组二向量在物理中的应用8.()当两人同提重|G|的书包时,用力都为|F|,两力的夹角为θ,且|F|、|G|、θ之间的关系为|F|=|G|2cosθ2.当θ=时,|F|取得最小值;当|F|=|G9.()在一个平面内,一质点O受三个力F1、F2、F3的作用保持平衡,其中F3与F2的夹角为α,F3与F1的夹角为β.(1)若α=120°,β=150°,|F3|=10,求力F1、F2的大小;(2)若|F1|∶|F2|∶|F3|=1∶2∶3,求α与β的余弦值.

答案全解全析6.2平面向量在几何、物理中的应用举例基础过关练5.D 6.C 7.C 1.证明证法一:设(AB)?=a,(AD)?=b,则(AF)?=a+1/2b,(ED)?=b-1/2a,∴(AF)??(ED)?=a+1/2b?b-1/2a=1/2b2-1/2a2+3/4a?b,又(AB)?⊥(AD)?,且|(AB)?|=|(AD)?|,∴a2=b2,a?b=0.∴(AF)??(ED)?=0,∴(AF)?⊥(ED)?,即AF⊥DE.证法二:以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设AB=2,则A(0,0),E(1,0),D(0,2),F(2,1),故(AF)?=(2,1),(DE)?=(1,-2),则(AF)??(DE)?=2-2=0,即(AF)?⊥(DE)?,故AF⊥DE.2.解析已知:如图,MN是△ABC的中位线,求证:MN=1/2BC,且MN∥BC.证明:因为M、N分别是AB、AC边上的中点,所以(AM)?=1/2(AB)?,(AN)?=1/2(AC)?,所以(MN)?=(AN)?-(AM)?=1/2(AC)?-1/2(AB)?=1/2((AC)?-(AB)?)=1/2(BC)?.又(MN)?与(BC)?不在同一条直线上,因此,MN=1/2BC,且MN∥BC.3.证明设(AD)?=x,(AB)?=y,则(MN)?=1/2y+1/3(BD)?=1/2y+1/3(x-y)=1/6(2x+y),(MC)?=(MB)?+(BC)?=1/2y+x=1/2(2x+y),∴(MC)?=3(MN)?,又(MC)?与(MN)?有公共点M,∴M、N、C三点共线.4.证明如图,设(CA)?=a,(CB)?=b,则a与b的夹角为90°,故a?b=0.∵(AB)?=b-a,(CD)?=1/2(a+b),∴|(CD)?|=1/2|a+b|=1/2√("("a+b")"^2)=1/2√("|"a"|"^2+2a"?"b+"|"b"|"^2)=1/2√("|"a"|"^2+"|"b"|"^2),|(AB)?|=|b-a|=√("("b"-"a")"^2)=√("|"b"|"^2"-"2a"?"b+"|"a"|"^2)=√("|"a"|"^2+"|"b"|"^2).∴|(CD)?|=1/2|(AB)?|,即CD=1/2AB.5.D由题意得,力F与运动方向的夹角为θ,故力F对物体所做的功为|F|?cosθ?s.故选D.6.C设重物所受的重力为G,滑轮受到绳子的作用力为F,由力的分解可以知道|F|sin30°=|G|,∴|F|=("|"G"|")/sin30"°"=mg/(1/2)=200N.故选C.7.C由题意画出矢量图如下:(AD)?为船速及航行方向,(DC)?为水速及方向,(AC)?为船实际航行速度及方向,由此可得|(AC)?|=√("|"(AD)?"|"^2"-|"(CD)?"|"^2)=4km/h.8.解析设A、B处所受力分别为f1、f2,10N的重力用f表示,则f1+f2=f.如图,以重力作用点C为f1、f2的始点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线,则(CF)?=f1,(CE)?=f2,(CW)?=f,则∠FCW=180°-150°=30°,∠ECW=180°-120°=60°,∴∠FCE=90°.∴四边形CEWF为矩形.∴|f1|=|(CF)?|=|(CW)?|cos30°=10×√3/2=5√3,|f2|=|(CE)?|=|(CW)?|cos60°=10×1/2=5,即A处受力的大小为5√3N,B处受力的大小为5N.能力提升练1.A因为(AB)?+(CD)?=0,所以(AB)?=(DC)?,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为((AB)?-(AD)?)?(AC)?=0,所以(DB)??(AC)?=0,所以(DB)?⊥(AC)?,所以平行四边形ABCD为菱形.2.答案等边三角形解析如图,在△ABC中,作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,因为(AB)?/("|"(AB)?"|")为(AB)?方向上的单位向量,(AC)?/("|"(AC)?"|")为(AC)?方向上的单位向量,所以(AB)?/("|"(AB)?"|")+(AC)?/("|"(AC)?"|")=λ(AD)?(λ>0),因为((AB)?/("|"(AB)?"|")+(AC)?/("|"(AC)?"|"))?(BC)?=0,所以AD⊥BC,因为AD既是高,又是角平分线,所以AB=AC,因为(AB)?/("|"(AB)?"|")?(AC)?/("|"(AC)?"|")=1/2,所以(AB)?/("|"(AB)?"|")(AC)?/("|"(AC)?"|")cos∠BAC=1/2,所以cos∠BAC=1/2,解得∠BAC=π/3,所以△ABC为等边三角形.3.证明设(OA)?=a,(OB)?=b,则(BD)?=1/3a,(OD)?=(OB)?+(BD)?=b+1/3a.∵(OE)?与(OD)?共线,∴存在实数λ,使(OE)?=λ(OD)?=λb+1/3a,∴(BE)?=(OE)?-(OB)?=λb+1/3a-b=λ/3a+(λ-1)b.∵(BE)?与(BA)?共线,∴存在实数μ,使(BE)?=μ(BA)?=μ((OA)?-(OB)?)=μ(a-b).于是λ/3a+(λ-1)b=μ(a-b),即λ/3-μa=(1-λ-μ)b.∵a与b不共线,∴{■(λ/3"-"μ=0","@1"-"λ"-"μ=0",")┤解得{■(λ=3/4","@μ=1/4".")┤∴(BE)?=1/4(BA)?,即BE=1/4BA.4.解析根据题意可作出下图.(1)∵("|"CM"|")/("|"CD"|")=1/4,∴("|"DM"|")/("|"CD"|")=3/4,∴(DM)?=3/4(DC)?=3/4(AB)?,∴(AM)?=(AD)?+(DM)?=(BC)?+(DM)?=(BC)?+3/4(AB)?=3/4a+b.(2)证明:易知(PM)?=(PD)?+(DM)?=1/4b+3/4a,(AN)?=a+1/3b=4/3(PM)?,∴(PM)?∥(AN)?,即PM∥AN.5.解析(1)如图,建立平面直角坐标系,则C(2,0),D(2,3),E(1,0),设P(0,y),∴(ED)?=(1,3),(EP)?=(-1,y),∴|(ED)?|=√10,|(EP)?|=√(y^2+1),(ED)??(EP)?=3y-1,∴cos45°=((ED)?"?"(EP)?)/("|"(ED)?"||"(EP)?"|")=(3y"-"1)/(√10"?"√(y^2+1))=√2/2,解得y=2,∴点P为线段AB上靠近点A的三等分点.(2)证明:连接DP,当∠PED=45°时,由(1)知P(0,2),∴(PD)?=(2,1),(EP)?=(-1,2),∴(EP)??(PD)?=0,∴∠DPE=90°,又∠DCE=90°,∴D、P、E、C四点在以DE为直径的圆上,即D、P、E、C四点共圆.6.证明设(CA)?=a,(CB)?=b,则(AQ)?=(AC)?+(CQ)?=-a+(a+b)=b,(AP)?=(AB)?+(BP)?=(b-a)+[(a-b)-b]=-b,∴(AQ)?=-(AP)?,即AQ∥AP.又∵AP,AQ有一个公共点A,∴P、A、Q三点共线.7.证明如图所示,设AD、BE、CF分别为△ABC的三条中线,令(AB)?=a,(AC)?=b,则有(BC)?=b-a.设G在AD上,且AG/AD=2/3,则有(AD)?=(AB)?+(BD)?=a+1/2(b-a)=1/2(a+b),(BE)?=(AE)?-(AB)?=1/2b-a,∴(BG)?=(AG)?-(AB)?=2/3(AD)?-(AB)?=1/3(a+b)-a=1/3b-2/3a=2/31/2b-a=2/3(BE)?.∴G在BE上,同理可证(CG)?=2/3(CF)?,即G在CF上,故AD、BE、CF三线交于同一点.8.答案0;2π/3解析因为|F|=("|"G"|")/(2cos""θ/2),所以当cosθ/2=1,即θ=0时,|F|取得最小值.当|F|=|G|时,cosθ/2=1/2,此时θ=2π/3.9.解析(1)因为质点在F1、F2、F3的作用下保持平衡,所以F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2),又α=120°,β=150°,所以F1与F2的夹角为90°,所以F1?F2=0,|F3|2=[-(F1+F2)]2=F_1^2+2F1?F2+F_2^2=F_1^