江苏省常州市武进区高二上学期期中数学试卷及参考答案

222112222112学年江苏省常州武进区高（上）期中学试卷一、填题（本大题小题，小题5分，共分.不需要写出解过程，请把答直接写在相的位置）1分）命题“∃x∈，使x+x+0”的否定是．2分）“x＞1”x＞x”的

条件．3分）已知函（=2f（1﹣x，（x的解析式为（x=

．5分）顶点在原点且以双曲线

的左准线为准线的抛物线方程是．5分）若命题”∃x∈R，使x+（2a1）x+10”假命题，则实数a的取值范围为．6分）已知双曲线为．

的一个焦点坐标为，则其渐近线方程7分）已知双曲线

的离心率为，则m=

．8分）椭圆

上的点M到焦点的距离是2，是MF的中点，则ON=

．9分）已知函数f（）=（ax+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．10分已知P是椭圆直，且P到两焦点的距离分别为

上一点P与两焦点的连线互相垂，则椭圆的方程为．11分）函数fx）=

+﹣2x的单调递减区间为．12分）定义在R上的函数f（）满足：f2）=1，且对于任意的x∈，都有，则不等式

的解集为．第1页（共19页）

2112212121212122221233213分）在函数f（）=alnx+（+1（＞0）的图象上任取两个不同的点P（x，（，＞x总能使得（x）﹣（x）＞（x﹣x2112212121212122221233214分）椭圆

的左右焦点分别为F，，若椭圆上恰好有个不同的点P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是．二、解题（本大题6小题，分.解时应写出必的文字明、证明过程或演步骤）15分）已知：﹣8x﹣20≤；q：1﹣≤≤1+m．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求的取值范围．16分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（﹣0（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的一点，过点F、的直线与轴交于点，且求直线l的斜率．

=2

，17分）已知椭圆（1）若椭圆过点，

，设右焦点为F，离心率为e，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的焦距为4设、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x+y=4上，设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．18分）已知函数（x）+bx+的图象过点（﹣16在处的切线方程是y=4x﹣18（1）求函数y=fx）的解析式；（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；（3）若函数g（）+x﹣lnx，记F（）=f（x）﹣g（x函数（x）在区间

上的最大值和最小值．第2页（共19页）

11212211212219分）椭圆

的一个焦点F（﹣2，准线方程x=8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求

的取值范围；（3）若点A，分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于轴，点Q是椭圆上异于A，的任意一点，直线AQ交l于点M设直线OM的斜率为k，直线BQ的斜率为，求证：kk为定值．20分）已知函数

且x≠1（1）当a=0时，求函数f（）的极小值；（2）若函数f（）在（，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（3）若

x∈e，e]，使x）≤成立，求实数a的取值范围．第3页（共19页）

222222222222222222年苏常市进高（）中学试参考答案与试题解析一、填题（本大题小题，小题5分，共分.不需要写出解过程，请把答直接写在相的位置）1分）命题“∃x∈，使x+x+0”的否定是

∀x∈R，x+x1≥0

．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃∈，使x+x+1＜0”否定是：∀x∈，x+x+10．故答案为：∀x∈，x+x+02分）“x＞1”x＞x”的【解答】解：∵x＞x，∴x＞或x＜∴x＞x＞x，

充分不必要

条件．∴x＞是x＞x充分不必要，故答案为充分不必要．3分）已知函数（x）′（1）lnx﹣，则fx）的解析式为（x）=2lnx﹣x．【解答】解：∵fx）=2f′（lnx﹣，∴f′）=2f′（1）﹣1，令x=1，∴f′1=2f′（1）﹣1，∴f′1=1∴f）=2lnx﹣，故答案为：2lnx﹣．第4页（共19页）

22222225分）顶点在原点且以双曲线2222222

的左准线为准线的抛物线方程是．y=6x【解答】解：由双曲线设顶点在原点且以双曲线0则=，所以抛物线方程是y=6x．

的左准线为x=﹣，的左准线为准线的抛物线方程为

p＞故答案为：y=6x．5分）若命题”∃x∈R，使x+（2a1）x+10”假命题，则实数a的取值范围为．【解答】解：若命题”x∈，使x+（2a1x+1＜0”假命题，则函数f）=x+（2a﹣x+的最小值大于等于0即解得：a∈

≥06分）已知双曲线为y=±．

的一个焦点坐标为，则其渐近线方程【解答解由双曲线∴a+2=3，a=1则其渐近线方程为y=±．故答案为y=±

的一个焦点坐标为得b=，即y=±，

c=

，7分）已知双曲线

的离心率为，则m=8．第5页（共19页）

2221121222221121222【解答】解：∵双曲线∴a=4，=m∴c=4+m∵双曲线∴==3∴m=8．故答案为：8．

的离心率为

，，8分）椭圆

上的点M到焦点的距离是2，是MF的中点，则ON=4

．【解答】解：∵椭圆∴|MF|=10﹣2=8，ON是△MFF的中位线，∴|ON|=|MF|=4，故答案为：4．

的长轴长为25=10，9分）已知函数f（）=（ax

+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．【解答】解：求导函数可得：f′x）=2ax﹣∵函数f）=（ax+x）﹣xlnx在[1+∞）上单调递增，∴f′）=2ax﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立第6页（共19页）

121222212222∴2a121222212222令g（x）=

（x＞令g′（）＞0可得0＜e；令g′（x）＜0，可得＞e；∴函数在（0，e上单调增，在（，+∞）上单调减∴x=e时，函数取得最大值∴2a∴故答案为：．10分已知P是椭圆直，且P到两焦点的距离分别为【解答】解：设|PF|=2，|PF|=4，由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a=6可得a=3

，，

上一点P与两焦点的连线互相垂，则椭圆的方程为．由勾股定理可得，|PF|PF|=|F|，即为2080=4c，解得c=5，由b

2

=a

2

﹣c

，可得b=2

．即有椭圆的方程为故答案为：．

．11分）函数fx）=【解答】解：函数=x+lnx﹣令g（x）=x+﹣1＞0

+﹣2x的单调递减区间为（01．的导数为f′（）=x+1+lnx﹣第7页（共19页）

2222112212121212121212g′（）=1+＞0，即2222112212121212121212由g（1）=0可得f′（）=0的解为x=1由f′）＜0，解得0＜＜1．故答案为112分）定义在R上的函数f（）满足：f2）=1，且对于任意的x∈，都有，则不等式【解答】解：对于任意的x∈R，都有可设F（x）=f）﹣x，由F′（x）′（）﹣＜0，可得F（x）在R上递减，不等式即为fx）﹣＞，由f2=1可得f（）﹣=，即有F（x）＞F（2由F（x）在R上递减，

的解集为（﹣，

，）．可得x＜2，解得﹣故答案为，

＜x＜

．13分）在函数f（）=alnx+（+1（＞0）的图象上任取两个不同的点P（x，（，＞x总能使得（x）﹣（x）＞（x﹣x实数a的取值范围为（，+∞）．【解答】解：∵x＞x；∴x﹣x＞0；

；∴由fx）﹣fx）＞x﹣x）得，第8页（共19页）

；

212121211212122121121212121121212212111121211212∴a＞﹣2x+2x恒成立；；∴；∴实数a的取值范围为（

故答案为：

．14分）椭圆

的左右焦点分别为F，，若椭圆上恰好有个不同的点P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（，）∪（，1．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)FP构成以FF为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△FFP②当eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)FP构成以FF为一腰的等腰三角形时，以FP作为等腰三角形的底边为例，∵FF=FP，∴点P在以F为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F为圆心，半径为的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△FFP此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e；当e=时，△FFP是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠；同理当FP为等腰三角形的底边时在e且e时也存在2个满足条件的等腰eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)FP；这样，总共有6个不同的点P使得△FFP为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（，）∪（，1故答案为，）∪（，1第9页（共19页）

22222222222222222222二、解题（本大题6小题，分.解时应写出必的文字明、证明过程或演步骤）15分）已知：﹣8x﹣20≤；q：1﹣≤≤1+m．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求的取值范围．【解答】解：由x

﹣8x﹣20≤0得﹣x≤，即p﹣2≤x≤10，由x+2x+1﹣m≤0得[+（1m）][x+（1+m]≤0q1m≤x≤1+m．（Ⅰ）若p是q的必要条件，则解得

，即≤m≤，

，即m

≤3即m的取值范围是[

，]．（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即≥9解得≥3或m≤﹣3即m的取值范围是m3或m≤﹣316分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（﹣0（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的一点，过点F、的直线与轴交于点，且求直线l的斜率．第10页（共19页）

=2

，

000012【解答】解000012所以椭圆方程为；（2）设Q（x，y（﹣10设l：y=k（+10，k

，因为

=2

，即有（x，y﹣）=2﹣1x，﹣y得，所以，代入椭圆方程可得，

．17分）已知椭圆（1）若椭圆过点，

，设右焦点为F，离心率为e，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的焦距为4设、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x+y=4上，设直线AB的斜率为k，若

，求e的取值范围．【解答】解因为设椭圆方程为：因为椭圆过点

，，，，代入椭圆方程，得：，所以，椭圆方程为；（2）设直线AB的方程为：y=kx，第11页（共19页）

2332223322由，

即

为，，若b=2，c=2，则a，不合题意，所以，所以，又c=2，，，所以

，所以又e∈（01所以．

，18分）已知函数（x）+bx+的图象过点（﹣16在处的切线方程是y=4x﹣18（1）求函数y=fx）的解析式；（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；（3）若函数g（）

+x

﹣lnx，记Fx）=f（）﹣g（x函数（x）在区间

上的最大值和最小值．【解答】解由题意：c=﹣16，∵f+b切线过（﹣14第12页（共19页）

3211212∴3211212∴f）=x+x﹣16

，（2）设切点

，∵f+1，∴

，则切线方程：

，∵切线过原点，∴即切点坐标为（﹣2，﹣∴切线方程为y+26=13（+2理得y=13x

，（3）

，则

，解得：x＜∴F（x）在[，1]上为增函数，在[1，3]上为减函数则F（x）的极大值为F（1=﹣16，，F（3=﹣9+3ln3﹣16=﹣+ln3﹣﹣6+﹣16=﹣20，则．∴F（x）=F（1=0，F（x）=F3=﹣ln3．19分）椭圆

的一个焦点F（﹣2，准线方程x=8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求

的取值范围；（3）若点A，分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于轴，点Q是椭圆上异于A，的任意一点，直线AQ交l于点M设直线OM的斜率为k，直线BQ的斜率为，求证：kk为定值．第13页（共19页）

0000002极小值【解答】解由题意0000002极小值所以：椭圆方程为；（2）由题意：A﹣4，（x，y4＜x≤4

，且

，∴（3）证明：设Q（x，y

；，则AQ方程为：yx﹣（4+x）y+=0，令x=4得：，则，，，则

．20分）已知函数

且x≠1（1）当a=0时，求函数f（）的极小值；（2）若函数f（）在（，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（3）若

x∈e，e]，使x）≤成立，求实数a的取值范围．【解答】解当时，

…（1分）x＞e则f）在（0，e）为减函数，在（，+∞）为增函数，…（3分）所以f）

=f（）=e…（4分）（2）∵函数f（）在（，+∞）上为减函数，∴∴

在（1+∞）上恒成立…（5分），令lnx=t（t＞（6分）第14页（共19页）

2222，令2222则﹣a≤g（t…（分）∴所以a的最小值为…（9分）

，则

…（8分）（2）方法一、∵

x∈e，e]，使f（）≤成立，∴1°∴∴2°

…（10分），由（1知f（）在e，e]为减函数，，…（11分），，∵①当﹣a≥0即a≤0f'（x）≥0在[e，e]上恒成立，则f）在[e，e]增函数，∴f）=f（）=e﹣ae≤

…（12分）则

（不合题意）…（13分）②当

，则

，∴

，∴

（不合题意）…（15分）综上所述：方法二、由题意：

…（16分）等价于∴

，x∈e，e

2

…（10分）]…（11分）令第15页（共19页）

222222则

…（12分）∵e≤x≤e

2

⇒1lnx≤⇒1ln

2

x≤44e≤4x4e

⇒﹣4e

2

≤4x≤﹣，∴1﹣4e

2

≤ln

x﹣≤﹣4e＜，∴φ'（）＜0φ（x）在[，e]上为减函数，（14分）∴

…（15分）∴

…（16分）赠送初中学几何模型【型】垂弦型图特：运举：已、、、是O上四个.(1)如图，若∠＝BCD＝，＝，求证⊥