江苏省南京市鼓楼区高二(下)期中数学试卷(理科)

学年江省南京市楼区高（下期中学试（理科）一、填题：本大题小题，每小题5分，总分.1分）已知集合A=0，1，2，3}，B={2，，45}，则AB=

．2分）数据2，3，79的平均数为．3分）某企业有员75人，其中男员工有人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是．4分）某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，]的概率约为．组号12345

分组[53，）[6169[6977[7785）[8593

频数514251155分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．6分）已知矩形的长为10，宽为5（如图所示矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为为．

560颗，则可以估计阴影部分的面积

227分）从集合{1，345，7，，9}中任取一个数记为x，则logx为整数的概率为．8分）若，且，则xy=

．9分）根据如图所示的伪代码，如果输出，那么输入的x的组成的集合为．10分）若某程序框图如图所示，则运行结果为．11分）已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，都是有理数；②若a+b≥，则a，b中至少有一个不小于1③关于x的不等式ax+0的解为；

222xx200002211111222xx20000221111111111④“方程ax+bx+c=0有一根为1”充要条件是“+b+c=0”其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）12分）椭x

+my

=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，m的值为．13分）已知函数g（）=e+e﹣，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x∈[1∞x﹣x+3x立k的取值范围为．14分）已知函数，当x＞时，不等2f（x+xg（x）3＞m（x﹣恒成立，则整数m的最大值为．二、解题：本大题小题，共90分15分）质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？16分）用m，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，，4，，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程+mx+n=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．17分）如图，正方体ABCD﹣BCD棱长为1（1）求证：BD⊥平面ACB；（2）求直线BA与平面ACD所成角的正弦值．

2218分）设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边设半圆的半径为（米的透光面积为（平方米（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．19分）如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底，MN=6求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．20分）已知函数f（）=lnx﹣﹣x．（1）求函数f（）的最大值；

22（2）若函数g（x）=af（）+ax﹣3（a∈R）的图象在点（，g（处的切线与直线x﹣平行，对于任意的∈[2]函数区间（t4上总不是单调函数，求m的取值范围．

在

学江省京鼓区二下）期中数试（科参考答案试题解析一、填题：本大题小题，每小题5分，总分.1分春•楼区期中）已知集合A={，，3，{2，，，，则A∩B={23．【解答】解：集合A=0，1，2，3}，B={2，，4，5}，则A∩B={2，3，故答案为：{2，3}2分春•楼区期中）数据2，3，7，9的平均数为5【解答】解：数据2，，4，，9的平均数为：=（2+34+7+=5．

．故答案为：5．3春•楼区期中）某企业有员75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则女员工应抽取的人数是12

．【解答解：总体的个数75人，要抽一20人的样本，则每个个体被抽到的概率是

=

，女员工应选取的人数（75﹣30）×

=12人，故答案为：12．4分春鼓楼区期中）某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为0.6

．组号

分组

频数

12345

[53，）[6169[6977[7785）[8593

51425115【解答】：样本数据落在区间[85]的频数为25+，样本容量为5+142511+5=60则样本数据落在区间[69，85）的频率为

=0.6，故答案为：0.65春•鼓楼区期中）根据如图所示的伪代码，最后输出S的值为55

．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+3+5+…10值．由于：S=12+3+4++10=55，故输出的S值为55．故答案为：55；6分春•楼区期中）已知矩形的长为10，宽为如图所示矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为

2.8

．

222222【解答】解：设阴影部分的面积为S∵矩形的长为10，宽5如图所示在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，∴

，解得S=2.8．∴估计阴影部分的面积为故答案为：2.8．7分•扬州三模）从集{12，，4，5，789}中任取一个数记为x，则x为整数的概率为．【解答】解：从集合{2，，，，，，，中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中logx为整数的，248共4种基本事件，故则logx为整数的概率为，故答案为：．8分春•楼区期中）若则xy=﹣．

，且，【解答】解：∵∴，解得x=，y=﹣，xy==﹣．

，且，

22故答案为：﹣．9分春•楼区期中）根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为{﹣55}．【解答】解：根据流程图的作用知：的函数值，该程序的功能是计算并输出分段函数y=当x＜时，y=﹣x=5解得：x=﹣5；当x≥时，y=x﹣4x=5解得：x=5或x=﹣1（舍去）综上，输入的x值为﹣或5，即{﹣5，}．故答案为：{﹣5，5}．10春鼓楼区期中若程序框图如图所示则运行结果为

6

．【解答】解：模拟程序的运行，可得

22222222S=0，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件S≥100，执行循环体，，+不满足条件S≥100，执行循环体，，+8=14不满足条件S≥100，执行循环体，，+16=30不满足条件S≥100，执行循环体，，+32=62不满足条件S≥100，执行循环体，，+64=126满足条件S≥100，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．11分春鼓楼区期中）已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，都是有理数；②若a+b≥，则a，b中至少有一个不小于1③关于x的不等式ax+0的解为；④“方程ax+bx+c=0有一根为1”充要条件是“+b+c=0”其中真命题的序号是②④（请把所有真命题的序号都填上）【解答】解：①已知a，是实数，若+b是有理数，a，都是有理数，显然错误：比如﹣

和；②若a+b≥，则a，b中至少有一个不小于1其逆否命题为，都小于1则a+b＜，显然成立，故正确；③关于x的不等式ax+0的解为；只有当a0时成立，故错误；④“方程ax+bx+c=0有一根为1”推出“+c=0”反之也可以，故是充要条件，故正确．故答案为②④．12春•楼区期中）椭圆x+=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．

22xx﹣200002xx3﹣xx2200022xx﹣200002xx3﹣xx22000【解答】解：把椭圆的方程化为标准形式+

=1故a=，b=1，，所以a=

，b=12=4解得，m=，符合题意．故答案为．13分春鼓楼区期中）已知函数（）=e+e，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在∈[1，+∞使得g（x）≤k（﹣+3x）成立，则k的取值范围为（（e+∞）．【解答】解：由题意，记f（）=g（x）﹣k（﹣x+3x）=e+e﹣k（﹣+3x则f′）=e﹣e+3k（﹣1当x≥时f′）＞0即函数y=fx）在[+∞）上单调递增，此时f）=f（+﹣2k，由于存在x∈[1，+使得g（x）≤k（﹣+3x）成立，所以e+﹣2k＜0，解得：k＞（e+故答案为（e∞14分春•鼓楼区期中）已知函数，x＞时，不等2f（+（x+3＞（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为【解答】解：f′x）﹣2，x＞时，不等式2f′（x）xg（）+3m（x﹣恒成立，

4

．亦即m＜

=

+2对一切x∈（1，∞）恒成立，所以不等式转化为m

+2对任意x＞恒成立．设p）=

+2则p′x）=

，令r（x）=x﹣lnx﹣x＞1r′（x）=

＞0所以r（x）在（1，∞）上单调递增．因为r（3=3ln3﹣2=1﹣ln3＜，r4）﹣ln4﹣2=2﹣＞0，

000000000000000000000000所以r（x）=0在（1，∞）上存在唯一实根x，且满足x∈（3，4当1＜x＜x时，r（x）＜0即p′x）＜0；当x＞时，r（x）＞0即p′x）＞0．所以函数p）在（1x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增，又r（x）=x﹣lnx﹣2=0，所以lnx=x﹣2所以[p）]=p（）==x﹣1+（4，5所以m＜[p（x）]=x﹣12（4，5）故整数m的最大值是4故答案为：4．二、解题：本大题小题，共90分15分春•鼓楼区期中质检部门抽查某批次产品的质单位克随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？【解答】解由频率分布直方图，知：（a+2.5a+0.525+0.35）×，解得a=0.15．（2）质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，由频率分布直方图得质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率为（0.15+0.525）×0.5=0.5625，

2222222211111111222222221111111111∴在抽查的样本中一级产品共有：0.5625×件．16分春鼓楼区期中）用，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，34，5，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程+mx+n=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．【解答】解mn分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，4，，6，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数，基本事件总数N=6×6=36，∵关于x的方程x+mx+=0有两个不等实根，∴

2

﹣4n

2

＞∴关于x的方程x+mx+=0有两个不等实根包含的基本事件有：（3，1共个，∴关于x的方程x

+mx+

2

=0有两个不等实根的概率

=．（2）实数不是整数包含的基本事件（m，n）有：（1，26（3，2322个，∴实数不是整数的概率=

．17分春•楼区期中）如图，正方体ABCD﹣ABCD棱长为1．（1）求证：BD⊥平面ACB；（2）求直线BA与平面ACD所成角的正弦值．

11111111111111111111111111111111111111111111111111111【解答】证明连结、BD，∵正方体ABCD﹣ABCD棱长为1∴DD⊥，四边形ABCD是正方形，∴⊥BD，∵DD∩BD=D，∴⊥平面BDD，∴BD⊥，同理，得BD⊥AB，∵AC∩=A∴BD⊥平面ACB，解∵BB⊥平面ACD，∴∠BAB是直线BA与平面ACD所成角，∵AB=BB=1AB⊥BB，∴，∴sinBAB===

．∴直线BA与平面ACD所成角的正弦值为

．18分春鼓楼区期中）设计人员要用米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的边，设半圆的半径为OA=r（米窗子的透光面积为S平方米（1）r为何值时，S有最大值？

222222（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．【解答】解设半圆的半径为OA=r（米可得矩形的宽为2r半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣窗子的透光面积为S=πr+（102rπr）•2r=（﹣2）r+10r＜r＜

当r=﹣

=

（米有最大值；（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为π•1•300=150π（元窗子的矩形部分的造价为2•（102﹣）•100=800﹣（元可得总造价为150π800﹣100π=800+50π＞，则r=1时，900元的造价不够用．19分春鼓楼区期中）如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且

22122221121212211212122212221222211212122112121222121222222222（1）若等腰梯形的高等于3，上底，MN=6求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．【解答】解由题意可知：设椭圆方程：

+ny

=1设A（x，y（x，由题意可知：点M坐标为（30则

=（x﹣3，y

=（x﹣3，y由

，则

=2

，则x﹣﹣2x﹣3=﹣2y，由等腰梯形与椭圆的对称性，则y﹣y=3x=1，∴x=4y=﹣1y，∴A（4﹣1（1，，解得：，∴椭圆的标准方程：；（2）由2x+x=3b，，，消去y，4x﹣x=3a，∴2x﹣x=

，2x=3b﹣，由0＜x＜b则03b﹣a＜2b，∴a＜