极限经典例题集

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-例题1．在数列a}中，=1当≥2时，a，S

成等比数列。（1）求a，a，a；（2）猜想的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4考题）不使用猜想a的达式并数学归纳法证明的方法直接求a。1..解析：∵a，

成等比数列，∴（n）（1）把a=1，S=a+a=1+a代（）得：把a=1，同理可得：

代入（）得：。由此可以推出：（2当n=1，2，3时，由*）知猜想成立。（ii）假设n=k（k），故

成立。∴

或（去）由

得即n=k+1时，命题也成立。由（i可知，--

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--N成。

-（3）由（2）数列前n项和（4）对于{}通项还可以这样来求：

，所有项和∵，∴，故

是以

为首项，

为公差的等差数列故，注对于含有a的系式中常将a用S－S（n≥2）代（或S－S用a代成S，S（或a，a）递归关系式。例1.数列{a}满足下列条，求其通公式a。nn(1)a，1(2)a，1(3)a，{a}的前n项和S满足1nn(1)

解……将以上各式叠加，得

∴--

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-又n=1时，(2)……将以上各式叠乘，得a=n(n+1)(n2)n当n=1时，1(1+1)=2=a∈N)1n(3)2SS=S-S(n≥2)nn在上式两边除以SS，得n∴数列

∴∴为首项，公为2的等数列。例2、在等差数{a}中n(1)若a=q，a=p(p、q∈N*且qp)，求a；pq(2){a}共有n项，其四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求n数n；(3)若a}前n项和记为S，且有nn解(1)

，求S

的X围--

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-∵a=a+(q-p)dqp(2)∵a+a+a+a1234a+a+a+a=156n∴(a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a)=2801n234∴4(a+a)=280+a=701n1n

∴a=a+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0p∴n=6(3)设

前n项和将以上两式减得：两边同除以m-n，得例3、数列{a}中S是其nnn项和，=1，S=4a+2(n∈N)1n(1)设b=a-2a，求证数{b}为等数列并求通项公式nnn(2)设

，求证数列}是差数列并其通项解(1)∵S=4a+2n∴S=4a+2将以上两式减，得a=4a-4a∴a-2a=2(a-2a)nn--

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-又s=4a+2=a+a∴a=521122∴数列b}是以b=a-2a=5-2=3首项，q=2为比的等比列。n121∴b=32n(2)为首项，

∴数列{}是以为公差的等数列。例4、在等数列{a}中，公差d≠0，a是a与a的n214比中项，已数列

成等比数列求数列k}的通项kn

n

解∵a是a与a的等中项214∵

∵d0∴a=d1是等差数列的第k项，等比数列中第n+2项n且∴

=a+(k-1)d=d+(k-1)d=k1nnn∴2.数的限应用恒等换和极限四项运法则，将数列的极转化为三个基极限来求解。数归法数学归纳法两个基本骤：第一，验证n=n时，题成立；第二步，假设n=k时，命0题成立然后用归纳假证明n=k+1时成立数学归法证明命题时特别要求证明的逻辑严密性。数学纳法通常来证明有等式，不等式，整除，几何命题等例5.数列{a}满足n

，a=21(1)求数列a}的通项；n(2)令出n∈(110000)内bbbb为整数的有123n--

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--值的和。解(1)由a=2得：1由a=3得：2由a=4得：3猜测：=n+1(n∈N)n下用数学归法证明该测1°当n=1时，a=1+1=2，命题成12°假设n=k(k∈N)时，命题成立即有a=k+1，k则=(k+1)+1即n=k+1时命题也成。综合1，2知，a∈N)n(2)∵将a=n+1代n

入

得

-=log(n+2)2欲使bb…b为整，须使n+2为2的整幂123n∵n∴n+2是以22，2，2，2∴所求为22-2)+(2-2)+(2-2)++(213-2)=22+23+2+…+213-24=2-28=16356例6.无穷数列{a}的n项为，无穷列b}的前n项和，n∈N*，有b+=n，nnnn(1)证明：数列1-b}是等数列；n(2)求--

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-(3)比较

的大小关系解：(1)首先b+C=1而C=b，得1111由已知：b+=n，有+=n+1n+1将两式相减有-b+b=1n∴

数

列{1-b}n

是

以的等比数列(2)

由(1)

知：--

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-(3)n=1时，n≥2时，综

上，当n=1或2时，显然有当n≥时这时

例7.设

，不论β为何数，恒有f(cos)≤0，f(2-sinβ)0，正数数列{a}的前n项和S=f(a)，n∈Nnnn(1)求b值；(2)求a}的通项式；n(3)令

，{}的前n项和T，比较T与nn

的大小。解(1)当cos=1时，有f(1)0当sin=1时，有f(2-sinβ≥0∴f(1)=0(2)令n=1，解得a=3或a=-1(舍11--

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-将

以

上

两

式

相

减，∵{a为正数数列，a>0，+a>0nnn∴a-a=2(n≥2)n∴{a是以a=3为首，公差为2的等差数列n1∴a2=2n+1n(3)∴T=C+C+…+n12[课后习]1.数列{a}的通项公式a=n-kn，数列a}是递的，则实k的取值围()nnn(A)k<3(B)k(C)k<2(D)k22.数列{a}的通项公式n(A)4(B)5(C)6(D)7

，当a取最大时，n等于)n3.数列{a}满足a=0，，则a等于)n1(A)0(B)(C)(D)--

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-4.等比数列{a中，a>0，aa=16，loga+loga…+loga=_____nn5641424105.在等比数{a}中，a，a是方程7x-18x+7=0的两个根，则n596.数列{a}的前n项和满足a+2SS=0(n≥2)，nnnnn-1(1)求证：

是等差数列(2)求a；n(3)若b=2(1-n)a(n≥2)，证：nn7.已知数列{a的首项a=5，前n项和S，且S=2S+n+5(n∈N)n1nn(1)证明数列a+1}等比数列n(2)令f(x)=ax+ax2++ax，求函数f(x)在点x=1处的导数f(1)12n[参考案]1.选A∵a-a=(n+1)-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0(n∈N)n∴k<2n+1对任意n∈N成立而2n+1最值为3，∴k<32.选A个单位，再移

∴a图象可作是函数n个单位而得(a图象是一孤立点)画图n可知，最大43.选B∴可知{a}的各n项数值以3为周期重复出--

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-4.5.又a，a，a符号相同，=157976.(1)由a+2SS=0(n2)nn∴S+2SS=0≥nn为首项，公为的等数列。(2)(3)7.(1)∵S=2S+n+5n∴S=2S+(n-1)+5(n2)n∴S-S=2(S-S)+1(n2)nn--

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-即a=2a+1(n2)n∴a+1=2(a+1)(n2)n∴{a+1}从第2项起，公比为2的等比数n又a=5由S=2S令n=11n有S=2S+6∴a+a=2a+6∴a=11211212∴{a+1}是以a+1=6为项，公比为2的等比列n1(2)∵f(x)