分析力学基础

分析力学（第六章）零.总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用；分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。.系统描述相关的概念（1）力学系：n个相互作用着的质点构成的力学系统；（2）位形：力学系的位置状态；（3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）I|完整约束|,不完整约束［稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关）

可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除）（4）自由度s：描写力学系所须独立坐标的个数〜=3〃一L约束方程的个数自由度数目F点的个数（5）广义坐标：s个独立坐标参量可以把体系3n个坐标参量表示出来：X=X（q,q,...,q；t）,（i=1,2,—,3n）。s个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量q=七@=1,2,...,s）的全体.系统原理相关的概念'（1）实位移：在时间间隔（也尹0）内发生的真实位移成（2）虚位移：设想发生的位核〒（时间没变化，非真正的位移）在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167，图6.2）；

虚功：力在虚位移下所作的功理想约束：体系中约束力所作的功之和为零£J=0光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束;固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。拉格朗日函数(拉氏函数或拉格朗日量)体系的动能和势能之爰(q,q；t)=T(q,q；t)-k(q；t)适用于体系受保守力的情况。(6)广义动量：'—八aaq为线量时，p为动量分量；q为角量时，p为角动量分量;aaaa广义力：Q(q,q,…,q;t)八=£F笔的全体a12sdq1，dqq为线量时，Q为力的分量；q为角量时，Q为力矩分量;(8)哈密顿函数(或哈密顿量)H(q,p;t)=-L+£pqa=1(8)应把广义速度都看成〃的函数q,p(9)正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量;p,q(a=1,2,…,s)构成2S维抽象空间，任一瞬时力学系的aa广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点(称为相点)(10)泊松括号：［G,体系的某一力学量，元dGdHdGdH]=£()dqdpdpdq口密顿量

一.基本原理质点i处于平衡状态：&w=f-8r+F-bT=0(i=1,2,…,s)体系处于平衡状态：8W(10)泊松括号：［G,体系的某一力学量，元dGdHdGdH]=£()dqdpdpdq口密顿量(1)坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：6w=2：F.axii(2)广义坐标表示V8x8xV8x8x=2r8q+—i81=2—idqa81a=1a8V8x8xV8x8x=2r8q+—i81=2—idqa81a=1a8qaa=1at8q(i=1,2,...,3n)8W=2F2欲8q=2(2F欲)8q=2Q8qidqi=1a=1a广义a体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。2.达朗贝儿原理质点：mr=F+F(i=1,2,...,n)逆效力rrrF+F-mr=0(i=1,2,…，n)把动力学问题化为静力学问题;8W=2(F+F—mr)-8r=0t=t3.达朗贝儿-拉格朗日方程在理想约束条件下(1)坐标表示：8W=2(F-mX)8x=0i=1⑵广义坐标表示：2[&丑)-丑-q]8q=0dt8q8qaaa=1由于每个广义坐标的变化是相互独立的，其变分前面的系数TOC\o"1-5"\h\z必须为零：d(丑"=q(a=1,2,...,s)dtdqdqaaa其中尸=X1mr2=2：1mx2力学体系的动能211211注意：约束力不出现；"动能必须写成广义坐标、广义速度以及时间的函数。(4)保守力系统中的拉格朗日方程—(当一丛=0(a=1,2,...,s)dtdqdqaa其中L(q,q；t)=T(q,q；t)-V(q；t)为拉格朗日函数保守力系统中拉格朗日方程的一种特殊情形：某一广义坐标0在拉氏函数中不出现测其对应的拉格朗日qP方程可简化为史(丛)=0―=p=C=常量dtdqdq(3(3P3q称为循环坐标I；与它相应的第一积分称为广义动量积qP分或循环积分4.哈密顿原理(1)哈密顿函数h(q,p；t)=-L+£p代哈密顿函数a=1在稳定约束的情况下：h(p;q)=T+V动能+势能在不稳定约束下：h(p,q;t)=T2-T0+V(2)哈密顿正则方程动能中包含广义速度三次项，动能中包含广义速度零次项(2)哈密顿正则方程.8H.dHq=6,p=-合(a=1,2,…，s)上式共为2s个一阶常微分方程组，结合初始条件，可得到广义坐标和广义动量的表达式勺=q(t),『=p(t)。aaaa(3)哈密顿函数随时间的变化率：此=边dtdt对稳定约束，机械能守恒；对不稳定约束，机械能不守恒。若某一广义坐标q在哈密顿函数中不出现，贝Up一给=0，q口相应的广义动量积分p=C=常量注意：经典力学的确定论适用于哈密顿函数可积；若力学系不可积，则可能出现随机的混沌行为。(4)哈密顿原理I.数学预备知识泛函：以函数为变量的函数；"Se(对S—S[y(x)]泛函的变分：两个相近函数沁)和y(x)给出的泛函值之差8S—S-S—W玉-—(——堂——)}by(x)dx—0

xdydxd(dy/dx)由于8y(x)为任意微小函数，所以也-d(讲)—0dydtd(dy/dx)泛函变分的欧拉方程「若赢此方程，则相应泛函取极值II.哈密顿原理定义哈密顿作用量：S-『L(q,q；t)dtt1是关于q(t)的泛函；与位形空间中由％点通向％点的轨道密切相关。

哈密顿原理：对一个保守的完整力学系，其运动真实轨道的哈密顿作用量为极值。心=代L(q,q;t)dt=0(广义坐标空间)t18S=8f12("「H)dt=0(相空间)a=1注意：可以从作用量的变分为零来确定真实的轨道。几个惯用术语1.自由度、广义坐标与广义动量自由度：确定体系中粒子位置的独立参量f=3N-S广义坐标：描述体系空间状态的坐标参数qf广义速度：pk=aqjat广义动量：Pk=dT和qk2.哈密顿函数H(p,q)=T(p,q)+u(q)动能+势能能量恒定的体系：总能量二动能+势能h=e▼.•一WH=乙p▼.•一WH=乙p2,..2m=乙Hi=ii=1ki=1相倚子系，U(q)乏0，则：H=ILp2/2m+u(x,y,z；…；x,y,z)=ki=1测不准关