专题突破练26　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

专题突破练26圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2020山东潍坊一模,21)在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的右顶点,点P为椭圆C上的动点(点P与椭圆C的左、右顶点不重合),当(1)求椭圆C的方程;(2)如图,M为AP的中点,直线MO交直线x=-4于点D,过点O作OE∥AP交直线x=-4于点E,证明∠OEF1=∠ODF1.2.(2020百校联考高考百日冲刺金卷,19)已知△PF1F2中,F1(-1,0),F2(1,0),|PF1|=4,点Q在线段PF1上,且|PQ|=|QF2|.(1)求点Q的轨迹E的方程;(2)若点M,N在曲线E上,且M,N,F1三点共线,求△F2MN面积的最大值.3.(2020山东泰安一模,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点;当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4(1)求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点,满足MP+MO+MQ=0,若点M恰好在圆O:x2+y2=44.(2020山东聊城一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,右焦点为F,且椭圆C上的点到点F的距离的最小值与最大值的积为1,圆O:x2+y2=(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m与椭圆C交于P,Q两点,且直线l与圆O相切,求△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围.5.(2019湖北恩施高三2月教学质量检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线l:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD.6.(2020云南昆明高三“三诊一模”教学质量检测,21)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN|=4,D为旋杆上的一点且在M,N两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M在滑槽EF内作往复运动,滑标N在滑槽GH内随之运动时,将笔尖放置于D处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图2所示,设EF与GH交于点O,以EF所在的直线为x轴,以GH所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设A1,A2是椭圆C的左、右顶点,点P为直线x=6上的动点,直线A1P,A2P分别交椭圆于Q,R两点,求四边形A1QA2R面积的最大值.专题突破练26圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(1)解设椭圆C的半焦距为c,因为△PF1F2是等边三角形,所以此时P在上顶点或下顶点处,所以a=2c,所以bc=3又由a2=b2+c2,解得c2=1,a2=4,b2=3,故椭圆的方程为x24+(2)证明由题意知A(2,0),设AP的中点M(x0,y0),P(x1,y1),设直线AP的方程为y=k(x-2)(k≠0),将其代入椭圆方程整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,所以x1+2=16k所以x0=8k24k2+3,y0=k(x即M的坐标为8k从而kOM=-6k4所以直线OM的方程为y=-34k令x=-4,得D-4直线OE的方程为y=kx,令x=-4,得E(-4,-4k),由F1(-1,0),得kE所以kOM·kEF1=-1,即OM⊥EF1因为kDF1=3k-3=-1k,kOE=kAP=k,在直角三角形EHO和直角三角形DGO中,∠ODF1和∠OEF1都与∠EOD互余,所以∠ODF1=∠OEF1.2.解(1)因为|PQ|=|QF2|,故|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4>|F1F2|=2,故点Q的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为4的椭圆(不包含长轴的端点).故点Q的轨迹E的方程为x24+y23=(2)直线MN过点F1(-1,0),设直线MN的方程为x=ky-1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=ky-1,x24+y23=1,消去x得∴∴S△F2MN=12·|F1F令k2+1=t,则t≥令f(t)=3t+1t,则f'(t)=3-1当t∈[1,+∞)时,f'(t)>0,f(t)=3t+1t在[1,+∞)上单调递增.∴S△F2MN即当k=0时,△F2MN面积的最大值为3.3.解(1)由题意知4a=42,∴a=2,直线AF2的方程为y=bc(x-c)∵直线AF2与椭圆C的另一个交点的横坐标为43∴y=bc43-c,∴b2=1,∴椭圆C的方程为x22+y2=(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),∵MP+MO∴点M为△POQ的重心,∴Mx∵点M在圆O:x2+y2=49上∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,由y=kx+m,x22+y2=1,得(1+2k2∴x1+x1=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=-∴m2=(由Δ>0得1+2k2>m2,∴1+2k2>(1+2解得k≠0.∴m2=(1+2k2)24k2+1=∴m>1或m<-1.4.解(1)设椭圆C的焦距为2c,则由已知得2a=4,(a-c)(a+c)=1,解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=(2)由y=kx+m,x24+y2=1,得(1+4k2Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x所以|PQ|=1+因为直线l与O相切,所以点O到直线l的距离d=|m|1+k2=1,即1所以Δ=48k2,由Δ>0,得k2>0.又A,B两点到直线l的距离分别为d1=|k+m|1+所以△APQ的面积与△BPQ的面积乘积为S△APQ·S△BPQ=1=4=4=12因为k2>0,所以16k2+1k2+8≥16,116k2+1k2因此△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围为05.(1)解因为抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为直线l:x=-1,所以-p2=-1,解得p=2所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明易知点K的坐标为(-1,0),据此可设直线l的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立x=my-1,y2=4x,整理得因为点A关于x轴的对称点为D,A(x1,y1),所以D(x1,-y1).则直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),得y-y2=y2+y1即y-y2=4y2-y1令y=0,得0-y2=4y2-y1x-y224,得x=y所以直线BD恒过定点(1,0).所以点F(1,0)在直线BD上,所以不妨令DF=tDB(t∈(0,1)).因为KF=所以KF=KD+t所以KF=KD+t(所以KF=(1-t)KD+tKB所以存在实数t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD,命题得证.6.解(1)由|MN|=4,D为旋杆上的一点,且在M,N两点之间,且|ND|=3|MD|,可得|MD|=1,|ND|=3,所以椭圆的长半轴a为3,短半轴b为1,所以椭圆的方程为x29+y2=(2)由对称性设P(6,t),其中t>0,则直线A1P的方程为y=t9(x+3),直线A2Py=t3(x-3),设Q(x1,y1),R(x2,y2),由x29+y2=1,y=t9(x+3),