北京市高考压轴卷数学

/04/9/2020北京高考压轴卷数学选择题（本大题共10小题.每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足，则（）A． B． C． D．2．设集合，则（）A． B． C． D．3．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）A． B． C． D．4．函数图象的大致形状是（）A． B． C． D．5．已知坐标原点到直线的距离为，且直线与圆相切，则满足条件的直线有（）条A． B． C． D．6．函数的单调递增区间是（）A． B．C． D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．20 B．10 C．30 D．608．已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A． B． C． D．9．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件10．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是()A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>二．填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分）11．已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.12．函数的最小正周期等于_____.13．在△中，若，,,求△的面积14．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝100，则{an}的通项公式an＝_____；设数列{lgan}的前n项和为Tn，则Tn＝_____.15．已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①是奇函数；②在上是单调递增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其他得3分.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.17．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.20．已知椭圆（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设．（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算；（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：；（Ⅲ）若，，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．/09/9/2020北京高考压轴卷数学Word版含解析参考答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】212．【答案】13．【答案】或14．【答案】10n﹣115．【答案】①②④16．【答案】（1）②，理由见解析；（2）17．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．因为为中点，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以与所成角的余弦值为．18．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，.由得或.当时，在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要条件是，即，所以.而，所以.若，在上是减函数，，在上没有零点.若，，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.19．【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，,,.所以的分布列为123所以的数学期望为.（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.20．【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0【解析】（1）由，得，进而，；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②将②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，消去y1，可得?＝，解得m2＝，所以，故存在这样的直线l，且方程为7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．21．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）依题意可得，，．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．得数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知，，得．进而．再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．【详解】（Ⅰ）依题意可得，．．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n