高考微专题数列2

微专题14：数列中不等关系问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为54（2）数列满足，，且=2，则的最小值为___________.解：可得，故由=2，可化为，则可转化为单元函数求最值问题【解】由递推关系得，累乘得，则，得，所以，当且仅当时，等号成立．变式1：等比数列中，，公比，定义，则中最大项是_______．变式2：设首项不为零的等差数列的前项和为，若不等式对任意正整数都成立，则实数的最大值为______解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤eq\f(a\o\al(2,n),a\o\al(2,1))＋eq\f(S\o\al(2,n),n2a\o\al(2,1))，将an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)代入上式，并化简得：λ≤eq\f(5,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n－1d,a1)＋\f(6,5)))2＋eq\f(1,5)∴λ≤eq\f(1,5)，∴λmax＝eq\f(1,5).探究2：（1）等比数列的公比，第17项的平方等于第24项，使得不等式恒成立的正整数的取值范围是__________（2）若，且，则实数的取值范围是_________．变式1：设数列的前项和为．已知，.（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围．变式2：已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，（）．（1）若λ=0，求数列{an}的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．探究3：（1）等差数列与等比数列中，，则(大小关系)变式：已知公差不为零的正项等差数列{an}的前n项和为，正项等比数列{bn}的前n项的和为，若（用不等号连接）（2）设是数列的前n项和，对任意总有．①求数列的通项公式；②试比较与的大小；③当时，试比较与的大小．拓展1：已知等差数列的首项，公差，前n项和为，设m，n，p∈N*，且（1）求证：；（2）求证：；（3）若,求证：拓展2：首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（2）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；（3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.（1）证:因为对任意正整数，总成立,令，得,则令，得(1),从而(2),(2)－(1)得：,综上得,所以数列是等比数列（2）正整数成等差数列，则,所以,则①当时，②当时，③当时，（3）正整数成等比数列，则,则,所以，当,即时，②当,即时，③当,即时，【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题15：数列与简易数论问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列.（1）若，是否存在，使？（2）数列中，若，公比，且，仍是中的项，则.（3）满足试证明任给,总存在使成等比数列.探究2：已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1）若，是否存在，有说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由探究3：从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．（1）若，，成等比数列，求其公比．（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．拓展：若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．探究4：设数列，对任意都有，(其中、、是常数)（1）当，，时，求；（2）当，，时，若，，求数列的通项公式；（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问是否存在封闭数列，对任意，且都有,若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由解：（1）当，，时，，①用去代得，，②②-①得，，，在①中令得，，则0，∴，数列是以首项为1，公比为3的等比数列，∴=（2）当，，时，，③用去代得，，④④-③得，，⑤用去代得，，⑥⑥-⑤得，，即，∴数列是等差数列∵，，∴公差，∴（3）由（2）知数列是等差数列，∵，∴。又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使，得，故是偶数，又由已知，，故一方面，当时，，对任意，都有另一方面，当时，，，则，取，则，不合题意当时，，，则，当时，，，，又，∴或或或拓展1：设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.拓展2：若数列对任意的正整数满足：为常数），则该数列称为“等差比数列”.（1）若数列的前项和满足，求的通项公式，并判断是否为“等差比数列”？（2）若数列为等差数列，试判断是否为等差比数列？并说明理由？（3）试写出一个“等差比数列”的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列？（4）类比“等差比数列”的定义，请你给出“等比差数列”的定义，并仿照（3）给出该数列的一个通项公式？探究5：（1）设是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若，，则中数字0的个数为.7（2）已知是正整数，，，若成等差数列，成等比数列，则这四数依次为.（3）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则..（4）一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为.（5）设有等比数列其中是整数，试问数列中存在三项构成等差数列吗？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题16：数列中并项求和问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：的值为________.探究2：已知等差数列的首项为，公差为，若对恒成立，则实数的取值范围是__________.，所以，所以对恒成立，，拓展1：已知数列满足数列满足，数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）令，为数列的前项和，求；（并项求和法）（3）若使不等式成立的自然数恰好有4个，求正整数的值.解答：(1)由即，为首项是，公比为2的等比数列；(2)，由得，时上式成立．时，原式变为令则时，由解得，所以拓展2：已知直角的三边长，满足．（1）在之间插入2022个数，使这2022个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；（数列与基本不等式）（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，求；（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．解：（1）是等差数列，∴，即所以，c的最小值为；（2）设的公差为，则，设三角形的三边长为，面积，，当为偶数时，．；当为奇数时，．综上，．（3）证明：因为成等比数列，由于为直角三角形的三边长，知，，又,得.于是,则有.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．（等差数列，并项求和法、性质：直角三角形三边成等差数列，则三边长度之比为）思考：设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，过作直线的垂线，分别交于两点。若成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为___________.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题17：数列中整体思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：设，，，，则数列通项公式=_______.变式1：数列的首项，前n项的和为，满足求证：数列为等差数列变式2：各项都为正数的数列，其前项的和为，，若，且数列的前项的和为，则=.变式3：已知数列{an}满足：a1=a2=1，（），则=．99等式两边同除an变式4：数列定义如下：.若，则正整数的最小值为.4025（构造数列成等差数列）拓展1：已知各项均为正数的两个数列和满足：．设，求证：数列是等差数列.拓展2：已知且令且对任意正整数，当时，当时，（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；解：⑴当时，且，所以，又当时，且，，因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，．⑵因为，所以，所以，，假设存在，，使得能构成等比数列，则，，，故，化简得，与题中矛盾，故不存在，使得为等比数列．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题18：等差数列中两道习题的研究与拓展【课本溯源】（1）已知等差数列的前项和为，则前多少项的和最大？（2）设Sn是等比数列的前n项的和，若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2,a8,a5成等差数列.【探究拓展】探究1：（1）等差数列的前项和为，，若，则前多少项的和最大？（2）若把条件改为“”，有类似的结论吗？（3）一般地，若，，，则前多少项的和最大？（4）若是等差数列，且，，，求证：；（5）逆命题是否成立？即若是等差数列，且，，且，则成立吗？拓展：（1）设等差数列的前项和为，已知，，，求公差的取值范围；（ii）求中的最大值（2）已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，.（3）等差数列的前项和满足：，，则当时，最大.（4）已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是（5）在等差数列中，公差，,是方程的两个根.是数列的前项和，那么满足条件的最大自然数.（6）已知数列是等比数列，首项＝8，令，若数列{}的前7项的和最大，且，则数列的公比q的取值范围是（7）设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围为．探究2：设Sn是等比数列的前n项的和，若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2,a8,a5成等差数列.变式1：写出这个命题的逆命题，并判断其真假；变式2：针对原命题，给出一般性结论，并给出证明；拓展：设等比数列的前项和为，公比为（1）若成等差数列，求证：成等差数列；（2）若为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项，若不存在，请说明理由；（3）若为大于1的正整数，试问中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由；【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题19：数列方程问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sm＋Sn＝Sm＋n，且a1＝1.那么a10＝.（2）已知数列{an}的前n项和Sn满足：,且a1=2.那么a10＝.（3）已知数列中，，若对任意的正整数m和n(n>m)满足：，则.参考答案：1.1探究2：已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai+bj=ak+bl，则的值是．变式1已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai-bj=ak-bl，则的值是．变式2数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj=akbl，记cn=，则{cn}的通项公式为探究3：已知数列的前三项分别为，，，且数列前项和满足，其中为任意正整数．求数列的通项公式.解：令，，令，令，∴∴又符合，不符合，∴变式：设数列的各项都为正数，其前项和为，对于任意正整数，恒成立．（1）若，求及数列的通项公式；（2）若，求证：数列是等比数列．（注重对条件的功能性分析）解：（1）由条件，令，得．∴．则．∴．∵，∴．令，得．则．令，得．则．解得.得．令，得．令，得．∴（）．∵，则数列是公比为2的等比数列．∴．（2）在①中，令，得．则．∴．在①中，令，得．则，∴．则．q2．代入（*），得（，）．（*）由条件，得．∵，∴．则（，），∵，∴也适合上式，∴（）．∴数列是等比数列．拓展：已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)（1）求a3，a5；（2）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（3）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.探究4：设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，且满足，则的取值范围是______________.或（方程思想）变式：若其他条件不变，求的取值范围.或拓展1：如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由。oox(km)y(km)拓展2：（1）已知数列的各项均为正数，前项和为，若.①求数列的通项公式；②设，，求证：.（2）若为等差数列，前项和为，求证：对任意，不构成等比数列.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题20：数列中函数思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）若已知等差数列的通项公式为：，则的值为________.（2）等差数列的前项和为，若，则____,_____.（3）设等差数列的前项和为，若，则.解析：0；；关注证明方法（4）数列.若存在一个实数使得为等差数列，则．（5）等差数列中，已知，，则的取值范围是_______.（6）已知数列，其中，且数列为等比数列，则.拓展1：设为非零常数，若和均为等比数列，，则.2022拓展2：记数列的前n项和为Sn，若是公差为d的等差数列，则为等差数列时的值为.拓展3：在等差数列中，前n项和，前m项和，其中，则的取值范围是.探究2：设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.（1）若首项EQ\F(3,2)，公差，求满足的正整数k；（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.变式1：设数列的前项和为，满足（）．（1）若，，求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列是等差数列，求的值．变式2：设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，，其中为实数.（1）若，且，，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明：.变式3：设数列{an}满足an1=2ann24n1．（1）若a13，求证：存在（a，b，c为常数），使数列{anf(n)}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）若an是一个等差数列{bn}的前n项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题21：整数平方数问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知数列{an}中，a2＝a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn＝eq\f(n(an－a1),2)(nN*).（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a＝2，且，求m、n的值；（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足的最大项恰为第3p－2项?若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)证明:由已知，得a1=S1=eq\f(1(a1－a1),2)=0，Sn=eq\f(nan,2)，则有Sn+1=eq\f((n+1)an+1,2)，2(Sn+1－Sn)=(n+1)an+1－nan，即(n－1)an+1=nannN*，nan+2=(n+1)an+1，两式相减得，2an+1=an+2+annN*，即an+1－an+1=an+1－annN*，故数列{an}是等差数列，又a1=0，a2=a，an=(n－1)a.(2)法一：由，得n2n+11=(m1)2，显然且是方程的一组解当时，，此时比小的平方数中最大的一项则是，所以，即，得无解当时，，此时比大的平方数中最小的一项则是，所以，即，得，整数逐项检验，无整数解；法二：由，得n2n+11=(m1)2，即4(m1)2－(2n1)2=43，(2m+2n3)(2m－2n1)=43.∵43是质数,2m+2n3>2m－2n1,2eq\b\lc\{(\a\al(2m－2n－1=1,2m+2n－3=43)),解得m=12,n=11.（3）由an+bp，得a(n－1)+bp．若a<0，则neq\f(p－b,a)+1，不合题意，舍去；若a>0，则neq\f(p－b,a)+1．∵不等式an+bp成立的最大正整数解为3p－2，3p－2eq\f(p－b,a)+1<3p－1，即2a－b<(3a－1)p3a－b对任意正整数3a－1=0，解得a=eq\f(1,3)，此时，eq\f(2,3)－b<01－b，解得eq\f(2,3)<b1．故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=eq\f(1,3)，eq\f(2,3)<b1．探究2：已知数列的前三项分别为，，，且数列的前项和满足，其中，为任意正整数.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）求满足的所有正整数，.【解答】（1）略an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n＋2，n≥2.))Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*．(2)记Seq\o\al(2,n)－eq\f(3,2)an＋33＝k2(*)．n＝1时，无正整数k满足等式(*)．n≥2时，等式(*)即为(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.①当n＝10时，k＝131．②当n＞10时，则k＜n2＋3n＋1，又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.，从而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.又n，k∈N*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)．③当n＜10时，则k＞n2＋3n＋1，因为k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.从而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.即2n2＋9n－27≤0.因为n∈N*，所以n＝1或2.n＝1时，k2＝52，无正整数解；n＝2时，k2＝145，无正整数解．综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.【反思】利用整数平方数的特征，用夹逼策略缩小范围，从而得到整数解．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题22：条件型等差（等比）数列问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（1）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3矛盾.所以｛an｝不是等比数列.（2）解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.（3）由（2）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b对任意正整数n成立，即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)①当n为正奇数时，1<f(n)∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,于是，由①式得a<-(λ+18),<当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3探究2：已知数列的前项和为，且满足：，N*，（1）求数列的通项公式；（2）若存在N*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．解：（1）由已知可得，两式相减可得即又所以r=0时，数列为：a，0，…，0，…；当时，由已知（），于是由可得，成等比数列，，综上，数列的通项公式为（2）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（I）知，对于任意的，且成等差数列，当，时，若存在，使得成等差数列，则，由（I）知，的公比，于是对于任意的，且成等差数列，综上，对于任意的，且成等差数列探究3：设数列前项和为，，.（1）求；（2）设，判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）当时，数列前n项和为，求使的最小自然数n.解：（1），，.（2）时，，即时，，又，，要使数列是等比数列，则，故.所以时，数列是等比数列，时，数列不是等比数列.（3）由（2）可知时，数列是等比数列，∴，故，∴.∵，∴数列单调递增，又，.∴使的最小自然数.探究4：已知数列满足前项和为,.（1）若数列满足,试求数列前项和；（2）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由；（3）在（2）的条件下，若为等比数列，问是否存在,使得,若存在,求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）据题意得,所以成等差数列,故（Ⅱ）当时,数列成等比数列；当时,数列不为等比数列理由如下:因为,所以,故当时,数列是首项为1,公比为等比数列；当时,数列不成等比数列（Ⅲ）当时,,=()，，当n=1,2,左边<右边，当n=3,左边=右边，下证n=3是方程惟一的解.设，则，，且，在递增，且，仅存在惟一的使得成立.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题23：以分形为背景的数列问题的研究与拓展【课本溯源】下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形.图中从左向右的四个三角形，着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，写出数列{an}的一个通项公式，并作出它的图象.这一问题的背景是分形几何，分形几何的一个重要的特点是自相似性，可通俗地理解为适当地放大或缩小图形的几何尺寸，整个结构并不改变.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B•曼德尔布罗特(Benoit在20世纪70年代创立的一门新学科，与欧氏几何学在研究对象等诸多方面迥然不同.它的创立，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众多领域的难题提出了全新的思路.这门充满活力的新学科与数列结合起来，不仅对传统的数列题作了提升，又能发展我们的实践能力，拓展为我们的几何思维.课本溯源中的问题解答：由题意分析知：，则数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.作图略.本题通过观察即不难发现着色三角形的个数依次数列{an}成等比数列，而在一些综合性比较强的数列问题中，通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈，如何熟练掌握常用的求通项公式的方法如累积法、累加法等，是我们必须思考的问题.下面我们再探究几个以分形为背景的数列问题.【探究拓展】探究1：如图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线、、是分别以、、为圆心，、、为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈.然后又以为圆心，为半径画弧，…，这样画到第圈，则所得螺旋线的长度.（要求用含的代数式表示即可）

【解】由图可知，，……，

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【评注】由弧长公式可知，由第1圈、第2圈的弧长不完全归纳出第圈的画出，体现了由特殊到一般的思想.探究2：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是.【解】有些题它只是表达的形式不一样，其实只要透过现象抓住本质，不同的表达形式，所要揭示的问题的实质是一样的.这一题的实质是非常有名的斐波那契数列.从图上很容易看出从第一行开始，实心圆点的数量是这样排列的：0,1,1,2,3,5,…….对于每一个空心圆点，它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点，它到下一行可生出一空一实两个点.到第六行时，我们可看出，这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出5个实心圆点和五个空心圆点，另外三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行共有5+3=8个实心圆点.同理，下一行的实心圆点数为本行的所有实心圆点数加所有空心圆点数，为8+5=13.这里有一个非常明显的规律：也就是这一列数从第三个数起，任一个数都等于它前面两个数的和.因此结果很快可推知：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610.故第16行的实心圆点个数为610.探究3：如图，是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2).如此继续下去，得图(3)，…….则第个图形的边长为，周长为，面积为.【解】不妨设第个图形的边长为，周长为，面积为.则，，，…，；，，，……

；

，，，…，

.

.探究4：如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的面积为，则.

【解】，，，…，.∴

，∴.探究5：如图所示，是树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成135°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第层.设树形图的第层的最高点到水平线的距离为第层树形图的高度.(1)求第三层及第四层树形图的高度，；(2)求第层树形图的高度；(3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”.显然，当时是“矮小”的，是否存在，使得当时，该树形图是“高大”的？【解析】(1)设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则，，，，所以，第三层树形图的高度，第四层树形图的高度.(2)易知，所以第层树形图的高度为

所以，当为奇数时，第层树形图的高度为

；

当为偶数时，第层树形图的高度为.

(3)不存在.由(2)知，当为奇数时，；

当为偶数时，，

由定义，此树形图永远是“矮小”的.

所以不存在，使得当时，该树形图是“高大”的.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？1.曲线“生长”过程中有哪些数量特征可以研究？边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等变化规律.2.应用的知识与方法：(1)公式法（适用于等差、等比数列）；(2)研究相邻两项（三项）的递推关系；(3)观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）.微专题24：数列中一类唯一性问题的研究与拓展【探究拓展】探究：已知两个等比数列，满足．（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值．解：（1）设的公比为q，则由成等比数列得即所以的通项公式为（2）设的公比为q，则由得由，故方程（*）有两个不同的实根由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得变式：（1）已知两个等比数列，，，若数列唯一，求的值；（2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为0的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）设的公比为q，则由成等比数列得，即由，故方程有两个不同的实根再由唯一，知方程必有一根为0，将q=0代入方程得（2）假设存在两个等比数列，使成公差不为0的等差数列，设的公比为的公比为，则，由成等差数列得②①即②①①②得由得i）当时，由①，②得，这时与公差不为0矛盾ii）当时，由①，②得或，这时与公差不为0矛盾，综上所述，不存在两个等比数列，使成公差不为0的等差数列。拓展：已知数列成等比数列，且。（1）若，.①当时，求数列的通项公式；②若数列是唯一的，求的值；（2）若※，求的最小值.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题25：数列中点列问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知点顺次为直线上的点，点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形.（1）求证：是常数，并求数列的通项公式；（2）若等腰三角形中存在直角三角形，求的值解:本题给出的是直线上的点列，已知点列的通项公式，求点列的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形。解：（1）在等腰三角形中，，即，则，所以。当为奇数时，；当为偶数时，。故（2）当为偶数时，当为奇数时，，当时，；当时，。即当时，第一个三角形为等腰直角三角形；当时，第二个三角形为等腰直角三角形；当时，第三个三角形为等腰直角三角形。变式1：点顺次为轴上的点，其中，数列是公差为1的等差数列.对于任意，点均构成以为顶点的等边三角形，求：（1）数列的通项公式；（2）顶点所在的轨迹方程解：（1）；（2）顶点的轨迹方程是。变式2：点顺次为轴上的点，在原点.对于任意，点均构成以为顶点的等边三角形，且由等边三角形的边长构成的数列是首项为1、公差为1的等差数列。求：（1）数列的通项公式；（2）顶点所在的轨迹方程分析与解：（1）；（2）设，则，即为所求的轨迹方程。变式3：点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点均构成以为顶点的等腰直角三角形，且顶点在抛物线上。求：（1）抛物线方程；（2）数列的通项公式；（3）点的坐标解：（1）因为，所以，即所求的抛物线方程为；（2）由已知得，，设，则。①，②，②-①得，，，所以。（3）因为，所以。变式4：如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）.设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.解：（1）因为，所以.因为，所以顶点不在同一条直线上.（2）的横坐标，的纵坐标.因为点的坐标满足方程，所以均落在抛物线上.（3）因为，消去，可得.为使得所有顶点均落在抛物线上，则有解得.