2023-2023年高考数学二轮专题复习知能专练十六直线与圆

2023-2023年高考数学二轮专题复习知能专练十六直线与圆一、选择题1．直线l的倾斜角为eq\f(π,4)，直线l1经过点A(3,2)，B(－a,1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，那么a＋b＝()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：选B由题知，直线l的斜率为1，那么直线l1的斜率为－1，所以eq\f(2－1,3＋a)＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，应选B.2．假设直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，那么l1与l2A.eq\r(2) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)解析：选B由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2间的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq\f(8\r(2),3).3．(2023届高三·深圳五校联考)直线l：x＋my＋4＝0，假设曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，那么m的值为()A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选D因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，假设圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，那么直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m4．(2023·嘉兴模拟)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，假设以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，那么圆C面积的最小值为()A.eq\f(4,5)π B.eq\f(3π,4)C．(6－2eq\r(5))π D.eq\f(5π,4)解析：选A法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，2r＝eq\r(a2＋b2)，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)－4)),\r(5))＝r，即|2a＋b－8|＝2eq\r(5)r，2a＋b＝8±2eq\r(5)r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2eq\r(5)r≤2eq\r(5)r⇒r≥eq\f(2,\r(5))，即圆C的面积S＝πr2≥eq\f(4π,5).法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝eq\f(4,\r(5))，得r＝eq\f(2,\r(5))，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝eq\f(4π,5).5．直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，那么k的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，＋∞)C．[eq\r(2)，2eq\r(2)) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析：选C当|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝eq\r(2)；当k>eq\r(2)时，|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|>eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<2eq\r(2).综上，k的取值范围为[eq\r(2)，2eq\r(2))．6．(2023·成都模拟)圆心在曲线y＝eq\f(2,x)(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y－1)2＝25解析：选A由圆心在曲线y＝eq\f(2,x)(x>0)上，设圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,a)))(a>0)，又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d等于圆的半径r，而d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(2,a)＋1)),\r(22＋12))＝eq\f(2a＋\f(2,a)＋1,\r(5))≥eq\f(2\r(2a·\f(2,a))＋1,\r(5))＝eq\r(5)，当且仅当2a＝eq\f(2,a)，即a＝1时取等号，此时圆的面积最小，圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为eq\r(5)，那么所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.7．假设三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，那么实数m的取值最多有()A．2个 B．3个C．4个 D．6个解析：选C三条直线不能围成三角形，那么至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．假设l1∥l2，那么m＝4；假设l1∥l3，那么m＝－eq\f(1,4)；假设l2∥l3，那么m的值不存在；假设三条直线相交于同一点，那么m＝1或－eq\f(5,3).故实数m的取值最多有4个，应选C.8．假设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，那么半径r的取值范围是()A．(4,6) B．[4,6]C．(4,5) D．(4,5]解析：选A设直线4x－3y＋m＝0与直线4x－3y－2＝0之间的距离为1，那么有eq\f(|m＋2|,5)＝1，m＝3或m＝－7.圆心(3，－5)到直线4x－3y＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x－3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，应选A.9．(2023·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，假设|AB|＝2eq\r(3)，那么直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为2eq\r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq\r(3)可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，应选B.10．圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，那么圆的方程为()A．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)B．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(1,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq\f(4,3)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq\f(1,3)解析：选C设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圆C与y轴交于A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×120°＝60°，那么tan60°＝eq\f(|OA|,|OC|)＝eq\f(1,|OC|)＝eq\r(3)，所以a＝|OC|＝eq\f(\r(3),3)，即圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),3)，0))，r2＝|AC|2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3).所以圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq\f(4,3)，应选C.二、填空题11．设直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，那么直线l1恒过定点________；假设过原点作直线l2∥l1，那么当直线l2与l1的距离最大时，直线l2的方程为________．解析：由(m＋1)x－(m－3)y－8＝0，得m(x－y)＋x＋3y－8＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))所以l1恒过定点A(2,2)．当l2⊥AO(O为坐标原点)时，直线l1与l2的距离最大，此时kAO＝1，k2＝－1，所以直线l2的方程为y＝－x.答案：(2,2)y＝－x12．(2023·温州模拟)圆x2＋y2－2y－3＝0的圆心坐标是________，半径是________．解析：化圆的一般式方程为标准方程，得x2＋(y－1)2＝4，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)，半径为2.答案：(0,1)213．点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，那么圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________________；圆C与圆C′的公共弦的长度为________．解析：因为圆C的方程为x2＋y2－6x－2y＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝10，其圆心为(3,1)，半径为eq\r(10)，又因为点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，所以令a＝3，b＝1可得，其关于直线l的对称点(2,2)，所以圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的圆心为(2,2)，半径为eq\r(10)，即圆C′：(x－2)2＋(y－2)2＝10；圆C与圆C′的圆心的距离为d＝eq\r(2－32＋2－12)＝eq\r(2)，所以两圆公共弦的长度为2eq\r(\r(10)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\r(38).答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10eq\r(38)14．圆O：x2＋y2＝r2与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P，过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OA⊥OB，那么直线OP的斜率是________，r＝________.解析：两圆的方程相减得，4x－4＝0，那么点P的横坐标x＝1.易知P为AB的中点，因为OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，所以△OAP为等边三角形，所以∠APO＝60°，因为AB∥x轴，所以∠POC＝60°，所以直线OP的斜率为eq\r(3).设P(1，y1)，那么y1＝eq\r(3)，所以P(1，eq\r(3))，代入圆O，解得r＝2.答案：eq\r(3)215．直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，那么实数a＝________.解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，于是有eq\f(|1·a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\r(3)，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)16．(2023届高三·浙江省名校联考)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，假设A恰好为线段BP的中点，那么直线l的方程为________．解析：如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2,4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：2x－y－1＝0或2x＋y－11＝017．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．易求得P(2,4)．答案：(2,4)[选做题]1．(2023届高三·湖北七市(州)联考)圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(12＋\r(3)2))＝2.当2－r>1，即0<r<1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当2－r＝1，即r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当0<2－r<1，即1<r<2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r＝0，即r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0<r－2<1，即2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r－2＝1，即r＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；当r－2>1，即r>3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1；由圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1可得0<r<3.故p是q的充要条件，应选C.2．(2023·石家庄模拟)假设a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，那么t＝aeq\r(1＋2b2)取得最大值时a的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(3,4)解析：选D因为圆心到直线的距离d＝eq\f(2,\r(4a2＋b2))，那么直线被圆截得的弦长L＝2eq\r(r2－d2