北师大版选择性必修第一册6-1-3全概率公式作业

课时作业(三十三)全概率公式1．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是()A.eq\f(b,a＋b＋c) B．eq\f(b,a＋c)C.eq\f(b,a＋b) D．eq\f(b＋c,a＋b＋c)答案：C解析：设事件A＝{第一次抽出的是黑球}，事件B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋eq\x\to(A)B，由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．由题意知P(A)＝eq\f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq\f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(a,a＋b)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(b,a＋b＋c)，所以P(B)＝eq\f(b?b＋c?,?a＋b??a＋b＋c?)＋eq\f(ab,?a＋b??a＋b＋c?)＝eq\f(b,a＋b).2．(2022福建龙岩武平县一中月考)(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件答案：BD解析：因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，D正确；因为P(A1)＝eq\f(5,10)，P(A2)＝eq\f(2,10)，P(A3)＝eq\f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq\f(P?BA1?,P?A1?)＝eq\f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq\f(5,11)，B正确；同理得P(B|A2)＝eq\f(P?BA2?,P?A2?)＝eq\f(\f(2,10)×\f(4,11),\f(2,10))＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(P?BA3?,P?A3?)＝eq\f(\f(3,10)×\f(4,11),\f(3,10))＝eq\f(4,11).所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，AC错误．故选BD.3．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1至X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝________.答案：eq\f(13,48)解析：由题意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,4)，易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝2|X＝3)＝eq\f(1,3)，P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4).由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)))＝eq\f(13,48).4．(2022江苏南通检测)近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店(外卖店的编号分别为1,2，…，r，其中r≥3)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店中的任何一个店取单，叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单．设事件Ak＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0，则P(A3)＝________，P(Ak＋1)与P(Ak)的关系式为________(k∈N＋)．答案：eq\f(1,r－1)P(Ak＋1)＝[1－P(Ak)]eq\f(1,r－1)解析：因为A2＝{第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以P(A2)＝0.又因为A3＝{第3次取单恰好是从1号店取单}，所以P(A3)＝P(eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)2)P(A3|eq\x\to(A)2)＝[1－P(A2)]eq\f(1,r－1)＝eq\f(1,r－1).由题意，可知P(Ak＋1)＝P(eq\x\to(A)kAk＋1)＝P(eq\x\to(A)k)P(Ak＋1|eq\x\to(A)k)＝[1－P(Ak)]P(Ak＋1|eq\x\to(A)k)＝[1－P(Ak)]eq\f(1,r－1).5．某厂的产品中96%是合格品．现有一验收方法，把合格品判为“合格品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.当验收方法判一产品为“合格品”时，求此产品为合格品的概率．解：设“一产品经验收判为合格品”为事件A，“一产品为合格品”为事件B，由题知P(B)＝0.96，P(A|B)＝0.98，P(eq\x\to(B))＝0.04，P(A|eq\x\to(B))＝0.05.由贝叶斯公式得P(B|A)＝eq\f(P?B?P?A|B?,P?B?P?A|B?＋P?\x\to(B)?P?A|\x\to(B)?)＝eq\f(0.96×0.98,0.96×0.98＋0.04×0.05)≈0.9979.故此产品为合格品的概率约为0.9979.6．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？解：(1)设“从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B.P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)，P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴由(1)及题意知，P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).7．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率．解：(1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，则事件A＝A1＋eq\x\to(A)1A2表示不超过2次就按对密码．因为事件A1与eq\x\to(A)1A2互斥，所以由概率加法公式，得P(A)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,5).(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，则A|B＝A1|B＋(eq\x\to(A)1A2)|B.所以P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\x\to(A)1A2)|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(2,5).8．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1,2,3)台车床加工的概率．解：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1,2,3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.(1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525