理科数学-全真模拟卷03（新课标Ⅱ卷）（解析版）

全真模拟卷03（新课标Ⅱ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，则.2．命题“”的否定为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】全称命题的否定一要改量词，二要否定结论，所以命题“”的否定为“，”.3．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程x（次数/分数）2030405060y（）2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，因为样本中心点在回归直线上，所以将代入得：，解得：，所以，当时，，4．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【详解】.5．计算：=（）A． B． C． D．【答案】B【详解】6．设满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【详解】解：由满足约束条件作出可行域如图：化目标函数为，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时有最大值．7．造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】从8个发明中任取两个发明共有种，两个都是新四大发明的有种，∴所求概率为，故选：C8．函数的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，可得函数为偶函数，可排除ACD.9．在前n项和为的等差数列中，若，则（）A．24 B．12 C．16 D．36【答案】B【详解】因为，且，则，有，则.10．若，是函数两个相邻的极值点，则（）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得，是函数周期的一半，则，得．11．若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设，，，，则，，则，在椭圆上，，，两式相减得，即，所以，所以，即12．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以；又因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需要，因为在单调递增，所以，所以.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数(是虚数单位)的虚部是___________.【答案】【详解】解：因为，所以复数(是虚数单位)的虚部是.14．已知正实数a，b满足，则的最小值为______.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为最小值为：，15．如图，已知，为圆上两点，又，为轴上两个定点，则由线段，，劣弧所围成的阴影部分的面积____.【答案】【详解】解:依题意可知圆,,,,;圆心,半径,作垂直于轴交于点,连接又,则,,,,,所以;,又因为,,所在直线的斜率为:,所在直线的倾斜角为:,故劣弧所对的圆心角为故,所以阴影面积为.16．已知的内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为______．【答案】【详解】∵，∴，即，由正弦定理得，∴，由余弦定理知，，∴，则，∵，∴，则，当且仅当时，等号成立即的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知为等差数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【详解】（1）因为，所以，解得，所以.（2）由（1）得，则，，两式相减得：，，，所以.18．某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）3456691010年返修台数（单位：台）3238545852718075年利润（单位：百万元）注：年返修率（表示年返修台数，表示年生产台数）（1）从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望；（3）记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为，，.若，其中表示，，这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）（注：，其中为数据，，，的平均数）【详解】解：（1）由图表知，2013～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.所以从2013～2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为.（2）由图表知，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以的所有可能取值为1，2，3.，，.所以的分布列为123故的数学期望.（3）的最大值为13，最小值为7.19．如图，在正三棱柱中，底面正的边长为2，侧棱分别为的中点，设平面与交于点.（1）求平面与底面所成二面角的余弦值；（2）求线段的长.【详解】解：（1）在正三棱柱中，延长和交于点，连接，则过作垂直于足点.连接，则为二面角的平面角，由题意得，，在中由余弦定理得，由等面积法得而，，，所以（2）平面与上底面，下底面分别有交线，则，取中点，在中，过作交于，则在中有，即，所以，从而因此有：20．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明：．【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，，因为，故，故，即，故.（2）设，其中.因为，故，，故渐近线方程为：，所以，，当时，又，，所以，因为故，故.当，由（1）可得，故.综上，.21．（1）求函数的单调区间；（2）证明：在且时，不等式恒成立.【详解】解：(1)的定义域为，求导得：，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以即，则因此在为增函数，在为增函数.(2)在时，有，则，①在时，有，因此成立.②在时，设，则令在时，，，，，因此成立由上述①②讨论可知在且成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若射线与曲线的交点为(异于点)，与直线的交点为求线段的长.【详解】由可得，所以曲线的普通方程为，由所以，所以直线的直角坐标方程为.曲线的方程可化为，所以曲线的极坐标方程为，由题意设将代入将代入，可得，所以.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）