专题11.3 二项式定理（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（解析版）

第=page1414页，总=sectionpages1717页专题11.3二项式定理【考纲要求】1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.【知识清单】知识点1.二项式定理1.二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.知识点2.二项式系数的性质1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，2.注意:（1）．分清是第项，而不是第项.(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系.(4)在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．知识点3.二项式定理的应用二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.【考点梳理】考点一：二项式定理【典例1】（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（）．A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【典例3】（2020·天津高考真题）在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【典例4】（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.【规律方法】1.二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法逐层展开法的求解步骤：【变式探究】1.（2018·全国高考真题（理））的展开式中的系数为（）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由题可得令,则所以故选C.2.（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（）A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.3.（2019·天津高考真题（理））是展开式中的常数项为________.【答案】【解析】，由，得，所以的常数项为.4.（2017·山东高考真题（理））已知的展开式中含有项的系数是54，则n=_____________.【答案】【解析】（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．∵含有x2的系数是54，∴r＝2．∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案为：4．【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．=5\*GB3⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．考点二：二项式系数的性质及各项系数和【典例5】（2020·浙江高三月考）二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有____种．（用数字作答）【答案】32.144.【解析】因为二项式的展开式的通项为，因为，所以，故所有有理项的系数为；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有种.【典例6】（2019·全国高三月考）的展开式的各个二项式系数的和为________，含的项的系数是________.【答案】32【解析】根据题意，的展开式的各个二项式系数的和为，当时，，所以含的项的系数是.【典例7】（2020·浙江省高考真题）设，则a5=________；a1+a2+a3=________．【答案】80；122.【解析】的通项为，令，则，故；.故答案为：80；122【总结提升】1.赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．3．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．【变式探究】1.（2019·内蒙古高二期中（理））已知，，则自然数等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由题意，令，则，因为，所以，解得.故选：C.2.(2019·石家庄模拟)在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为.【答案】1120x4【解析】由二项式系数的性质知，2n－1＝128，解得n＝8，(1－2x)8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T4＋1＝Ceq\o\al(4,8)14(－2x)4＝1120x4.3.（2020·湖南师大附中高三月考）若，则______.【答案】由题意，由，，∴，令，则，所以.故答案为：.【特别提醒】1.对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.3.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.考点三：二项式定理的应用【典例8】（2012·湖北高考真题（理））设，且，若能被13整除，则（）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本题考察二项展开式的系数.由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））的计算结果精确到个位的近似值为（）A.106 B.107 C.108 D.109【答案】B【解析】∵，∴.故选：B【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“，，”猜想【答案】ABC【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC.【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）的展开式中，项的系数为14，则_____，展开式各项系数之和为______．【答案】【解析】由题，的展开式通项为令，此时所以原式为，令，得各项系数之和为故答案为、1【总结提升】二项式定理应用的常见题型及求解策略1．逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．2．利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．3.近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.【特别提醒】用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【变式探究】1．（多选题）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设，下列结论正确的是（）A． B．C．中最大的是 D．当时，除以2000的余数是1【答案】ABD【解析】将原二项展开式转化为，再逐一判断.详解：由，得，所以，故A正确；，故B正确；中最大的是，故C错误；当时，，能被2000整除，所以除以2000的余数是1，故D正确；故选：ABD2.（2019·浙江高考模拟）已知，则_____，_____．【答案】【解析】因为，令得，令得，所以，由展开式的通项为，则，故答案为：，.3.若n是正整数，则7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余数是.【答案】0或7【解析】根据二项式定理可知，7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)＝(7＋1)n－1＝8n－1，又因为8n－1＝(9－1)n－1＝9n＋Ceq\o\al(1,n)9n－1·(－1)＋Ceq\