河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学第3章函数的应用(12用二分法求方程的近似解)示范1

河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章函数的应用-2.示范教课设计（1.2用二分法求方程的近似解）教课剖析求方程的解是常有的数学识题，这以前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精准解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思想方式，在现实生活中也有着宽泛的应用.用二分法求方程近似解的特色是：运算量大，且重复相同的步骤，所以适适用计算器或计算机进行运算.在教课过程中要让学生领会到人类在方程求解中的不停进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.认识用二分法求方程的近似解特色，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步认识算法思想.回想解方程的历史，认识人类解方程的进步历程，激发学习的热忱和学习的兴趣.要点难点用二分法求方程的近似解.课时安排课时教课过程导入新课思路1.(情形导入)师：(手拿一款手机)假如让你来猜这件商品的价钱，你如何猜？生1：先初步估量一个价钱，假如高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估量一个价钱，假如高了每隔100元降低报价.假如低了，每50元上涨；假如再高了，每隔20元降低报价；假如低了，每隔10元上涨报价生3：先初步估量一个价钱，假如高了，再报一个价钱；假如低了，就报两个价钱和的一半；假如高了，再把报的廉价与一半价相加再求其半，报出价钱；假如低了，就把刚才报出的价钱与前面的价钱联合起来取其和的半价师：在现实生活中我们也经常利用这类方法.比如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大概3500米)电工是怎样检测的呢？是依据生1那样每隔10米或许依据生2那样每隔100米来检测,仍是依据生3那样来检测呢？生：(齐答)依据生3那样来检测.师：生3的回答，我们能够用一个动向过程来展现一下(展现多媒体课件，区间迫近法).思路2.(案例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比其余球重，你用天平称几次能够找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由讲话，找出最好的方法)解：第一次，两头各放六个球，低的那一端必定有重球.第二次，两头各放三个球，低的那一端必定有重球.第三次，两头各放一个球，假如均衡，剩下的就是重球，不然，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推动新课新知研究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0.④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，如何判断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思虑用二分法求函数零点近似值的特色.议论结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=-2,x=2,x=1,x=2.⑤假如能够将零点所在的范围尽量减小，那么在必定精准度的要求下，我们能够获得零点的近似值.为了方便，我们经过“取中点”的方法逐渐减小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=ab称为区间(a,b)的中点〕2⑥比方取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦关于在区间［a,b］上连续不停且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，经过不停地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获得零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.791812.07914.1979.945924由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x∈(2.5,3).0同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001图3-1-2-1因为(2,3)

(2.5,3)

(2.5,2.75),

所以零点所在的范围的确越来越小了

.

假如重复上述步骤，那么零点所在的范围会愈来愈小

(见上表).这样，在必定的精准度下，我们能够在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的随意一点作为函数零点的近似值.特别地，能够将区间端点作为函数零点的近似值.比如，当精准度为0.01时，因为

|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01

，所以，我们能够将

x=2.53-1-2-5

作为函数

f(x)=lnx+2x-6

零点的近似值

.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤以下：1°确立区间［a,b］，考证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0c.若f(c)·f(b)<0

，则令b=c〔此时零点，则令a=c〔此时零点

x0∈(a,c)x0∈(c,b)

〕；〕.4°判断能否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则获得零点值a(或b)；不然重复步骤2°~4°．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.因为计算量较大，并且是重复相同的步骤，所以，我们能够经过设计必定的计算程序，借助计算器或计算机达成计算.应用示例思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精准度为0.1).活动：①师生共同商讨沟通，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够减小根所在区间，并依据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；②引起学生思虑，如何进一步有效减小根所在的区间；③共同商讨各样方法，指引学生探访出经过不停对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不停被减小的过程，加深学生对上述方法的理解；⑤引起学生思虑在有效减小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精准度.学生简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273图3-1-2-2察看图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).1.4375.再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理,可得，x∈(1.375,1.5)，x∈(1.375,1.4375).00因为|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取为例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精准度0.1)．活动：教师帮助学生剖析:画出函数

f(x)=x

2-2x-1

的图象，如图

3-1-2-3

所示.

从图象上能够发现，方程

x2-2x-1=0

的一个根

x1在区间

(2，3)内，另一个根

x2在区间(-1，0)内.依据图象，我们发现区间(2，3)上穿过

x

f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表示此函数图象在轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3计算得f(23)=1>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可4以进一步减小

x1所在的区间

.解：设

f(x)=x

2-2x-1

，先画出函数图象的简图，如图

3-1-2-3.因为

f(2)=-1<0

，f(3)=2>0

，所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.取2与

3的均匀数

2.5，因为

f(2.5)=0.25>0

，所以

2<x1<2.5.再取2与2.5的均匀数2.25，因为f(2.25)=-0.4375<0，所以2.25<x1<2.5.这样持续下去，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3),f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),f(2.375)<0，f(2.4375)>0x∈(2.375,2.4375).1因为2.375与2.4375精准到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.评论：利用相同的方法，还能够求出方程的另一个近似解.思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x活动：学生先思虑或议论后再回答，生.

的近似解(精准度0.1).教师点拨、提示并实时评论学分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.所以，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象能够发现，方程lgx=3-x有独一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.图3-1-2-4解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，f(2.5)<0，f(2.75)>0x∈(2.5,2.75)，1f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，f(2.5625)<0，f(2.625)>0x∈(2.5625,2.625).1因为2.5625与2.625精准到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精准度0.1).解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306852819,所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.依据二分法，用计算器得出以下表格：xy112-0.3068528193-1.9013877114-3.6137056395-5.3905620886-7.2082405317-9.0540898518-10.92055846(步长为1)xy111.550.4054651082-0.3068528192.5-1.0837092683-1.9013877113.5-2.74723703243.6137056394.5-4.495922603(步长为0.5)xy111.250.7231435511.50.4054651081.750.0596157872-0.3068528192.25-0.6890697832.5-1.0837092682.75-1.488399088(步长为0.25)xy111.1250.8677830351.250.7231435511.3750.5684537311.50.4054651081.6250.2355078151.750.0596157871.875-0.12139134(步长为0.125)xy1.50.4054651081.56250.3-2-1-2871021.6250.2355078151.68750.1482481431.750.0596157871.8125-0.0302928921.875-0.121391341.9375-0.213601517(步长为0.0625)由上述表格能够获得下表与图象3-1-2-5:区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.405465108(1.5,2)1.750.059615787(1.75,2)1.875-0.12139134(1.75,1.875)1.8125-0.030292892图3-1-2-5因为f(1.75)=0.059615787>0,f(1.8125)=-0.030292892<0,所以x1∈(1.75,1.8125).因为|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,所以区间(1.75,1.8125)内的每一个实数都能够作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.评论：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确立解所在的区间,再用二分法求方程近似解.②二分法,即渐渐迫近的方法.③计算量较大，并且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机达成计算比较简单.知能训练依据下表中的数据，能够判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)用二分法判断方程2x=x2的根的个数为()A.1

B.2

C.3

D.4答案

:1.C.

设

f(x)=e

x-x-2,f(1)<0,f(2)>0,

即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).x-1012345f(x)-0.5112-107图3-1-2-6由图与表,知有三个根.拓展提高从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，此刻某接点发生故障，需实时维修，为了赶快判定故障发生点，一般起码需要检查接点的个数为多少？(此例既表现了二分法的应用价值，也有益于发展学生的应意图识)答案:起码需要检查接点的个数为4.讲堂小结活动：学生先思虑或议论，再回答.教师提示、点拨，实时评论.指引方法：从基本知识基本技术和思想方法双方面来总结.①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其余应用.②思想方法：函数方程思想、数形联合思想.作业课本P92习题3.1A组1、3.设计感想“猜价钱”的游戏深受人们的喜爱,它是二分法的详细应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着宽泛的应用.本节设计牢牢环绕这两其中心睁开，充分借助现代教课手段，用多种角度办理问题，使学生充分领会数学思想方法的科学性与完满性.习题详解(课本第

88页练习

)1.(1)

令

f(x)=-x

2+3x+5,

作出函数

f(x)

的图象

(图

3-1-2-7(1))

，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)

作出

函数

图象

(

图

3-1-2-8(1)),

因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,

所以

f(x)=-x

3-3x+5

在区间

(1,1.5)

上有一个零点

.又因为

f(x)

是(-

∞,+∞)上的减函数，所以

f(x)=-x

3-3x+5

在区间(1,1.5)

上有且只有一个零点

.(2)作出函数图象

(

图

3-1-2-8(2)),

因为

f(3)<0,f(4)>0,

所以f(x)=2x

·ln(x

-2)-3

在区间

(3,4)

上有一个零点

.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象

(

图

3-1-2-8(3)),

因为

f(0)<0,f(1)>0,

所以f(x)=e

x-1+4x-4

在区间

(0,1)

上有一个零点

.又因为

f(x)=e

x-1+4x-4

在(-

∞,+∞)上是增函数

,所以

f(x)

在(0,1)上有且仅有一个零点

.(4)作出

函数图

象

(

图

3-1-2-8(4)),

因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,

所

以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8(课本第91页练习)1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是

f(0)

·f(1)<0,所以函数

f(x)

在区间

(0

，1)

内有一个零点

x0.下边用二分法求函数

f(x)=x

3+1.1x

2

在区间

(0，1)

内的零点.取区间

(0，1)

的中点

x1=0.5,

用计算器可算得

f(0.5)=-0.55.因为

f(0.5)

·f(1)<0,

所以

x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.6875)，x0∈(0.65625,0.6875).因为|0.6875-0.65625|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取为

0.65625.2.原方程可化为

x+lgx-3=0,

令

f(x)=x+lgx-3,

用计算器可算得f(2)

≈

-0.70,f(3)

≈0.48.于是

f(2)

·f(3)<0,所以这个方程在区间

(2,3)

内有一个解

x0.下边用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x∈(2.5,2.625),x0∈(2.5625,2.625),x∈(2.562005,2.59375),x0∈(2.578125,2.59375),x0∈(2.5859375,2.59375).因为|2.5859375-2.59375|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取为2.59375.(课本第92页习题3.1)组1.A,C评论：需认识二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又依据“假如函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不停的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下边用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为

f(-1)·f(-0.5)<0,

所以

x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.9375,-0.875).因为|(-0.875)-(-0.9375)|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.9375.

≈1.58.4.原方程即

0.8x-1-lnx=0,

令

f(x)=0.8

x-1-lnx,f(0)

没存心义，用计算器算得

f(0.5)

≈0.59,f(1)=

-0.2.于是

f(0.5)

·f(1)<0,所以这个方程在区间

(0.5,1)

内有一个解

.下边用二分法求方程

0.8x-1=lnx

在区间

(0，1)内的近似解

.取区间

(0.5

，1)的中点

x1=0.75,用计算器可算得

f(0.75)

≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).同理,可得x0∈(0.8125,0.875)，x0∈(0.8125,0.84375).因为|0.8125-0.84375|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取为0.84375.5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.下边用二分法求函数f(x)=lnx2在区间(2，3)内的近似解.x取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.3125,2.375),x0∈(2.34375,2.375),x0∈(2.34375,2.359375),x0∈(2.34375,2.3515625),x0∈(2.34375,2.34765625).因为|2.34375-2.34765625|=0.00390625<0.01,所以原方程的近似解可取为2.34765625.组将系数代入求根公式x=bb24ac,得2ax=3(3)242(1)2=317,224所以方程的两个解分别为x1=317,x2=317.44下边用二分法求方程的近似解.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.02375,f(1.8)=0.08.于是