艺术生高考数学专题讲义：考点26 平面向量基本定理及坐标运算

考点二十六平面向量基本定理及坐标运算知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量a能用一组基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解。当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。2．平面向量的坐标运算(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝eq\r(x2＋y2).3．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.4．向量相等设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，则x1＝x2，y1＝y2，即坐标对应相等.典例剖析题型一利用基向量表示其他向量例1如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因为M，N分别为CD，BC的中点，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.因而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a,d＝a＋\f(1,2)b))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d，))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．变式训练如图所示，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，A，B，C在一条直线上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))，则c＝__________.答案c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，即c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b.解题要点用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二平面向量的坐标表示例2(1)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝__________.(2)若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．答案(1)(－2，－6)(2)(－2，－4)解析(1)2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，－4)．变式训练已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))解析设D(x，y)，则由eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，得(4，3)＝2(x，y－2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝4，,2(y－2)＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))解题要点求解向量相等问题，常常借助方程(方程组)的思想.题型三向量共线例3(1)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．(2)已知点A(－1,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若eq\o(AB,\s\up8(→))∥a，则实数y的值为__________.答案(1)－6(2)7解析(1)a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.(2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，y－1)，a＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up8(→))∥a，则2×3＝1×(y－1)，解得y＝7.变式训练已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．答案eq\f(1,2)解析因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).解题要点(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．当堂练习1．(2015江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．答案－3解析∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝2－5＝－3.2．在OA为边，OB为对角线的矩形中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.答案4解析∵eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－2，k)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)．又eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))为矩形相邻两边所对应的向量，∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，即eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0，即k＝4.3.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为__________.答案(4，－6)解析由题意知，4a＋3b－2a＋c＝0，∴c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6).4．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))等于__________.答案(－2,3)解析依题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－4,6)，eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－4,6)＝(－2,3).5．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为__________.答案(0，－2)解析设D(x，y)，由题意知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－6＝－6，,y－8＝－10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2.))课后作业填空题1．(2015新课标Ⅰ文)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))等于__________.答案(－7，－4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝__________.答案eq\f(1,2)解析可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝eq\f(1,2).3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为__________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋－42)＝5，∴与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).4．在▱ABCD中，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，对角线交点为O，则eq\o(CO,\s\up7(→))等于__________.答案(－eq\f(1,2)，－5)解析eq\o(CO,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)(1,10)＝(－eq\f(1,2)，－5)．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，则λ＝__________.答案2解析由平行四边形法则知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴λ＝2.6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝__________.答案(－4，－8)解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．7．已知点A(6,2)，B(1,14)，则与eq\o(AB,\s\up7(→))共线的单位向量为__________.答案(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13))或(eq\f(5,13)，－eq\f(12,13))解析因为点A(6,2)，B(1,14)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－5,12)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝13.与eq\o(AB,\s\up8(→))共线的单位向量为±eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＝±eq\f(1,13)(－5,12)＝±(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13))．8．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan(α－eq\f(π,4))等于__________.答案－3解析∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，∴eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,－2)，∴tanα＝－eq\f(1,2).∴tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(－\f(1,2)－1,1－\f(1,2))＝－3.9．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(x,2)))，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝__________.答案4解析a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(x,2)－2))，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由题意得(8－2x)·(x＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－2))·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.10．设a＝(1,2)，b＝(－2，y)．若a∥b，则|2a－b|＝______.答案4eq\r(5)解析∵a∥b，∴y＋4＝0，∴y＝－4，∴2a－b＝(2,4)－(－2，－4)＝(4,8)，∴|2a－b|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).11．已知向量a＝(2,3)，b＝(1,2)，且a，b满足(a＋λb)∥(a－b)，则实数λ＝________.答案－1解析∵a＋λb＝(2＋λ，3＋2λ)，a－b＝(1,1)，又(a＋λb)∥