2022-2023学年山东省莱芜市八年级数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年八下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是（）A．35° B．30° C．25° D．20°2．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形；B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形；C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；D．两条对角线相等的梯形是等腰梯形3．9的值等于()A．3 B．-3 C．±3 D．34．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若AE=1，则BE的长为（）A．2 B． C． D．15．抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．6．随机抽取10名八年级同学调查每天使用零花钱的情况，结果如下表，则这10名同学每天使用零花钱的中位数是（）每天使用零花钱的情况

单位（元）2345人数1522A．2元 B．3元 C．4元 D．5元7．下列说法中，错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．有三条边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形8．下列各组数中，以它们为边的三角形是直角三角形的是（）A．1，2，3 B．9，16，25 C．12，15，20 D．1，2，9．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，DA，CD，BC的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为()A．3 B．4 C．6 D．810．下列函数中，y总随x的增大而减小的是()A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x211．在下列数据6，5，7，5，8，6，6中，众数是（）A．5 B．6 C．7 D．812．不等式组的最小整数解是()A．0 B．－1 C．1 D．2二、填空题（每题4分，共24分）13．计算：（2+）（2－）=_______.14．小明用S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10=______.15．如图，在正方形外取一点，连接、、.过点作的垂线交于点，连接.若，，下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确的结论有_____________（填序号）16．若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.17．已知关于的方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是____．18．使代数式有意义的的取值范围是__________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A9m,0、Bm,0m0，以AB为直径的⊙M交y轴正半轴于点C，CD是⊙M的切线，交x轴正半轴于点D，过A作AECD于E，交⊙于F.（1）求C的坐标；（用含m的式子表示）（2）①请证明：EFOB；②用含m的式子表示AFC的周长；（3）若，，分别表示的面积，记，对于经过原点的二次函数，当时，函数y的最大值为a，求此二次函数的解析式.20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2，−2)，B(−4，−1），C(−4，−4)．（1）作出ABC关于原点O成中心对称的A1B1C1.（2）作出点A关于x轴的对称点A'若把点A'向右平移a个单位长度后落在A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围.21．（8分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．（1）A城和B城各有多少吨肥料？（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？22．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．（1）求证：（BE+BF）2=2OB2；（2）如果正方形ABCD的边长为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积始终等于（用含a的代数式表示）23．（10分）某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）甲种服装进价为元/件，乙种服装进价为元/件；（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元．①求甲种服装最多购进多少件？②该服装店对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．(2)在(1)的条件下，当∠A=__________°时，四边形BECD是正方形．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y=4x(x>0)的图象上，过P作直线PA⊥x轴于点A，交直线y=x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B.交函数y=（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）26．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是1．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】

根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可．【详解】解：∵四边形是菱形，，∵O为BD中点，．，∴在中，，．．故选：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．2、D【解析】

A、根据矩形的判定定理作出分析、判断；

B、根据菱形的判定定理作出分析、判断；

C、根据正方形的判定定理作出分析、判断；

D、根据等腰梯形的判定定理作出分析、判断．【详解】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形．例如等腰梯形的两条对角线也相等；故本选项错误；

B、两条对角线垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；

C、两条对角线垂直且相等的四边形也可能是等腰梯形；故本选项错误；

D、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，此说法正确；故本选项正确；

故选：D．【点睛】本题综合考查了等腰梯形、正方形菱形以及矩形的判定．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质．3、A【解析】9=3.4、A【解析】

求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出BE=CE，推出∠BCE=∠B=30°，求出∠ACE，即可求出CE的长，即可求得答案.【详解】∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°，∵DE垂直平分斜边BC，∴BE=CE，∴∠BCE=∠B=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，在Rt△ACE中，∠A=90°，∠ACE=30°，AE=1，∴CE=2AE=2，∴BE=CE=2，故选A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出CE的长.5、A【解析】

试题分析：A、由二次函数的图象可知a＞0，﹣＞0，可得b＜0，此时直线y=ax+b经过一，三，四象限，故A正确；B、由二次函数的图象可知a＞0，﹣＞0，可得b＜0，此时直线y=ax+b经过一，三，四象限，故B错误；C、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、三象限，故C错误；D、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、三象限，故D错误；正确的只有A．故选A．考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．6、B【解析】

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】解：共10名同学，中位数是第5和第6的平均数，故中位数为3，

故选B．【点睛】本题考查中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．7、C【解析】

分别利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法对四个选项逐项判断即可．【详解】A.利用平行四边形的判定定理可知两组对边分别相等的四边形是平行四边形正确；B.利用矩形的判定定理可知有一个角是直角的平行四边形是矩形正确；C.根据四条边相等的四边形是菱形可知本选项错误；D.根据正方形的判定定理可知对角线互相垂直的矩形是正方形正确，故选C.【点睛】此题考查正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，解题关键在于掌握各性质定义.8、D【解析】

根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】解：A、∵12＋22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵92＋162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵122＋152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵12＋22＝2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．9、B【解析】

连接AC，根据三角形中位线定理得到EH∥AC，EH=AC，得到△BEH∽△BAC，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，∵E、H分别为边AB、BC的中点，∴EH∥AC，EH=AC，∴△BEH∽△BAC，∴S△BEH=S△BAC=S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积=×2×4=4，故选B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10、B【解析】

结合各个选项中的函数解析式，根据相关函数的性质即可得到答案.【详解】y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．11、B【解析】

根据众数的概念进行解答即可.【详解】在数据6，5，7，5，8，6，6中，数据6出现了3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是6，故选B.【点睛】本题考查了众数，明确众数是指一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键.众数一定是这组数据中的数，可以不唯一.12、A【解析】

解：解不等式组可得，在这个范围内的最小整数为0，所以不等式组的最小整数解是0，故选A二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】

根据实数的运算法则，利用平方差公式计算即可得答案.【详解】（2+）（2－）=22-()2=4-3=1.故答案为：1【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用平方差公式是解题关键.14、30【解析】

根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和.【详解】解：∵S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，∴平均数为3，共10个数据，∴x1+x2+x3+…+x10=10×3=30.故答案为30.【点睛】本题考查了方差的知识，牢记方差公式是解答本题的关键，难度不大.15、①②④【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；

②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；

③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；

④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可。【详解】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∵在△APD和△AEB中，∴△APD≌△AEB（SAS）；

故此选项成立；

②∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED；

故此选项成立；

③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，又∴点B到直线AE的距离为故此选项不正确；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，又∵△APD≌△AEB，=S正方形ABCD故此选项正确．

∴正确的有①②④，故答案为：①②④【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．16、【解析】

根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可【详解】要使有意义，则需要，解出得到【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键17、．【解析】

先根据得到，再代入原方程进行换元即可．【详解】由，可得∴原方程化为3y+故答案为：3y+.【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，换元的实质是转化，将复杂问题简单化．常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题，有时候要通过变形才能换元．18、x≥2且x≠3【解析】

分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．【详解】根据题意，得，解得，x⩾2且x≠3故答案为：x≥2且x≠3【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键在于掌握运算法则三、解答题（共78分）19、（1）C(0,3m)；（2）①证明见解析；②8m+；(3)或【解析】

(1)连接MC，先得出MC=5m，MO=4m，再由勾股定理得出OC=3m，即可得出点C的坐标；（2）①由弦切角定理得∠ECF=∠EAC,再证出FC=BC，再证出△CEF≌△COB，可得到EF=OB;②由△CEF≌△COB可得AE=AO，用勾股定理求出AC、BC.再用等量代换计算可得到AFC的周长（3）先用三角函数求出OD，再用勾股定理列出方程，得到m=1，从而求得的面积，再求出k值。再根据二次函数的性质列出方程求得a的值，从而问题得解。【详解】解：（1）连接MC，∵A9m,0、Bm,0m0，∴AB=10m,MC=5m，MO=4m由勾股定理得解得：OC=3m∴C(0,3m)（2）①证明：连接CF，∵CE是⊙M的切线，∴∠ECF=∠EAC,∵AB是直径，∴∠ACB=90°∴∠CAB=∠BCO,∵A,F,C,B共圆，∴∠EFC=∠OBC,又∵AE⊥CE∴∠CEF=∠BOC=90°,∴∠ECF=∠BCO,∴∠EAC=∠CAB∴CF=CB在△CEF和△COB中∴△CEF≌△COB∴EF=BO②∵△CEF≌△COB∴CE=CO,∴△ACE≌△ACO(HL)∴AE=AO∵AFC的周长=AF+FC+AC=AE-EF+FC+AC=AO-BO+FC+AC=9m-m++=8m+(3)∵CD是⊙M的切线，易证∠OCD=∠OMC∴sin∠OMC=sin∠OCD即得在Rt△OCD中，而CO=3m∴m=1∴AF=8,CE=3,∴二次函数的图象过原点，则c=0得对称轴为直线当时，即分两种情况，a＜0时，由函数的性质可知，时，y=a，∴解得∴此二次函数的解析式为：A＞0时，由函数的性质可知，x=4时，y=a，∴a=16a-4解得∴此二次函数的解析式为：综上，此二次函数的解析式为：或故答案为：或【点睛】本题是一个难度较大的综合题，考查了二次函数的性质，圆的切线，圆周角定理，也考查了利用三角函数解直角三角形的知识，综合性强，需要认真理解题意，灵活运用所学知识分析和解题。20、见解析【解析】

（1）分别作出点A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得；

（2）由点A′坐标为（-2，2）可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移1个单位，据此可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）∵点A′坐标为（-2，2），

∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移1个单位，即4＜a＜1．【点睛】考查作图-中心对称和轴对称、平移，熟练掌握中心对称和轴对称、平移变换的性质是解题的关键．21、（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时，A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.【解析】【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．【详解】（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，根据题意，得，解得，答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，设总运费为y元，根据题意，则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040，∵，∴0≤x≤200，由于函数是一次函数，k=4＞0，所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元；（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040，当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小，∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论．22、（1）证明见解析；（1）．【解析】

（1）由题意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因为∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根据ASA可证△AOE≌△BOF，可得AE=BF，可得BE+BF=AB，由勾股定理可得结论；（1）由全等三角形的性质可得S△AOE=S△BOF，可得重叠部分的面积为正方形面积的，即可求解．【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF．在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE=BF，∴BE+EF=BE+AE=AB在Rt△AOB中，AB1=OA1+OB1，且OA=OB，∴（BE+BF）1=1OB1，（1）∵△AOE≌△BOF，∴S△AOE=S△BOF，∴重叠部分的面积=S△AOB=S正方形ABCD=a1．故答案为：a1．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键.23、（1）80；60；（2）①甲种服装最多购进75件；②当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；当时，所有进货方案获利相同；当时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．【解析】

（1）设乙服装的进价y元/件，则甲种服装进价为（y+20）元/件，根据题意列方程即可解答；（2）①设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100-x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式组解答即可；②首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．【详解】（1）设乙服装的进价y元/件，则甲种服装进价为元/件，根据题意得：，解得，即甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；故答案为80；60；（2）①设计划购买件甲种服装，则购买件乙种服装，根据题意得，解得，甲种服装最多购进75件；②设总利润为元，购进甲种服装件．则，且，当时，，随的增大而增大，故当时，有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件；当时，所有进货方案获利相同；当时，，随的增大而减少，故当时，有最大值，即购进甲种服装65件，乙种服装35件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，依据题意列出方程是解题的关键.24、(1)菱形，理由见解析；(2)1.【解析】

①先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；

②当∠A=1°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．【详解】解：(1)四边形BECD是菱形，理由如下：

∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=AB=BD，

∴四边形BECD是菱形；

故答案为：菱形；

（2）当∠A=1°时，四边形BECD是正方形；理由如下：

∵∠ACB=90°，

当∠A=1°时，△ABC是等腰直角三角形，

∵D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∴四边形B