2020-2021数学北师大版第一册专题强化训练4对数运算与对数函数含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册专题强化训练4对数运算与对数函数含解析专题强化训练（四）对数运算与对数函数（建议用时:40分钟）一、选择题1．已知a＝log0。60.5，b＝ln0.5,c＝0.60。5，则()A．a>b>c B．a>c〉bC．c>a>b D．c>b〉aB[∵y＝log0.6x在（0，＋∞）上为减函数．∴log0。60。6〈log0。60。5，即a〉1。同理，ln0.5<ln1＝0，即b<0.0〈0。60.5〈0。60＝1，即0〈c〈1.∴a〉c〉b。]2．已知x,y,z都是大于1的正数,m〉0，且logxm＝24,logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(）A．eq\f(1,60）B．60C．eq\f（200,3)D．eq\f（3,200)B［由已知得logm(xyz）＝logmx＋logmy＋logmz＝eq\f（1,12），而logmx＝eq\f(1,24)，logmy＝eq\f(1,40）,故logmz＝eq\f(1，12)－logmx－logmy＝eq\f(1，12)－eq\f(1，24)－eq\f（1，40)＝eq\f（1，60),即logzm＝60。]3．函数f(x)＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（)A．是增函数 B．是减函数C．先增后减 D．先减后增A［∵当a>1时，y＝logau,u＝(a－1）x＋1都是增函数．当0<a<1时，y＝logau,u＝(a－1）x＋1都是减函数．∴f(x)在定义域上为增函数．]4．函数f(x)＝ln（x2＋1）的图象大致是（）ABCDA[由函数解析式可知f（x)＝f（－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过（0，0）点，排除B,D。]5．已知函数f(x）满足：当x≥4时，f（x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))eq\s\up8(x)；当x＜4时，f（x)＝f（x＋1)，则f（2＋log23)＝（）A．eq\f（1，24)B．eq\f（1,12）C．eq\f（1,8）D．eq\f(3，8)A[∵2＜3＜4＝22，∴1＜log23＜2。∴3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f（log224）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))eq\s\up8（log224）＝2－log224＝2eq\s\up8（log2eq\f(1,24))＝eq\f（1，24).]二、填空题6．(lg2）2＋lg2·lg50＋lg25＝________．2[原式＝lg2·（lg2＋lg50）＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg100＝2.]7．函数f(x)＝|log3x｜在区间［a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为____．eq\f(2,3)［由题意可知，求b－a的最小值即求区间［a，b］的长度的最小值，当f(x）＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或eq\f(1,3），所以区间[a，b]的最短长度为1－eq\f（1,3)＝eq\f（2，3），所以b－a的最小值为eq\f(2,3).]8．设f（x）＝lgx，若f（1－a)－f(a）>0，则实数a的取值范围为________．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2)))[因为f（1－a）〉f(a)，f（x)＝lgx是增函数，所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（1－a〉a，,1－a>0，，a>0，））解得0〈a〈eq\f(1，2),即实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f（1，2)）).］三、解答题9．已知定义在R上的偶函数f（x)在区间[0,＋∞）上是减函数，若f(1）>feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（lg\f（1，x）)）,求x的取值范围．[解]因为f（x)是定义在R上的偶函数且在区间［0，＋∞）上是减函数，所以f（x）在区间（－∞，0）上是增函数，所以不等式f（1)>feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(lg\f（1,x)）)可化为lgeq\f（1，x）>1或lgeq\f（1，x）<－1,所以lgeq\f(1,x)>lg10或lgeq\f(1,x）<lgeq\f(1,10）,所以eq\f(1,x)〉10或0〈eq\f(1,x)<eq\f(1,10），所以0<x<eq\f（1,10)或x>10.所以x的取值范围为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,10）)）∪(10,＋∞）.10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞2(1）求实数a的取值范围；(2)求不等式loga（3x＋1）<loga（7－5x）的解集；(3)若函数y＝loga（2x－1）在区间[1,3］上有最小值为－2，求实数a的值．[解］（1）∵22a＋1＞25a－2,∴2a＋1＞5a∴a＜1，即0＜a＜1。∴实数a的取值范围是（0,1）.(2）由（1）得，0＜a＜1，∵loga（3x＋1)<loga（7－5x)，∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（3x＋1>0，，7－5x〉0，，3x＋1〉7－5x，））即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x〉－\f(1，3)，，x〈\f（7，5），，x〉\f（3，4),））解得eq\f(3，4）〈x<eq\f（7,5)。即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，4），\f(7,5））).(3）∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间［1，3］上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1，a2)＝5,解得a＝eq\f（\r（5）,5).11．函数f(x)＝log2｜2x－1|的图象大致是（)ABCDA[当x>0时,函数f（x)单调递增，当x〈0时，f(x)<0,故选A。]12．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1),f2（x）＝log2(x＋2），f3(x)＝log2x2，f4（x)＝log2(2x）,则是“同形"函数的是()A．f2（x）与f4（x） B．f1（x）与f3（x）C．f1（x）与f4(x) D．f3（x)与f4（x)A［因为f4（x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以将f2(x）＝log2（x＋2），沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4（x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x）与f4(x)为“同形”函数．f3（x）＝log2x2＝2log2|x|与f1（x）＝2log2(x＋1)不“同形"，故选A.］13．若点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a，b）)在y＝lgx的图象上,a≠1，则下列点也在此图象上的是(）A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，a),b）) B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（10a，1－b））C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(10，a），b＋1)) D．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a2,2b)）D［由题意,b＝lga，2b＝2lga＝lga2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a2，2b)）也在函数y＝lgx的图象上．]14．函数f(x）＝log2eq\r（x)·logeq\r（2)（2x）的最小值为________．－eq\f（1，4）[由题意得x〉0，∴f（x）＝log2eq\r（x）·logeq\r(2)（2x)＝eq\f(1,2)log2x·log2(4x2)＝eq\f(1,2)log2x·（log24＋2log2x)＝log2x＋（log2x）2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（log2x＋\f（1，2)））eq\s\up8（2）－eq\f（1，4)≥－eq\f(1，4）。当且仅当x＝eq\f(\r（2）,2）时，有f（x）min＝－eq\f（1,4）.］15．已知函数f(x)＝log2(2x＋1).(1）求证：函数f(x）在(－∞，＋∞）上是增函数;（2）若g（x）＝log2(2x－1）(x〉0），且关于x的方程g（x）＝m＋f（x)在［1，2]上有解，求m的取值范围．［解］（1）证明:任取x1<x2，则f(x1)－f(x2）＝log2(2x1＋1）－log2（2x2＋1）＝log2eq\f（2x1＋1,2x2＋1)，因为x1〈x2，所以0〈eq\f（2x1＋1，2x2＋1）<1，所以log2eq\f(2x1＋1，2x2＋1）<0,所以f(x1)〈f(x2)，所以函数f(x)在（－∞，＋∞）上是增函数．(2）g(x）＝m＋f(x），即g（x）－f(x)＝m。设h(x）＝g(x)－f(x）＝log2（2x－1）－log2（2x＋1)＝log2eq\f(2x－1,2x＋1）＝log2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（2，2x＋1))）。设1≤x1<x2≤2。则3≤2x1＋1〈2x2＋1≤5，eq\f(1,3）≥eq\f（1,2x1＋1)＞eq\f（1，2x2＋1)≥eq\f(1，5），－eq\f（2,3)≤eq\f(－2,2x1＋1)＜eq\f（－2，2x2＋1)≤－eq\f（2，5)，∴eq\f（1，3）≤1－eq\f(2,2x1＋1）<1－eq\f(2,2x2＋1）≤eq\f（3,5)，∴log2eq\f（1,3)≤h（x1)〈h（x2）≤log2eq\f(3，5)，即h（x)在[1，2]上为增函数且值域为［log2eq\f（1，3）,log2eq