云南省2022届高三“3+3+3”高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题（含答案与解析）

2022届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）

数学（文科）

（时间：120分钟分值：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

</<x<4

1.设集合”={#+1）（尸3）叫N=

2

,则（)

1

A.1<%<B.<x一<X43'C.1x|3<x<4}D.

2

l-2i

2.-----)

1+i

A」二13.八31.31.

B.-------F—1C.-------1D.-------1--1

22222222

3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）

甲乙

76488

9833195788

63101236

112

A.乙销售数据极差为24B.甲销售数据的众数为93

C.乙销售数据的均值比甲大D.甲销售数据的中位数为92

4.下列函数中是减函数的为（)

A/(x)=XB.f(x)ITC./(x)=婷D.f(x)=Q

2

y

5.直线>伙>0）与双曲线C:J—1（0/>0）PQ

。〉在第一、第三象限分别交于、两点，F2

（T

是C的右焦点，有|P段：|QE|=I：G,且鸟，则C的离心率是（）

A.V3B.V6c.V3+1D.V6+1

6.甲、乙、丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲不会；如果这三人中

有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（）

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

7.如图，在一个正方体中，E,G分别是棱A6，CC'的中点，尸为棱8靠近C的四等分点.平面EEG

截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）

8.在AABC中，已知AC=2,BC=4,cosC=-,则AABC的面积为()

4

A.正B.1C.V15D.2>/15

4

9.记S“为等差数列｛4｝的前"项和，已知§3=5,59=21,贝iJS6=()

A12B.13C.14D.15

10.随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲、乙两位运动

员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（）

A.0.2B.0.25C.0.3D.0.5

11.已知A,B,C是表面积为16万的球。的球面上的三个点，且AC=4B=1,ZABC=30°,则三棱

锥0-ABC的体积为（）

12.定义域为K的函数/（力满足：①对任意2K玉＜/,都有（与一/）［/（%）一/（々）］＞0；②函数

y=2)的图象关于y轴对称.若实数s,r满足/(2s+2r+2)W/(s+3),贝ij当丘[0,1]时，

’+1二的取值范围为()

/+s+3

-12]「1:

1_43」|_3J

C.1-00，：U停+°0)D.U[2'+8)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.曲线=±在点(0,〃。))处的切线方程为.

X-1

14.已知圆锥的母线长为3,其侧面展开图是一个圆心角2为4胃的扇形，则该圆锥的底面半径为

15.已知函数/(x)=Asin(«yx+0(4〉O,«y>O，M|<乃)的部分图象如图所示，则xe-^1,0时，函数

/(x)的值域为.

16.已知点P在圆f+y2=i上，A(-2,0),3(0,2),则序.而的最小值为.

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造

型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商

品，“一墩难求某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

年龄/岁[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

抽取人

102025151875

数

有意向

10182291042

购买的

人数

(1)若从年龄在［60,70)的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的

概率；

(2)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为

购买冰墩墩与人的年龄有关？

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计

有意向购买冰墩墩的人数

无意向购买冰墩墩的人数

总计

参考数据：K2=-——、/'、/~一——其中〃=a+Z?+c+d.

(4+b)(c+d)(4+c)(b+d)

尸(片“))0150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.已知正项数列｛4｝的前"项和为S“，满足4s“=4+2《一8.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

⑵求数列｛(-1)”(S,,-3〃)｝的前〃项和7；.

19.如图，已知直三棱柱AABC中，侧面为正方形，A5=BC=2,D,E，尸分别为

AC,BC,的中点，。/，4用，G为线段OE上一动点.

(1)证明：C,F1\G■

(2)求几何体44C-DEC的体积.

20.已知圆O:/+y2=2与X轴交于A,B两点,动点P满足直线AP与直线5P的斜率之乘积为-L

2

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)过点(1,0)的直线/与曲线E交于M,N两点，则在x轴上是否存在定点。，使得西•西的值为定

值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

21.已知函数/(X)=eR)

(1)讨论了(x)的单调性；

(2)设g(x)=a(l-6"+尤2,若方程g(x)=/(x)有三个不同的解，求”的取值范围.

22.在直角坐标系X。)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

夕=2cos8.

(1)将C极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)为解决倍立方体问题，数学家引用了蔓叶线.设〃为C上的动点，〃关于x=l的对称点为N(M、N

不与原点重合)，M在x轴的射影为H,直线ON与直线的交点为P,点P的轨迹就是蔓叶线.请写出

P的轨迹的参数方程.

23.已知函数：〃x)=|2x+6|+|2x-4|—ll,g(x)=-|x-1|.

(1)请在图中画出y=/(x)和y=g(x)的图象:

(2)若g(x+r)w/(x)恒成立，求,的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

=|x|(x+l)(x-3)<o|N-

M2

1.设集合J,则MAN=()

A.<%—1<%<—>B.<x—<x<3>C.1x|3<x<4jD.{%|-1<%<4}

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为“={M(x+l)(x_3)W0}={%卜1<》<3},N=<x—<%<4>,

2

x-<x<3k

所以MQN=<

2

故选：B

l-2i

2.-----)

1+i

A.-l-2iB」+』ic.-2-li31.

D.—+—i

22222222

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算即可求出答案.

1—2i(1——i)—1—3i

【详解】解:~2~21'

1+i(l+i)(l-i)2

故选：A.

3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）

甲乙

76488

9833195788

63101236

112

A.乙销售数据的极差为24B.甲销售数据的众数为93

C.乙销售数据的均值比甲大D.甲销售数据的中位数为92

【答案】D

【解析】

【分析】根据茎叶图中数据逐项分析即可判断.

【详解】乙销售数据的极差是112—88=24,故A正确;

甲销售数据的众数为93,故B正确；

甲销售数据的均值为(80X3+90X5+100X2+7+6+4+9+8+3+3+l+6+3)X-!-=94,

乙销售数据的均值为(80+90X4+100X4+110+8+5+7+8+8+1+2+3+6+2)*'=100,乙销售

10

数据的均值比甲大，故c正确；

甲销售数据的中位数为93,故D错误.

故选：D.

4.下列函数中是减函数的为()

A./(x)=xB./(幻=用C./(x)=x-2D.f(x)=

【答案】D

【解析】

【分析】依次判断4个函数的单调性即可.

31

【详解】A选项为增函数，错误；B选项万>1,为增函数，错误；C选项/0)=工-2=｝在(—,0)为

增函数，在(0,+8)为减函数，错误；D选项=为减函数，正确.

故选：D.

22

5.直线>(左>0)与双曲线。：・一斗=1(4>0力>0)在第一、第三象限分别交于尸、Q两点，F2

ab~

是C的右焦点，有|尸居|:|Q居1=1:6，且与，则C的离心率是()

A.6B.V6C.73+1D.V6+1

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知8为矩形，求出|P局、周即可根据双曲线定义求出2“，从而根据离心率

计算公式求解.

【详解】由对称性可知四边形PKQ鸟平行四边形,

又由得四边形为矩形，

PF21QF2PF,QF2

.•.归。=忻用=2「，

X|P^|:|<2^|=1：V3,：.\PF^=c,\QF2\=y/3c,

.•.有|0用—归用=(6-l*=2a,

2V3+1.

a~y/3-l

故选：C.

6.甲、乙、丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲不会；如果这三人中

有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（）

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.

【详解】解：①若会跳拉丁舞的是甲同学，则这甲、乙说的真话，与题设矛盾，故会跳拉丁舞的不是甲，

②若会跳拉丁舞的是乙三位同学，则这三人中有且只有丙一人说真话，与题设相符，故会跳拉丁舞的是

乙，

③若会跳拉丁舞的是丙三位同学，则这三人中乙、丙两人说的是真话，与题设矛盾，故会跳拉丁舞的不是

丙，

综上可得：会跳拉丁舞的是乙.

故选：B.

7.如图，在一个正方体中，E,G分别是棱AB，CC'的中点，尸为棱CO靠近C的四等分点.平面ERG

截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件可得平面EFG经过点B'，然后可得答案.

D

因为E,G分别是棱AB，CC'的中点，F为棱C。靠近C的四等分点

所以EB7/EG,所以平面EFG经过点B'

所以多面体AD7M-EFGC'B'的正视图为

8.在△ABC中，已知4C=2,BC=4,cosC=-,则AABC的面积为()

4

A.叵B.1C.V15D.2715

4

【答案】C

【解析】

【分析】先用平方关系求出sinC,再用面积公式求面积

【详解】cosC=-^sinC=Vl-cos2C=^

44

所以SARC=—absir\C=—x4x2x^^-=Vt5

M8c224

故选：C

9.记S“为等差数列｛«,｝的前〃项和，已知§3=5,S9=21,则56=()

A.12B.13C.14D.15

【答案】A

【解析】

【分析】先由$3=5,$9=21求出首项和公差，再按照前〃项和公式计算即可.

3x2」u13

S3=3q+------a=5

29c.,6x5—

【详解】设公差为d,9x8y丁解得2，&-64H1d—12.

Sq-9al+------a=21

29

故选：A.

10.随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物"雪容融'’火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲、乙两位运动

员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（）

A.0.2B.0.25C.0.3D.0.5

【答案】C

【解析】

【分析】采用枚举法即可求解.

【详解】将两位运动员编号为A、B,将3个“雪容融”编号为X,将运动员和雪容融随机排成一排，可以

是:

ABXXX,XABXX,XXABX,XXXAB,

BAXXX,XBAXX,XXBAX,XXXBA,

AXBXX,BXAXX,XAXBX,XBXAX,XXAXB,XXBXA,

AXXBX,BXXAX,XAXXB,XBXXA,

AXXXB,BXXXA,

共20种排法，其中3个“雪容融”连在一起共有6种.

故概率为e=0.3.

20

故选：C.

11.已知A,B,。是表面积为16乃球。的球面上的三个点，且AC=AB=1,ZABC=30°,则三棱

锥O—A5c的体积为（）

1R6

A.—D.---------D

1212T

【答案】C

【解析】

【分析】设球的半径为R,△ABC外接圆的半径为小根据题意求出r,R,再根据球心。到△ABC的距

离口=,即三棱锥0-ABC的高，从而可得出答案.

【详解】解：设球的半径为R,AABC外接圆的半径为「，

在A/WC中，由AC=AB=1,ZABC=30°,贝UNA4c=120°

Ar

得"EE=2,所以i

因为球。的表面积为16%,

则4zr/?2=16]>解得R=2，

所以球心。到△ABC距离d=正_产=6，

即三棱锥ABC的高为石,

S△AKK(.=-2AB-AC-sinZBAC4>

所以三棱锥O-48c体积％_桢。=；*¥乂百=；.

故选：C.

12.定义域为R的函数/(x)满足：①对任意2K玉<々，都有(可—々)]/(百)一/(々)]>0；②函数

y=/(x+2)的图象关于)，轴对称.若实数s,/满足〃2s+2f+2)M/(s+3),贝ij当fe[0,l]时，

’+1二的取值范围为()

f+s+3

「12]「1/]

|_43j|_3J

C.18,：U停+8)D.32,+0°)

【答案】A

【解析】

【分析】现根据题目对函数性质的描述得出函数是关于x=2轴对称，且在(YO,2)单调递减，在(2,+8)

单调递增，从而得到|2s+2dqs+1],去绝对值得到不等式组，利用线性规划求解即可.

【详解】由题，由条件①结合单调性定义可知，函数/(力在(2,+8)上单调递增，由条件②可知，函数

“X)向左平移2个单位关于y轴对称则说明“X)关于x=2轴对称；

所以“X)是关于x=2轴对称，且在(y。,2)单调递减，在(2,+8)单调递增的函数;

若实数s,r满足/(2s+2r+2)W/(s+3),结合图像，则说明横坐标距离x=2越近，函数值就越小；所

以可得关于实数s,/的不等式|2s+2dw|s+l|,两边平方得

(25+2炉<(s+i)2n(2s+2r)2—(s+l)240n(s+2r—l)(3s+2r+l)40所以得：

s+2/—1W0s+21—120

①或＜②

3s+2/+1203s+2/+1K0

令s=y,x=f（（）W，W1）,画出不等式组可行域:

y八

Ymi)

x=1

»

X

6,-1)

3y+2x+1=0

y+2x-l=0

4-L-2)

y+2x-l=0/、

联立方程组《5+2川=。得点Cd；

r+1x+1x+11y+2_y-(-2)

，+s+3x+y+3x+l+y+21।y+2，令z=,由此z的范围可看作点A与

x+1x—(—1)

x+1

1311?

B,C两点连线斜率的范围，即一（zK3,所以一Kl+zK4n—<------K—

2241+z3

所以:"w

故选：A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.曲线/（x）=£在点（0,/（0））处的切线方程为

x—\

【答案】2x+y+l=0

【解析】

【分析】先求出导函数，得到斜率，点斜式写出切线方程.

Ae（）

【详解】因为=所以〃O）==j=—lJ'（x）=（鼻（一）,

所以广⑼=7^K(°—2)=-2.

所以曲线/（x）=W-在点（0,〃0））处的切线方程为y+l=—2（x—0）,即2x+y+l=0.

X—1

故答案为：2x+y+l=0

14.已知圆锥的母线长为3,其侧面展开图是一个圆心角为1的扇形，则该圆锥的底面半径为

【答案】1

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可.

【详解】因为圆锥的母线长为3,所以侧面展开图扇形的半径为3,设该圆锥的底面半径为「，

27r

所以有---3=2/rr=>r=1,

3

故答案为：1

15.己,知函数/0)=须由(01+0)(4>0,3>0,网<万)的部分图象如图所示，则XG-y,0时，函数

71

【分析】先根据图像求出函数/(X)的解析式，再结合xe--,0求值域即可.

【详解】由：=斗一7=',7=4,口=手=2,/(x)=Asin(2x+0),由吗)=0,

/康)=Asin(q+9)=0,又时<乃，解得e=一5或与，又/(0)=1/(0)=AsinQ=l,A>0,

故夕=空，A=空,/U)=^sinf2x+—\xe£,o］时，2x+受寻］,当

33313J1.2」3|_33_

27r7t2万冗2^/3

2x+—=-一时，取得最小值T,当2尤+—=一时，取得最大值会2,故值域为

33323

故答案为:

16.已知点P在圆Y+y2=i上，A(-2,0),8(0,2),则成.丽的最小值为.

【答案】1-2a##-20+1

【解析】

［分析］设p(cos0,sine),ee［0,2乃］,再根据平面向量数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得出

答案.

【详解】解：由点催在圆/+、2=1上,可设尸(cose,sine),e《o,2句,

则/^4=(-2-cos^,-sin0),PB=(-cos^,2-sin^),

所以PA-PB=2cos。+cos)。-2sine+sin)。=2&cos(6+?)+1,

当夕+巴=乃，即*②，即尸］_立,变］时，

44I22)

PA-PB取得最小值1-272.

故答案为：1-2JL

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造

型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商

品，“一墩难求某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

年龄/岁[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

抽取人

102025151875

数

有意向

10182291042

购买的

人数

(1)若从年龄在［60,70)的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的

概率；

(2)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为

购买冰墩墩与人的年龄有关？

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计

有意向购买冰墩墩的人数

无意向购买冰墩墩的人数

总计

参考数据：K2=-——、/'、/~一——其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

4

【答案】(1)一；

7

(2)2x2列联表见解析，有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关.

【解析】

【分析】(1)运用列举法结合古典概型运算公式进行求解即可；

(2)根据表中数据直接完成2*2列联表，结合题中所给的公式进行计算、表中所给的数据进行判断即可.

【小问1详解】

因为年龄在［60,70)之间抽取的人数为7,有意向购买的人数为4，

为7人编号为1,2,3,4,5,6,7,其中有意向购买的人的编号为1,2,3,4,

从7人中抽取2人的所有基本事件为：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),

(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共21种,

其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有12种，

故所求概率为：二12=三4

【小问2详解】

由调查表可得:

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计

有意向购买冰墩墩的人数502575

无意向购买冰墩墩的人数52025

总计5545100

n(ad-bc)2_100x(50x20—25x5)2〜

K-~r-7r-7r-7r--〜1U.5>10.828,

(a+0)(c+d)(a+c)伍+4)75x25x55x45

所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关.

18.已知正项数列｛%｝的前"项和为S“，满足4s“=a；+2a”-8.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)求数列｛(T)"(S“-3〃)｝的前〃项和7；.

【答案】(1)%=2〃+2

3土D,〃为偶数

2

⑵(八

—山士11,〃为奇数

2

【解析】

【分析】(1)根据4s“=d+2q-8,利用数列通项与前〃项和的关系求解；

(2)由⑴得到S“=〃(〃+3),进而得到(―3〃)=(—I)"",再分〃为偶数和奇数，两种情

况，利用并项求和法求解.

【小问1详解】

解：由4s“=。：+22一8,

得4sM=+2%_1-8(〃>2),

两式相减得：4an=%+2an—a^_｝-2a/l_1,

则片一。3-2(%+勾1)=0,

即(4-。,1-2)(4+4_])=0,

因为4>0,

所以-4T=2,

又4al=a；+2q—8,解得q=4或4=—2（舍去）,

所以数列｛q｝是以4为首项，以2为公差的等差数列,

所以4,=4+2(〃-1)=2〃+2；

【小问2详解】

由(1)知：4s“=(2〃+2)2+2(2〃+2)-8,

所以S“=〃(〃+3),

则㈠)"⑸-3〃)=(-1)”，

22222

当〃为偶数时，Tn=-l+2-3+4-...+n,

=3+7+…+2力一1,

_；（3+2〃-1）_〃（〃+］）:

F―_

222222

当”为奇数时，Tn=-l+2-3+4-...+（7?-l）-n,

—3+7+...+2/t—3—〃-，

甘（3+2”—3）

—H2

22

———为偶数

2

所以(=«

一3±0,〃为奇数

2

19.如图，已知直三棱柱中，侧面A4A8为正方形，AB=BC=2,D,E，尸分别为

旦，G为线段OE上一动点.

(2)求几何体AgG-DEC的体积.

【答案】(1)见解析;

（24

【解析】

【分析】(1)连接gE,先证。尸，面4。£与，再证C/，4G；

(2)将几何体44G-DEC分为三棱锥G-DCE和四棱锥C,-B&DE,分别计算体积求和.

【小问1详解】

连接4E,由直三棱柱A61G—ABC,为正方形，AB=BC=2,可得CC/乃为正方形，又

E，b分别为8C，B|B的中点，又,

储bJ"面A]OEB],又4G口面AOEB],C/_L4G.

【小问2详解】

设GF,B]E交氤为M,连接A2G。出旦GE,•.•例与8为正方形，.•♦A4,84,又

vC.F±,C/cBq=F,Ag_1面,又；AG，耳E三面BgG。，

.・.，81E,可得

AG=2垃,CE=gcB=1,C)F=B1E=722+12==；AB=1,

B.C.-B.F2

CtFV5'

・"ABIG-DEC=^Ci-DEC+匕TADK二].℃,^^CDE+],C}M•S%”E

I_It1I4I/xrr7

——x2x—xIxIH—x--=x—x(2+l)x，5——.

323J52v73

20.已知圆0:一+丁=2与x轴交于A,8两点，动点P满足直线”与直线3。的斜率之乘积为-；.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过点（1,0）的直线/与曲线E交于M,N两点，则在x轴上是否存在定点Q,使得西•丽的值为定

值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

2

【答案】（I）y+r（x#±V2）；

（2）存在点使得的.所为定值-焉，理由见解析；

【解析】

【分析】（1）设出动点尸（X,£（XN±侦），利用直接法求解轨迹方程；（2）先求出直线/斜率为。时不

合题意，得到直线斜率不等于0,从而设出直线/的方程x=l+6,联立第一问求出的轨迹方程，利用韦

达定理得到两根之和，两根之积，设出。（m,0）,求解西•西，化简整理得到西•斯

=（m2-2）-,从而得到存在点可使得西•丽为定值-焉.

【小问1详解】

令y=。得：x=±JL不妨设A（-V5,O）,B（0,O），P（x,y）（xw±&）,则

kpA，kpB=—----^-7==-->整理得：二+）2=1，（x±V2）；动点P的轨迹方程E为

x+V2X-V222v'

2

5+丁=1,1*士0）；

【小问2详解】

存在点。（加,0）,使得西•西为定值，理由如下：

2

当直线/斜率为0时，则直线/为y=0,此时与、+y2=i,1力士应）无交点，故不合题意，舍去，即

直线/斜率不为0

2

设Q（租,0）,直线/设为了=1+0，则与：|_+）2=1,（x#±J可联立得：（公+2卜2+26_1=（）,

2k

设M(X],y),M(X2，%),则y+%=淳*'所以

>

QMQN=(xt-m,y\)\x2-m,y2)=(x}-m)(x2-m)+yty2

12

=x,x2一〃7(x+x2)+ni+yxy2=(1+@J(1+机)一加(1+份]+l+^y2)+m+yly2

=(公+1)M%+("〃)(％+%)+(m-l)2

2-2)-4m-5

也+2

当4加一5=0即时，QMQN定值，即存在点吏得西•丽为定值—W；

综上：存在点使得西•丽为定值-焉.

【点睛】圆锥曲线上是否存在点使某些量为定值的题目，经常考察，一般题目计算量大，且变量多，此时

要抓住核心不变量，进行化简整理，主要方法是分离常数法，配方法等，本题中，将加•丽化简整理

为西•丽=(川-2)-等(

是解题的关键所在.

K十乙

21.已知函数/(x)=e2*+ae*(a€R)

(1)讨论)(x)的单调性；

(2)设g(x)=a(l—x)/+f,若方程g(x)=/(x)有三个不同的解，求a的取值范围.

【答案】(1)详见解析

(2)a<--e

e

【解析】

【分析】(1)首先求函数的导数，分和。>()讨论函数的单调性；

rx1

(2)参变分离后得。=三一再设r==，/?(/)=/—根据两个函数的图象，求得实数”的取值范

evxevt

围.

【小问1详解】

/'(x)=2e2A+ae'=ev(2ev+a),

当aNO时，f\x)30,函数在(f,a)单调递增,

a

当a<0时，/«x)=0,得x=ln

//\\

当xeF,ln-时，函数单调递减,

II2〃

当xeln13+8)时，/刎>0,函数单调递增,

综上可知，当时，函数在(YO,+O。)单