圆与圆的对称性-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）解析版

第04讲圆与圆的对称性

二*【学习目标】

1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；

2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关

的概念，理解概念之间的区别和联系；

公【基础知识】

一.圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成

的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以。点为圆心的圆，记作

读作“圆O”.

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

（2）与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称

弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做

优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

（3）圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

二.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

三.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问

题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方

法一定要掌握.

四.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心

旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

五.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：

①点P在圆外

②点P在圆上=d=r

①点P在圆内

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

(3)符号读作”等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可

以得到左端.

【考点剖析】

一.圆的认识(共5小题)

1.(2022•兴化市模拟)如图所示，MN为0。的弦，NN=52°,则NA/ON的度数为()

A.38°B.52°C.76°D.104°

【分析】根据半径相等得到OM=OM则/M=NN=52°,然后根据三角形内角和定理

计算NMON的度数.

【解答】解：

：.ZM=ZN=52°,

.../MON=180°-2X52°=76°.

故选：C.

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优

弧、劣弧、等圆、等弧等）.

2.（2020秋•东丽区期末）已知00的半径是6am则0。中最长的弦长是（）

A.6cmB.12cmC.16cmD.20cm

【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解.

【解答】解：圆的直径为圆中最长的弦，

OO中最长的弦长为12cm.

故选:B.

【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、

优弧、劣弧、等圆、等弧等）.

3.（2020秋•白云区校级期中）如图，在RtZXABC中，以点C为圆心，8C为半径的圆交

AB于点。，交AC于点E,ZBCD=4Qa,则乙4=20°.

【分析】由半径相等得CB=CD,则/B=NCO8,在根据三角形内角和计算出/8=2

（180°-ZBCD）=70°,然后利用互余计算/A的度数.

【解答】解：•••C8=C£>,

:.NB=/CDB,

'：Z«+ZC£>B+ZBCD=180°,

AZB=1（180°-ZBCD）=i（180°-40°）=70°,

VZACB=90Q,

：.ZA=90°-/B=20°.

故答案为20°.

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优

弧、劣弧、等圆、等弧等）.也考查了三角形内角和定理.

4.（2019秋•宜兴市期中）如图所示，AB为00的直径，C。是0。的弦，AB,的延

长线交于点E,已知AB=2Z）E,NAEC=20°.求NAOC的度数.

C_

【分析】连接OO，如图，I±1AB=2DE,48=200得到OO=OE,根据等腰三角形的性

质得NOOE=NE=20°,再利用三角形外角性质得到NC0O=4O°,加上NC=/03C

=40°,然后再利用三角形外角性质即可计算出NAOC.

【解答】解：连接0D，如图，

'：AB=2DE,

而AB^2OD,

：.OD=DE,

...NOOE=NE=20°,

AZCDO=ZD0E+ZE=4（）0,

ifiiOC—OD,

/.ZC=ZODC=40°,

AZAOC=ZC+ZE=60°.

\OBE

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优

弧、劣弧、等圆、等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.

5.（2021春•巨野县期末）已知。0的半径是6am则Q。中最长的弦长是12cm.

【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解.

【解答】解：二•圆的直径为圆中最长的弦，

二。。中最长的弦长为2X6=12（cm）.

故答案为：12.

【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、

优弧、劣弧、等圆、等弧等）.

二.垂径定理（共3小题）

6.（2022•南沙区一模）如图，。。的直径为10,弦A8=8,P是弦AB上一动点，那么

OP长的取值范围是3WOPW5

【分析】因为。。的直径为10,所以半径为5,则OP的最大值为5,OP的最小值就是

弦AB的弦心距的长，所以，过点。作弦AB的弦心距0”，利用勾股定理，求出OM=

3,即0P的最小值为3,所以3WOPW5.

【解答】解：如图：连接。4,作。与M,

:。。的直径为10,

二半径为5,

；.OP的最大值为5,

与M,

：.AM=BM,

；A8=8,

：.AM=4,

在RtzXAOM中，0M=V52-42=3,

OM的长即为OP的最小值，

.•.3WOPW5.

【点评】解决本题的关键是确定0P的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的

弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三

边的直角三角形，若设圆的半径为「，弦长为4,这条弦的弦心距为“，则有等式/=晨+

(0)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.

2

7.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图，AB是。。的直径，弦于点E,若BE=5,

CD=6,求AE的长.

A

【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可.

【解答】解：如图，连接0C,

"JCDLAB,AB是直径，

：.CE=DE=^CD=3,

在RtZ\COE中，设半径为r,则0E=5-r,OC=r,由勾股定理得，

OE^+CE^^OC2,

即(5-r)2+32—12,

解得r=3.4,

：.AE=AB-8E=3.4X2-5=1.8,

答：AE的长为1.8.

--------

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提.

8.(2022•南京一模)如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、

。四点.已知A(6,0),B(-2,0),C(0,3),则点。的坐标为(0,-4).

A

X

【分析】设圆心为P，过点P作PE_L48于点E,P凡LCO于点片先根据垂径定理可得

EA=E3=4,FC=FD,进而可求出OE=2,再设尸(2,山)，即可利用勾股定理表示出

PC2,PA1,最后利用以=以列方程即可求出加值，进而可得点。坐标.

【解答】解：设圆心为P,过点P作PELAB于点E,PF±CD于点F,则EA=EB=券=4,

FC=FD,

：.E(2,0),

设P(2,m),则F(0,m),

连接PC、PA,

在Rt^CPF中，PC12=(3-;n)2+22,

在RtZXAPE中，B42=W2+42,

'：PA=PC,

(3-m)2+22—m2+42,

.,.〃?=+1(舍正)，

：.F(0,-i),

17

，OD=OF+DF==+g=4,

22

AD（0,-4）,

故答案为：（0,~4）.

【点评】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半

径相等列方程.

三.垂径定理的应用（共3小题）

9.（2020秋•伊通县期末）在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油

面在圆心下）：若油面的宽AB=160C〃7,则油的最大深度为405？.

【分析】连接0A，过点。作OE_LA8,交A8于点M,由垂径定理求出AM的长，再根

据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长.

【解答】40ax解：连接OA,过点。作OELAB,交AB于点M,

,/直径为200皿，AB=160CTC,

OA=OE=1OOc/n,AM=80cm,

：.OM=y/OA2-AM2=<1002-802=60cw,

：.ME=OE--60=40c/„.

故答案为4（）c〃7.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

10.（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯

之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），

不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1

寸时，锯开的宽度为1尺，间木材的直径CD是26寸.（1尺=10寸）

图①图②

【分析】连接。4,设的半径为x寸，则OE=（x-1）寸，由垂径定理得AO=BO=

=5寸，再在RtZ\AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：连接04如图：

设。。的半径为x寸，则0E=（x-1）寸,

VOE1AB,AB=10寸,

1

：.AD=BD=^AB=5（寸）,

在RtZXAOE中，由勾股定理得：7=（X-1）2+52,

解得：x=13,

的直径AC=2x=26（寸），

即木材的直径C。是26寸，

故答案为：26.

图②

【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利

用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

11.（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB=32米，

拱高C£>=8米（C为AB的中点，。为弧AB的中点）.

（1）求该圆弧所在圆的半径；

（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度.

【分析】（1）设弧A8所在的圆心为0,。为弧的中点，于C,延长£）C经

过。点，设。。的半径为R,利用勾股定理求出即可；

（2）利用垂径定理以及勾股定理得出A0的长，再求出EF的长即可.

【解答】解：（1）设弧A8所在的圆心为0,。为弧的中点，于C,延长

DC经过。点，设0。的半径为R,

D

在RtZ\OBC中，OB2=OC2+CB2,

，R2=（R-8）2+162,

解得R=20；

（2）OHLFE于H,则O"=CE=16-4=12,OF1=R=20,

在RtZ\。“尸中，V202-122=16,

'：HE=OC=OD-CD=20-S=[2,EF=HF-HE=16-12=4（米）,

在离桥的一端4米处，桥墩高4米.

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题

关键.

四.圆心角、弧、弦的关系（共3小题）

12.（2021秋•临邑县期末）如图，A8是。O的直径，点C、。是。。上的点，若/。B

=25°,则NAOC的度数为（）

A.65°B.55°C.60°D.75°

【分析】由48为。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得/ACB=90°,又

由NCAB=25°,得出NB的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得/AOC的度数.

【解答】解：为。。的直径，

：.ZACB=90°,

'：ZCAB=25°,

AZ/1BC=9O°-ZCAB=65°,

.../AOC=/4BC=65°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形

结合思想的应用.

13.（2021秋•鼓楼区校级月考）下列说法中，不正确的是（）

A.在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等

B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°

C.在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大

D.若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等，正确；

8、在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°,正确；

C、在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大，正确；

。、若两弧的度数相等，则这两条弧不一定是等弧，错误.

故选：D.

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的

弧相等，所对的弦也相等，注意在同圆和等圆中这个条件不能忽略.

14.（2022•玄武区一模）如图，在AABC中，E是2C边上的点，以AE为直径的。。与

AB,BC,AC分别交于点F,D,G,且。是气的中点.

（1）求证AB=AC；

（2）连接OF,当。/〃AC时，若A8=10,BC=U,求CE的长.

【分析】（1）连接AD,根据圆周角定理得到/ED4=90°,根据圆心角、弧、弦之间

的关系得到进而证明N8=NC,根据等腰三角形的判定定理证明结论;

（2）连接DF,DG,证明△AECS^DGC,根据相似三角形的性质求出AE,根据勾股

定理求出DE,进而求出CE.

【解答】（1）证明：连接4），

•.乂£是。。的直径，

.♦./EDA=90°,

是吊的中点，

‘丽=DG，

'.ZBAD^ZCAD,

；N8+N84O=90°,NC+NC4O=90°,

：.ZB=ZC,

：.AB=AC^

（2）解：连接。RDG.

\'AB=AC,ADLBC,

：.BD=CD,

・.・A8=10,BC=12,

：.AC=\O,CD=6,

由勾股定理得：AD=y/AC2-CD2=8,

VDF/7AC,

.BFBD

FADC

:.BF=FA,

在RtZ\A£>B中，AB=10,BF=FA,

.*.OG=CF=；AB=5,

：.DG=DF=5,

VZC=ZC,ZCDG=ZCAE,

/.△AEC^ADGC,

ACAE10AE

：.——=—,即r1n一=—,

DCDG65

解得：4£=孕

在RtZsAOE中，ZADE=90°,AE=售，A£>=8,

'DE=y/AE2-AD2=（

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、

弦之间的关系，根据△4ECs/\“GC求出AE是解题的关键.

五.点与圆的位置关系（共3小题）

15.（2021秋•沐阳县期末）若。0的直径为10,点A到圆心O的距离为6,那么点A与

。。的位置关系是（）

A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定

【分析】根据题意得O。的半径为5cm,则点A到圆心。的距离小于圆的半径，则根据

点与圆的位置关系可判断点A在OO内.

【解答】解：：。。的直径为10，

二。。的半径为5,

而圆心O的距离为6,

...点A在。。外.

故选：A.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为八点P到圆心的距离OP=d,

则有点P在圆外点P在圆上="=r：点P在圆内

16.（2022•常州模拟）如图，4,B,C是某社区的三栋楼，若在4c中点。处建一个5G

【分析】根据勾股定理的逆定理证得△48C是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中

线的性质求得8。的长，然后与300,“比较大小，即可解答本题.

【解答】解：'：AB=300cm,BC=400cm,AC=500cm,

：.AB2+BC2=AC2,

.•.△ABC是宜角三角形，

.♦.NA8C=90°,

♦••点。是斜边4c的中点，

：.AD=CD=250cm,BD=/C=250a〃,

V250000,

点A、B、C都在圆内,

,这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A,B,C.

故选：D.

【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三

个顶点到。点的距离.

17.（2021秋•赣榆区期中）如图，在AABC中，AB=4C=2百，BC=4,点。是48的中

点，若以点。为圆心，r为半径作使点8在。。内，点C在。。外，试求/•的取值

［分析］连接CD,过点A作AELBC于点E.过点D作DFLBC于点F,显然DF//AE,

解直角三角形求出8,即可判断.

【解答】解：连接CQ,过点A作于点£过点。作。于点凡显然QF

//AE,

'：AB=AC^2y［5,BC=4,

：.BE=^BC=2,

：.AE=yjAB2-BE2=4,

•.•点。是43中点，即。尸是中位线

：.DF=^£=2,BF=2BE=1,

：.CF=3,

：.CD=y/DF2+CF2=g，

又DB=；A8=V5,

的取值范围是

BE

【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

~【过关检测】

一、单选题

1.（2021•江苏泰州市•）。。的半径为4cm，点P到圆心。的距离为5cm，点尸与。O的

位置关系是（）

A.点P在。。内B.点尸在上C.点P在。。外D.无法确定

【答案】C

【分析】根据点与圆的位置关系即可得.

【详解】解：•.•5>4,

，点P在OO外，

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键.

2.（江苏泰州市•八年级期中）如图，。。的弦AB=6,M是AB上任意一点，且OM最小值

为4,00的半径为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】当OMLAB时值最小.根据垂径定理和勾股定理求解.

【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM_LAB时，为最小值

4,

连接OA,

根据垂径定理，得：BM=yAB=3,

根据勾股定理，得：OA二屈不=5,

即。。的半径为5.

【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径.特别注意能够分

析出0M的最小值.

3.（2020•射阳县第二初级中学）平面内，若。0的半径为3,0P=2,则点P在（）

A.00内B.©0±C.00外D.以上都有可能

【答案】A

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心

的距离d>r■时，点在圆外；当d=r•时，点在圆上；当dVr时，点在圆内.

【详解】V0P<3,

.•.点P在。0内部.

故选A.

【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断.解题关键要记住若半径为r,点到圆心的距离

为d,则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

4.（2020•江苏宿迁市•八年级期中）直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）

A.三角形内B.三角形外C.斜边的中点D.不能确定

【答案】C

【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点.

【详解】♦.•直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，

直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

5.（2020•镇江市江南学校八年级月考）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为

（0,3）、（4,3）,在坐标轴上找一点C,使是等腰三角形，则符合条件的点C的个

数是（）

C.7个D.8个

【答案】C

【分析】要使aABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB,②若BC=BA,③若CA=

CB）讨论，通过画图就可解决问题.

【详解】解：如图：

①若AC=AB,则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；

②若BC=BA,则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；

③若CA=CB,则点C在AB的垂直平分线上，

VA（0,3）,B（4,3）,

；.AB〃x轴，

•••AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点.

综上所述：符合条件的点C的个数有7个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识,

还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键.

6.（2020•苏州市吴江区盛泽第二中学）往直径为52cw的圆柱形容器内装入一些水以后,

截面如图所示，若水面宽AB=48a〃，则水的最大深度为（）

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

【答案】c

【分析】过点。作⑺于〃，交。。于£,连接面，根据垂径定理即可求得的长，又

由。。的直径为52cm,求得的的长，然后根据勾股定理，即可求得切的长，进而求得油

的最大深度。E的长.

【详解】解：过点。作即，四于。，交。。于£,连接的，

由垂径定理得：AD=-AB=-x4S=24cm,

22

•；。0的直径为52ca,

OA=OE=26cm,

在RfAAOD中，由勾股定理得：OD=JOT—AD2=526,—24?=1Ocm，

DE=OE-OD=26-10=16cm,

.•.汕的最大深度为16c〃?，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识.此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法,

构造直角三角形，利用勾股定理解决.

7.(2020•江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考)如图，在平面直角坐标系中，已

知点A(0,1)、B(0,3)、C(0,-1)、D(4,4),点P为平面内一点且满足PC_LPB,则线段

PD的最大值为()

A.10B.8C.7D.9

【答案】C

【分析】根据点尸为平面内一点且满足得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，半

径是2的圆，可得当线段PO过圆心时，尸。的值最大，据此求解即可.

【详解】解：YA，B,C三点的坐标为：(0,1),(0,3),(0,-1),

则有：A8=AC=2,

又•••点P为平面内一点且满足PCLPB,则点P的运动轨迹是以点A为圆心，半径是2的圆，

如图示，当线段过圆心时，的值最大，

过。点作轴，交x轴于点尸，过A点作尸，交£)尸于点E,

点的坐标是（4,4）,A点的坐标是（0,1）,

/.A£=4,DE=3,

则：AD=5

PD=AI）+AP=5+2=1,

故选：c.

【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知

识点，熟悉相关性质是解题的关键.

二、填空题

8.（2020•射阳县第二初级中学）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆

是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径.正确的是填序

号.

【答案】①

【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：直径是弦，但弦不是直径，故①正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心

圆，故②错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆

的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有•①.

故答案为：①

【点睛】本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大.

9.（2020•江苏苏州市•苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，以点P（3,3）

为圆心，5为半径作圆，则该圆与x轴分别交于点AB,则三角形E48的面积为.

【答案】12

【分析】过P点作PH_LAB于H点，根据垂径定理可知：HA=HB,根据勾股定理求出HB,即

可求解.

【详解】解：过P点作PHLAB于H点，如下图所示：

根据垂径定理可知：HA=HB,

且尸（3,3）,；.PH=3,

HB=《PB二PH。=152-32=4,

；.AB=2HB=8,

/.5,„.„=-ABxP//=1x8x3=12,

no22

故答案为：12.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平面直角坐标系等相关知识点，属于基础题，熟

练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键.

10.（2021•江苏泰州市•）如图，。。的直径AB=26,弦CD_LAB,垂足为E,OE:BE=5:8,

则C。的长为

【答案】24

【分析】连接OC,先根据OE:5E=5:8求出OE的长，再在m/XCOE中，利用勾股定理可

得CE的长，然后利用垂径定理即可得.

【详解】解：如图，连接OC，

•.•”＞的直径43=26,

:.OB=OC=-AB=13,

2

-.■OE:BE=5:8,OE+BE=OB=\3,

:.OE=-^—OB=5,

5+8

■：CDVAB,

:.CD=2CE=2QOC,-OE2=2x12=24，

故答案为：24.

【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键.

11.（2021•江苏盐城市•景山中学八年级期末）如图，。。的半径是2,48是。。的弦，P

是弦4?上的动点，且1W0W2,则弦4?所对的圆心角的度数是.

【答案】120°

【分析】作0DL\B,由1W的2,证得求出NOAB=NOB4=30。，根据三角

形内角和定理求出答案即可.

【详解】

解：作0DJ_AB,

•.•〃是弦45上的动点，且1W际2,

.•.0D=l,

•••。。的半径是2,

OD=-OA,

2

V0A=0B,

ZOAB=ZOBA=3>Q°,

，弦四所对的圆心角Z4OB=120°,

故答案为：120。.

【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一半的性质，圆的半径相等的性质，等腰二角

形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的

关键.

12.（2020•扬州市江都区国际学校八年级期中）如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是

一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为10cm,

则徽章内的菱形的边长为cm.

【答案】5

【分析】连接圆心和矩形邻边的两个中点，易得一个矩形，那么菱形的边长为圆的半径.

【详解】如图，连接圆心和矩形邻边的两个中点，

根据垂径定理，可得过圆心的这两条线段，分别垂直于矩形的两边，则组成的四边形是矩形,

因为矩形的对角线相等，

所以徽章内的菱形的边长等于半径的长，即5cm.

故答案为：5.

【点睛】此题主要考查垂径定理、矩形的判定和性质等知识点，难点是作出辅助线，构造出

矩形.

13.（2020•苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB为。。的直径，弦COA3于点H,

若AB=10,8=8,则如的长度为.

【答案】3

【分析】连接0C,由垂径定理可求出CH的长度，在Rt^OCH中，根据CH和。。的半径，即

可由勾股定理求出0H的长.

【详解】连接0C,

由勾股定理，得：0H=yjoC2-CH2=752-42=3；

即线段0H的长为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考

查了勾股定理.

14.（2020•苏州市吴江区盛泽第二中学）已知。。的半径为13优，弦的长为10cm则

圆心。到4?的距离为cm.

【答案】12

【分析】如图，作OCLAB于C,连接0A,根据垂径定理得到AC=BC=《AB=5,然后利用勾股

定理计算0C的长即可.

【详解】解：如图，作OCLAB于C,连接0A,

贝I」AC=BC=^-AB=5,

在Rt/XOAC中，0C=7132-52=12.

所以圆心0到AB的距离为12cm.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

15.（2017•江苏盐城市•东台市实验中学八年级月考）如图，在aABC中，NC=90°,AC=4,

BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动.在

运动过程中，点B到原点的最大距离是_

【答案】2+2收

试题解析：如图，取CA的中点D,连接OD、BD,

姝B

Ax

由勾股定理得，1»=后”=20，

所以，点B到原点的最大距离是2+2夜.

16.（2019•沐阳县修远中学八年级期末）已知以点C（a,b）为圆心，半径为r的圆的标

准方程为（x—a）2+（y-/,）2=式例如：以4（2,3）为圆心，半径为2的圆的标准方程

为（£-2）2+（y-3）2=4,则以原点为圆心，过点。（1,0）的圆的标准方程为一.

【答案】*+了=1

【详解】因为原点为圆心,过点夕（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆，则标准方程为：（x

-0）2+（y-0）2=1,即f+/=l,故答案为：^+/=1.

17.（2019•江苏扬州市•八年级期中）如图，在ZiABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,P

是直线AB上的动点（不与点B重合），将4BCP沿CP所在的直线翻折，得到△BCP,连接

BA,BA长度的最小值是m,BA长度的最大值是n,则m+n的值等于.

【答案】16

【分析】先判断出8/长度的最大值与B'A长度的最小值相应的位置，然后进一步计算即可.

【详解】

如图，以C点为圆心，BC长为半径画圆，交AC于N点，延长AC交圆于M点，

,••点P是直线AB上.的动点，^BCP沿CP所在的直线翻折得到△B'CP,

...点B落在以点C为圆心，BC为半径的圆上，

；.CM=CN=BC=6,

•••圆外一点到圆上的点的距离最大和最小的点是圆外一点过圆心的直线与圆的交点，

二4长度的最小值m=AN=AC-CN=8-6=2,

且B'A长度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14,

.'.m+n=16,

所以答案为16.

【点睛】本题主要考查了三角形动点问题与圆的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

18.(2021•江苏八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，A(8,O),8(0,6),以点A为圆

心，AB长为半径画弧，交》轴的负半轴于点C,则点C的坐标为.

【答案】(一2,0)

【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标.

【详解】解：：A(8,0),B(0,6),

.♦.0A=8,OB=6,

AB=VOA2+OB2=V82+62=10-

•,.AC=AB=10,

二点C的横坐标为：8-10=-2,纵坐标为：0,

.•.点C的坐标为（-2,0）,

故答案为（-2,0）.

【点睛】本题考查了勾股定理、同圆半径相等和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是

求出0C的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

19.（2021•江苏盐城市•）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12,AD=5,点P为DC边上

的动点（点P不与点D,C重合，将纸片沿AP折叠，则CD'的最小值为.

【答案】8

【分析】先分析出点小的运动轨迹是以A为圆心，5为半径的圆弧，要求C。'的最小值，只

要求出点C到圆心的距禽再减去半径即可.

【详解】解：•••折叠，

AD=AD=5,

•••点以的运动轨迹就是以A为圆心，5为半径的圆弧，

VAB=n,AD=5,

由勾股定理得AC=13,

••.C%=AC-AO=13-5=8・

故答案是：8.

【点睛】本题考查矩形与折叠，线段最值的求解，解题的关键是分析出动点的轨迹，再根据

点到圆上一点最短距离的求解方法进行求解.

三、解答题

20.（2020•苏州市吴江区盛泽第二中学）己知四边形被力为菱形，点反F、G、〃分别为

各边中点，判断反F、G、〃四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明

四点共圆；如果不在，说明理由.

B

【答案】点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点0为圆心的同一个圆上，证明见解析.

【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、

F、G、II到。点距离都等于定长即可.

【详解】解：如图，

连接AC,BD相交于点0,连接0E,OF,0G,0H,

•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=AD=CD=BC,AC±BD,

•点E是AB的中点，

.".OE=yAB,

同理：OF=1BC,OG=|CD,OH=yAI）,

.•.OE=OF=OG=OH,

...点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点。为圆心的同一个圆上.

8

【点睛】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质,

熟练掌握其性质是解题的关键.

21.（2020•苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，已知已ACB=130°,NBAC=20。，

BC=2,以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D,求弦BD的长

【答案】

【分析】作CE±AB于E,在RtABCE中利用30度性质即可求出BE,再根据垂径定理可以求

出BD.

VZB=1800-ZA-ZACB

=180°-20°-130°

=30°,

在Rt^BCE中，

,/ZCEB=90°,NB=30°,BC=2,

.•.CE=^-BC=1,BE=8CE=6，

VCE1BD,

I)E=EB,

.•.BD=2EB=26.

【点睛】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅

助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型.

22.(2020•苏州市吴江区盛泽第二中学)如图，也是。。的直径，弦CD1AB,垂足为£

如果仍=10,0)=8,求线段46的长.

【答案】2

【分析】连接0C,利用直径AB=10,则0C=0A=5,再由CD±AB,根据垂径定理得CE=I)E=1CD=4,

然后利用勾股定理计算出0E,再利用AE=OA-OE进行计算即可.

【详解】连接OC,如图，

；AB是。0的直径,AB=10,

/.0C=0A=5,

VCD1AB,

.*.CE=DE=yCD=yX8=4,

在Rt^OCE中,0C=5,CE=4,

.*.0E=7OC2-CE2=3,

.\AE=OA-0E=5-3=2.

B

【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是关键.

23.(2019•江苏扬州市•八年级期中)(1)发现：如图1,点A为一动点，点B和点C为

两个定点，且BC=a,AB=b.(a>b)

填空：当点A位于时，线段AC的长取得最小值，且最小值为(用含a,b的式

子表示)

(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1,如图2所示，分别以AB,AC为边，

作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最小值.

③如图3所示，分别以AB,AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG,连接CD,BG.图中线段

CD,BG的关系是,线段BG的最大值是.

【答案】(1)线段BC上，a-b；(2)①BE=CD,证明见解析；②2；③相等且垂直，&+3.

【分析】(1)根据点A为一动点，且BC=a,AB=b,可得当点A位于线段CB上时，线段AC

的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b；

(2)①根据等边三角形ABD和等边三角形ACE,可得ACAD<AEAB(SAS),根据全等三角

形的性质可得CD=BE；

②BE的最小值即CD的最小值，当D在线段BC上时最小；

③当D点在CB的延长线上时，BG取得最大值.

【详解】(1)如图1,,•,点A为一动点,且BC=a,AB=b,

当点A位于线段CB上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b.

故答案为在线段CB上，a-b；

(2)①CD=BE.

理由：如图2,•；等边三角形ABD和等边三角形ACE,

.,.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NCAbNEAB,

在ACAD和aEAB中，