物理竞赛电磁学

关于物理竞赛电磁学第1页，共74页，2023年，2月20日，星期五电磁学综述（经典）电磁学的基本规律——麦克斯韦方程组第2页，共74页，2023年，2月20日，星期五电磁场理论的深刻对称性——电磁对偶磁单极？平行偶极板和长直螺线管的对偶电容和电感的对偶……第3页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0,R/2)，B点的坐标为(3R/2,0)，则电势差UAB为——。ABxyoRQ为整个带电球面的电荷由对称性此题也可从电场的角度考虑C第4页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正三角形的重心）的电势分别为UP和

UQ。若撤去BC棒，则P，Q两点的电势为U´P=——，

U´Q=——。ABCPQ解：设AB,BC,CA三棒对P点的电势及AC对Q点的电势皆为U1AB,BC棒对Q点的电势皆为U2撤去BC棒第5页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度（>0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为1与2的电介质，如图。求：1）板内外的电场强度2）A,B两点的电势差b12BA解：设E=0的平面MN距左侧面为d1,距右侧面为d2.d1d2.据对称性,E垂直MN指向两侧1)求D,Ex第6页，共74页，2023年，2月20日，星期五b12BA第7页，共74页，2023年，2月20日，星期五b12BA第8页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为0，现在导体板两侧分别充以介电常数1与2（

1

2）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。12解：充介质后导体两侧电荷重新分布，设自由电荷面密度分别为01和02第9页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：在两平行无限大平面内是电荷体密度>0的均匀带电空间，如图示有一质量为m，电量为q(<0)的点电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是多少？d>0ooq<0xq以oo为中心，在两平面内做简谐振动第10页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对介电常数为r的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电小球P恰好能处于静止状态，现将电容器中的固态介质块抽出，稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加速度a的方向和大小。P解：P处于平衡状态，则其带负电由于始终与电源相连，U一定UEFa第11页，共74页，2023年，2月20日，星期五方向向下第12页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：如图，板间距为2d的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为r的固态电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球P，电容器充电后P恰好处于平衡位置，拆去充电电源，将电介质快速抽出，略去静电平衡经历的时间，不计带电小球P对电容器极板电荷分布的影响，则P将经t=—时间与电容器的一个极板相碰。.

P解：拆去电源后，将介质抽出，过程中总Q不变，分布变设：小球m,q,极板S,Q,场强E0,E场强变化，P受力变化，关键求E第13页，共74页，2023年，2月20日，星期五第14页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为A,A,dA,

B,B,dB;且dA+dB=d,d为平板电容器的两块极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源上（与介质A接触的极板接电源正极），设极板面积为S,忽略边缘效应，试求稳定时

（1）电容器所损耗的功率P；

（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB；

（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束。AB+_第15页，共74页，2023年，2月20日，星期五（2）电介质A和B中的电场能量WA和

WB稳定后电介质A和B中的电流密度相等第16页，共74页，2023年，2月20日，星期五（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束AB+_第17页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间充满均匀各向同性的线性介质，其相对介电常量为r.当电极带电后，其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为，t=0时，内外电极上电量分别为±Q0,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及两极间与球心相距为r的任一点处的传导电流密度j(r,t).因电流沿径向流动，总电阻可看成无数多薄球壳的串联第18页，共74页，2023年，2月20日，星期五第19页，共74页，2023年，2月20日，星期五一、点电荷系的相互作用能（电势能）相互作用能W互：把各点电荷由现在位置分散至相距无穷远的过程中电场力作的功。两个点电荷：

同理：写成对称形式：电荷系的静电能第20页，共74页，2023年，2月20日，星期五三个点电荷：

推广至一般点电荷系：Ui：除qi外，其余点电荷在qi所在处的电势。第21页，共74页，2023年，2月20日，星期五二、连续带电体的静电能（自能）静电能W：把电荷无限分割并分散到相距无穷远时，电场力作的功。只有一个带电体：多个带电体：总静电能：第22页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷，它们的电量相间地为Q或–Q.1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处，其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa1）Q，-Q所在处的电势第23页，共74页，2023年，2月20日，星期五2)外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa余下四个点电荷系统的电势能无穷远处一对电荷间的电势能第24页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流I,求半圆柱轴线（原圆柱体的中心轴线）处的磁感应强度B.1)选取电流元rr+dr,ddBXy2)另选电流元如图第25页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一半径为a的导体球，以恒定速率v运动，球面上均匀分布着电荷Q,设v《c（真空光速），求:导体内外的磁场分布。.P解：运动电荷的磁场任选一点P，求P点磁场导体球上任选一dq到P点的矢径V第26页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：设在讨论的空间范围内有均匀磁场B，在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细管MN，管的M端内有一质量为m,带电量为q>0的小球P。开始时P相对管静止，而后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀速度u运动，那么，小球P从N端离开管后，在磁场中做圆周运动的半径为R=——。（不考虑重力及各种阻力）PMNhu解：小球受洛仑兹力作用如图第27页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为Bc，位移电流产生的磁场为Bd，则++++++++--------++++++++--------P.O´O第28页，共74页，2023年，2月20日，星期五++++++++--------第29页，共74页，2023年，2月20日，星期五UTxMBd

例：被电势差加速的电子从电子枪口T发射出来，其初速度指向x方向。为使电子束能击中目标M点，（直线TM与x轴夹角为），在电子枪外空间加一均匀磁场B,其方向与TM平行，如图。已知从T到M的距离为d，电子质量为m，带电量为e.为使电子恰能击中M点，应使磁感应强度B=？解：电子被加速后第30页，共74页，2023年，2月20日，星期五第31页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：原点O（0,0）处有一带电粒子源，以同一速率v沿xy平面内的各个不同方向（1800）发射质量为m,电量为q（>0）的带电粒子，试设计一方向垂直于xy平面，大小为B的均匀磁场区域，使由O发射的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿x轴正方向运动。（写出磁场边界线方程，并画出边界线）xyO设：磁场方向向下且无边界任一粒子束，v,其运动轨迹vo过o作平行于y轴的直线它与圆周交于P点P粒子在P点时，速度恰沿x方向，若在此之后粒子不受磁力，则其将沿x轴正方向运动。第32页，共74页，2023年，2月20日，星期五xyOvoP即P点应在磁场的边界上不同角发出的粒子，其P点坐标均满足此方程所有P点的轨迹方程，也是磁场的边界方程B第33页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：半径分别为R1与R2的两同心均匀带电半球面相对放置（如图），两半球面上的电荷密度1与2满足关系1R1=-2R21）试证明小球面所对的圆截面S为一等势面。2）求等势面S上的电势值。sR1R2oE左E右1）均匀带电球面内场强为零因此场强必定都垂直于截面2）S上任一点的电势U=U0第34页，共74页，2023年，2月20日，星期五法拉第电磁感应定律楞次定律闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。感应电动势的两种基本形式：动生电动势&感生电动势动生感生第35页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为的水银流过矩形管，流速为v0.设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为B。求加磁场后水银的流速vab解：设加磁场后水银的流速v水银中产生感生电动势第36页，共74页，2023年，2月20日，星期五第37页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与x,y轴平行，边长分别为a和b，以初速v0沿x正方向运动，当t=0时进入磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向如图，充满x>0的空间，设线圈的自感为L，质量为m，并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。bayxv0解：线框进入磁场后第38页，共74页，2023年，2月20日，星期五谐振动二阶微分方程第39页，共74页，2023年，2月20日，星期五1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流出节点的电流强度之和

——节点电流定律(基尔霍夫第一定律)2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。——回路电压定律(基尔霍夫第二定律)欧姆定律的微分形式直流电路第40页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感应强度为B的均匀磁场与图面垂直，一边长为a的正方形导线框在正交直导线上以匀速v滑动，滑动时导线框的A,B两点始终与水平直导线接触，竖直直导线则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电阻值均为r，试问：1）导线框的C,D两点移至竖直导线上时，流过竖直导线CD段的感应电流是多少？2）此时导线框所受的总安培力为多大？aABCDaABCDCD2ar2arI左I右I第41页，共74页，2023年，2月20日，星期五CD2ar2arI左I右I2）导线框所受磁场力等于CD段导线所受的磁场力（也可根据I左，I右具体计算各边受力）第42页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间作线性变化B=kt(k=225/T/s).用分别为30与60的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处M,N点用30的直电阻丝MON相连。求：1）电势差UMN;2)在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电阻丝MON上电流为零。MN303060KO解：总的电动势第43页，共74页，2023年，2月20日，星期五MN303060KO306030MNR1)K断开，电流方向如图2)K合上，令I2

=0,I4如图第44页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：10根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，试求：A，B两点间的等效电阻RAB.ARRRRRRRRRRBABCDFE由对称性知AC与EB，AF与DB电流相同III1I2设：总电流为I,由节点电流关系得其他电流I-I1I2-I1I-I2I1I-I1I-I2-I1由对称性I-I2=I2由AC间电压2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)第45页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1，则A,B两端点间的电阻为ABCDOABCDO据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两电路的电阻相同第46页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其分界面，半圆环电阻分别为R1和R2，且R1>R2,，如图，当B增大时，求:Ua><=UbabR1

R2abR1R2第47页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间,环的底部受两个固定挡的限制,使其不能滑动,现环受一扰动偏离竖直面0.1弧度,并开始倒下.已知B=0.5T,环半径r1=4cm,截面半径r2=1mm,金的电导率=4.0107/·m,设环重F=0.075N,并可以认为环倒下的过程中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.BSN第48页，共74页，2023年，2月20日，星期五BSN第49页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L，回路总电阻为R，在OMN区域内为均匀磁场B，方向如图，已知OA边进入磁场时的角速度为，则此时导体回路内的电流i=___,因此导体回路所受的电磁阻力矩M=__.MNOABdlANOBVdF方向：OA第50页，共74页，2023年，2月20日，星期五由于自己线路中的电流的变化而在自己的线路中产生感应电流的现象叫自感现象，这样产生的感应电动势叫自感电动势。自感系数（简称自感）单位电流的变化对应的感应电动势

（普遍定义）第51页，共74页，2023年，2月20日，星期五L的值取决于回路的大小、形状、线圈匝数以及周围磁介质的分布。单位：亨利（H）di/dt

相同，L越大,εL越大，回路中电流越不容易改变，L→回路本身的“电磁惯性”。自感电动势总是阻碍回路本身电流的变化。两个载流回路中电流发生变化时相互在对方回路中激起感生电动势的的现象叫互感现象，这样产生的感应电动势叫互感电动势。互感系数第52页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：一半径为a的小圆线圈，电阻为R，开始时与一个半径为b（b>>a）的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流I，使小线圈绕其直径以匀角速转动如图（线圈的自感忽略）。求：1）小线圈中的电流；2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩3）大线圈中的感应电动势Iab解：1)b>>a，小线圈内的磁场近似均匀第53页，共74页，2023年，2月20日，星期五2）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动3）当小线圈I变化时，大线圈中有互感电动势通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数M第54页，共74页，2023年，2月20日，星期五o..o´ABd解：整个磁场可视为圆柱O内的均匀磁场B和空腔内–B的叠加空腔内的感应电场由这两部分产生r1E1E2r2第55页，共74页，2023年，2月20日，星期五r1E1E2r2OO´yxOO´

EL第56页，共74页，2023年，2月20日，星期五例：半径为R两板相距为d的平行板电容器，从轴线接入圆频率为的交流电，板间的电场E与磁场H的相位差为——，从电容器两板间流入的电磁场平均能流为——。（忽略边缘效应）0Rd第57页，共74页，2023年，