人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第五章第1节数列的概念

第五章数列（选择性必修第二册）

盘

第1节数列的概念

整课程标准要求

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公

式法）.

2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

6归激吻夯实四基

必备知识•课前回顾

［选知识梳理

1.数列的概念及分类

（1）定义

数

按照确定的顺序排列的一列数

列

数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数

叫做这个数列的第1项,常用符号」表示,第二个位置上的数叫

项

做这个数列的第2项,用a?表示……第n个位置上的数叫做这个

数列的第n项,用a0表示.其中第1项也叫做首项

表

aba2,a3,•••,an,•••,简记为{an}

示

⑵分类

①项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

②从第2项起,每一项都大王它的前一项的数列叫做递增数列；从第2

项起,每一项都小壬它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项都

相笠的数列叫做常数列.

(3)数列与函数

数列｛4｝是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…,n｝)到实数集R的

函数，其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为

4=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n£N*)有意义,那么

f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列｛f(n)｝.

(4)数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.

2.数列的通项公式

如果数列｛aj的第n项a”与它的序号旦之间的对应关系可以用一个式

子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数

列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.

3.数列的递推公式与前n项和公式

递

推一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表

公示,这个式子叫做这个数列的递推公式

式

刖n

数列｛a“｝从第1项起到第立项止的各项之和,称为数列｛aj的前

项

n项和，记作Sn,即Sn=ai+a?+…+a”

和

数列｛aj的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一

个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n项和公式

4.数列中a。与Sn的关系

若数列｛aj的前n项和为出,

，九=1,

-SnT，MN2.

点自双

1.数列｛an｝的前几项为a3,y,8,y,…,则此数列的通项公式可能是

（A）

解析：数列为;,・…，其分母为2,分子是首项为1,公差为5

的等差数列，故通项公式为a“二誓.故选A.

2.在数歹！J｛aJ中，a】=l,an=l+工（n，2）,贝ija”等于（B）

anl

A.-B.-C.-D.-

2345

22

3.已知数列｛aj的前n项和为S,“若Sn=n,则an=;若Sn=n+1,

则an=.

2

解析：若Sn=n,则当n=l时，ai=Si=l,

22

当n12时,an=S,-Sn-i=n-(n-1)=2n-1.

当n=l时满足上式,所以an=2n-l.

2

若Sn=n+1,当n=l时,ai=Sj=2.

当n22时，

22

an=Sn-Sn-i=n+l-[(n-1)+l]=2n-l,

当n=l时不满足上式，

故国=｛2?1-1,九之2,n£N*.

答案：2日霹；工2

2

4.已知an=n+入n,且对于任意的n£N*,数列｛aj是递增数列，则实数

入的取值范围是

解析：因为｛4｝是递增数列，

所以对任意的n£N*,都有an+1>an,

即(n+1)2+入(n+1)>n2+入n,

整理,得2n+l+X>0,即X>-(2n+l).(*)

因为n》l,

所以-(2n+l)W-3,要使不等式(*)恒成立，只需人>-3.

答案：(-3,+8)

2

5.在数列｛aj中，an=-n+6n+7,当其前n项和S“取最大值

时,n=.

解析：由题可知n£N*,令an=-n'+6n+7^0,得1WnW7(n£N*),

所以该数列的第7项为零,且从第8项开始aWO,则S6=S,且最大.

答案：6或7

美小考点气窠四鬟

关键能力•课堂突破

阂考点T由围与Sn的关系求通项公式

1.记Sn为数列｛aj的前n项和.若Sn=2an+1,贝!J$6=.

解析：因为Sn=2an+1,

所以当n=l时,ai=2ai+l,解得a产T,

当n22时,an=Sn-Sn-i=2an+l-(2an-i+l),

=

所以an2an-i,

所以数列｛aj是以T为首项,2为公比的等比数歹U,

nl

所以an=-2,

1X(126)

所以S6=^?=-63.

1-2

答案:-63

2.已知数列｛aj满足ai+2a2+3a3+--•+nan=2",则an=

解析：当n=l时，由已知,可得a,=2'=2,

因为a1+2az+3a3+…+nan=2",①

1

故ai+2a2+3a3+--,+(n-1)an-i=2"(n22),②

nn1n

由①-②,得nan=2-2-=2",

所以a=-—(nN2).

nn

显然当n=l时不满足上式,

(2,n=1,

所以an=12”-i

I——，n>2.

'n

(2,n=1,

答案:如】

'(—n,n>2

3.设Sn是数列｛aj的刖n项和,且Hi——1,an+i—SnSn+i,则Sn—.

解析:因为an+尸Sn+Hn,现+尸SS+1,

—

所以Sn+1Sn—SnSn+1

因为SnWO,

所以工一二一二1,gp---=-1.

%sn+1sn+1sn

又2=7，

Si

所以数列｛《｝是首项为T,公差为-1的等差数列.

所以^T+ST)X(-l)=-n,

所以S=--.

nn

答案:二

n

一题后悟通

已知S0求a0的常用方法是利用

a0=L°L>7一定要检验a1的情况.

(5n-3n_1,n>z,

由考点二由递推关系求通项公式

口角度一累加法——形如an+1-an=f(n),求an

(例1T)设数歹U｛aj满足ai=l,且an+i-an=n+l(nGN*),则数列｛aj的通项

公式为

解析：由题意得a2-a,=2,a；-a2=3,•••,

所以a,,-at,-i=n(n».

以上各式相加，得

(n-1)(2+n)

&］一a尸2+3+・・・+n=

2

n2+n-2

2

因为a1=l,

2

所以史(ne2).

因为当n=l时也满足此式，

所以杰与二

答案：

卜解题策略I

当出现为+】=ar,+f(n)时，用累加法求解.即利用

a„=(atl-a„-i)+(a『「a『2)+…+(a2-ai)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f⑴+a】求

解.

口角度二累乘法——形如％M(n),求a“

an

(例1二2)设数歹U{aj中，a,=2,ai=-^-a,贝lja,=.

n+nn+r1--------

解析:因为a+i---a,3]-2,

nn+ln

所以&H0,

所以为±1=/_.

ann+l

所以当n22时，

a=3,咄•....也•也・ai

an1an2an3a2al

-_

ZZ-n--l•-n-~2-•-n--3•••••l一、X,c/

nn-ln-22

__2

n

a[=2也符合上式，

则a=-.

nn

答案3

n

■解题策略I

当出现%±l=f(n)时，用累乘法求解.即利用

«n

ak上.虹•虹....也•也.ai求解.

an1an2an3a2al

口角度三构造等差法一一形如4+尸鼻&B,C为常数)，求a„

Ban+C

♦O已知数列瓜｝中，a,=2,4+L卫^(n£N*),则数列瓜｝的通项公式

厮+2

an=.

解析：因为ati=2a?l,ai=2,

n«n+2

所以a”力。，

所以」-2号,即」--工总

tt

an+lan/n+lan乙

又a尸2,则24

2

所以数列｛2｝是以;为首项,;为公差的等差数列.

CLji22

所以工=L+(nT)X；吟

Q]22

所以a=~.

nn

答案3

n

,解题策略I

形如aa尸鼻(A,B,C为常数)，将其变形为一一=5--+1

Ban+Can+iAanA

⑴若A=C,则｛工｝是等差数列，且公差为W可直接用公式求通项公式.

anA

⑵若AWC,则采用待定系数法,构造新数列求解.

。角度四构造等比法---形如an+i=Aa„+B(A#：0且AW1,BW0),求an

(例1-4)已知数列瓜｝满足a,=l,an+i=3an+2(n£N*),则数列｛aj的通项公

式为.

解析：因为an+i=3an+2,

所以an+,+l=3(an+l),

所以&哼=3,

即+1

所以数列E+1｝为等比数列，公比q=3,

又ai+l=2,

所以4+1=2・3二

所以a“=2-3nl-l.

答案：a0=2•3n-1-l

［解题策喳I

对于形如an+i=Aa„+B(A7^0且AW1,B关0),通常采用待定系数法将其转

化为anH+x=A(a„+x),先求出x,再借助等比数列｛an+x｝求解.

［针对训练］

根据下列条件,求数列｛4｝的通项公式.

1

⑴a1=2,ai=a+ln(l+-);

n+nn

(2)ai=",a=-Hn-i(n^2);

2nn+1

n+1

(3)a尸*an+1^an+(1);

(4)a1二l,an二(干22).

解：⑴因为a0+尸a0+ln(l+与，

n

所以an+「an=］

n

所以a_a-i-ln-^7(n^2),

nnn-l

a”「a“-2=ln］；，…，a2-a1=ln-(n^2).

所以a,,-ai=:ln—+ln—+,,•+1n-=lnn(n22),

n-ln~21

即an=lnn+2(n22).

又3］-2,

所以a。=Inn+2.

n

(2)因为an~^ari-i(n22),

n+l

所以当ne2时-，区=二，

an-in+l

所以a，…，9q,幺q,

Zl+1CI24a13

以上n-1个式子相乘得区•生1.........也・也=巴=.丘.....

an-ian-2dzd\n+ln43

即四=」_.1x2X1,

n+ln

所以an=~r~r-

n(n+l)

当n=l时,ai=—=^,也与已知二;相符,

1x222

所以数列｛④｝的通项公式为an=-^—.

n(n+l)

⑶在布亭,+《严两边分别乘以2吗得2*a1|(2"・an)+l.

n

令bn=2•an,则bn+1=|bn+l,

根据待定系数法,得bn+1-3=|(b-3).

所以数列瓜-3｝是首项为b-3=2X^-3=-^公比为|的等比数列.

所以b「3=T・(|严，

即止3-2(尹.

于是,a卷=36-2(歹.

⑷取倒数,得里也三耳3+二一(n22).

ananlanl

所以数列｛-｝是等差数列，工J+3(n-1)=1+3(n-1)=a“Q.

anana13n-2

灸考点三数列的性质及其应用

口角度一数列的周期性

CMO数列｛aj满足anH=-^—,a8=2,则a,=.

lan----------------

解析：由a*--,得a,,=l—^―,

l-«n«n+l

因为a8=2,

所以a7=l-^=p

&6=1---=-l,=2,,,,,

a7a6

所以瓜｝是以3为周期的数列,

所以ai=a7=-.

答案，

.解题策略I

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性

求值.

口角度二数列的单调性

(SH)已知数列｛aj的通项公式为a“=若,若数列｛a,,｝为递减数列，则

实数k的取值范围为()

A.⑶+8)B.(2,+8)

C.(1,+8)D.(0,+°°)

解析：因为/「4=琮辛-答=刍鬻,由数列｛aj为递减数列知,对任

3fe

意n£N*,anH-a„=2^1<0,

所以k>3-3n对任意n£N*恒成立，

所以k£(0,+8).故选D.

解题策略:

解决数列单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法,根据a“「an的符号判断数列｛aj是递增数列、递减

数列还是常数列.

⑵用作商比较法,根据皿(a)0或aWO)与1的大小关系进行判断.

an

⑶结合相应函数的图象直观判断.

口角度三求数列中的最大(小)项

n

(@O已知数列｛aj的通项公式为an=n(|),则数列｛an｝中的最大项为

()

A.-B.-C.—D,—

9381243

解析:…「(n+l)(冢"-吗专・(I)、

当n<2时，an+i-an>0,即an+i>an;

—==

当n=2时，an+ian0,即an+ian；

当n>2时，an+i-an<0,即an+i<an.

以ai〈a2=a3>a4>a5>,・,>an,

所以数列｛aj中的最大项为a2或a3,

2

且a2=a3=2X(|)=1.故选A.

求数列最大项或最小项的方法

(1)可以利用不等式组(n22)找到数列的最大项.

(2)利用不等式组巴叱二。"(心2)找到数列的最小项.

&«n+l

［针对训练］

⑴若数列｛aj满足aN,am=当,则a2022的值为()

l-On

A.2B.-3C.--D.-

23

(2)已知数列｛a｝的通项公式为a=^-,则数列｛a｝中的最大项为

nnnz+90n

()

A.3V10B.19C.—D.—

1960

⑶已知等差数列｛aj的前n项和为S.(n£N*),且a„=2n+X,若数列

｛Sj(n27,n£N*)为递增数列,则实数人的取值范围为

解析：(1)因为ai=2,

l-«n

所以&2=——^=~3,

1-fll

Ij1111

同理可得a3=--,a4=-,a5=2,a6=-3,a7=--,aq…，可得an+4=an,

贝！J32022二@505X4+2=@2=-3.故选B.

(2)由题意得an=Ao,运用基本不等式得4或焉=焉,当且仅当

n+—n+—2V906V10

nn

r?=90时,等号成立,结合n£N*,可知a9=aio=最大.故选C.

19

(3)当n》7时,数列£“｝为递增数列,设Sn+1>Sn,即Sn+1-Sn=an+1>0,

所以a用=2(n+l)+入>0,则入>-2n-2.

又因为n27,

所以-2n-2WT6,即入>_16.

答案：⑴B(2)C(3)(-16,+oo)

息备选例题

11

CBD已知n£N*,给出4个表达式:①an=["为奇数，②％=上]二③

11,九为偶数，2

a=巨曹叫,④a»=|sin学，其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通

项公式的是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

解析:选A.

CBD已知数列｛aj满足a】=l,an=an-i+2n(n22),贝!Ja?等于()

A.53B.54C.55D.109

解析：由题意知,a2=ai+2X2,a3=a2+2X3,-,a7=a6+2X7,各式相加得

a7=a1+2X(2+3+4+…+7)=55.故选C.

n

CB©在数列瓜｝中，ai=l,an+1=2an-2,则新等于()

A.-15X216B.15X217

C.-16X216D.16X217

解析：因为an+i=2an-2",

所以第费I

所以数列既｝是等差数列,公差为弓首项为费

所以骈言(11)=等，

所以an=(2-n)•2自，

所以a产T5X22故选A.

2

CW3若数列｛aj的前n项和Sn=n-10n(n£N*),则数列｛naj中数值最

小的项是()

A.第2项B.第3项

C.第4项D.第5项

2

解析：因为Sn=n-10n,

所以当n22时,an=Sn-Sn-i=2n-ll;

当n=l时,ai=Si=-9也适合上式.

所以an=2n-ll(nGN*).

记f(n)=nan=n(2nT1)=2r?TIn,

此函数图象的对称轴为直线n=¥，但n£N*,

所以当n=3时,f(n)取最小值.

所以数列｛naj中数值最小的项是第3项.

故选B.

灵活方强密致提能

课时作业

@选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

由数列的前几项归纳通项

1,7

公式

%与Sn的关系4,8,916

数列的递推关系2,312

数列的性质5,614

综合问题10,11,13,1517,18

A级基础巩固练

1.若数列的前4项分别是则此数列的一个通项公式为

2345

(A)

(-i)n+1(-i)n

A.——B.

n+1n+1

(-l)n(-l)n-1

Lz•L)•

nn

n

2.若数歹U{aj满足a,=l,an.-an-l=2,则a。等于(A)

A.2n+n-2B.2n-1+n-l

C.2n+1+n-4D.2叫2n-2

n

解析：因为an+-an=2+l,

-=2-=3—=n

所以a?-ai=2'+l,a.3&22+1,&4&32+l,•,,,ana,n-i21+l(n22),

-:1,112n

以上各式相力U得anai=2+**+2'+(n-l)=^--+n~l=2+n-3.

1-2

n

所以an=2+n-2.

故选A.

3.已知数列{aj满足a】=l,an+产吗-2an+l(n£N*),则a2022等于(B)

A.1B.0

C.2022D.-2022

解析：因为ai=l,

222

所以a2=(ai-l)=0,a3=(a2-l)=l,a4=(a3-l)=0,•••,可知数列｛aj是以2

为周期的数列，所以a?022=a2=0.故选B.

4.已知数列｛aj的前n项和为Sn,也=2,S*2SnT(n£N*),贝!!仁等于

(B)

A.128B.256

C.512D.1024

解析：因为Sm=2S「l(n£N*),

n22时,Sn=2Sn「l,

=

所以anti2an.

n=1日寸，ai+a2=2a「1,Q,I—2,a,2=l-

所以数列｛4｝从第二项开始为等比数列，公比为2.

88

则a10=a2X2=lX2=256.

故选B.

5.(多选题)在数列｛4｝中,a.=(n+l)(，",则数列｛a0｝中的最大项可以

是(AB)

A.第6项B.第7项

C.第8项D.第9项

解析:假设为最大,则有优咤丁+1'

|((九+1)&)n>(n+2)(^)n+1,

卜九+1)6)n>n•(^)I,

f7

n+1>-(n+2),

所以八8

-(n+1)>n,

即6WnW7,

所以最大项为第6项和第7项.故选AB.

2

6.设数列｛aj的通项公式为an=n-bn,若数列｛aj是单调递增数列，则

实数b的取值范围是(C)

A.(-°°,-1]B.(-8,2]

C.(-0o,3)D.(-8,0

解析：因为数列｛aj是单调递增数列，

_

所以anHan=2n+1-b>0(n£N*),

所以b〈2n+l(neN),

所以b〈(2n+l)min=3,

即b〈3.故选C.

7.已知数列f,当斐，…,根据前3项给出的规律,实数对

246m-n10

(m,n)为.

解析：由数列的前3项的规律可知

(19

m=2—,

解得《3

故实数对(m,n)为号,|).

答案:号,|)

8.若数列｛an｝的前n项和Sn=3n-2n+l,则数列｛aj的通项公式

an=.

2

解析:当n=l时,ai=Si=3X1-2X1+1=2.当n》2时，

=22

an=Sn-Sn-i3n-2n+1-[3(n-1)-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=l时,

不满足上式.

故数歹U｛%｝的通项公式为

lon-5,n>z9.

冬案j2,n=1,

ra^,l6n-5,n>2

9.已知数列列J中,a】=l,前n项和Sn=^an.

⑴求a2,a3;

⑵求｛aj的通项公式.

解：(1)由52=/2得3(ai+a2)=4a2,

解得a2=3ai=3.

由53=/3得3(ai+az+a?)=5a3,

解得a3=|(ai+a2)=6.

(2)由题设知,当n22时，有a0=S「S”等a「等a-,

a+1

整n

得

理THn

二a_n

n

手an43

此

因1X

--

aan-an-1n-221

n-1n-2«2

曰(九+1)九n(n+l)

化间俗an二一二一•ai=---,

2x12

当n=l时,a,=l满足上式,

所以⑶｝的通项公式为a产生尹(n£N*).

B级综合运用练

10.数列｛Xn｝满足Xn+i=|xn-XnTI(n足2,n£N),Xi=l,x2=a(aeR,aT^o),

Xn+T=Xn,当T取最小值时一，该数列的前2021项和是(D)

A.673B.674

C.1347D.1348

解析:若T=l,则｛xj为常数列,

故X2=X1=1,此时X3=0Wxi,故T=1舍去.

若T=2,则x3=xi=l,

故|aT|=1,故a=2或a=0(舍去).

故X4=11-21=1,但x5=|IT|=0Wx3,故T=2舍去.

若T=3,贝ijx3=|a-11,x4=|a-|a-l||=Xi=l,x5=|1~|l-a||=x2=a,

若a》l,则|a-(aT)|=1,且)-(a-1)|=a,

整理得到12-a|=a,解得a=l.

若0<a<l,贝ij|a-(l-a)|=1,且11-(l-a)|=a,整理得到12a-11=1,无解.

又当a=l时，有x2=xi=l,x3=0,x4=l,x5=l,X6=0,

此时｛x0｝为周期为3的周期数列.

该数列的前2021项和为*^X2+1+1=1348.

故选D.

11.设数歹U｛aj中3|=&2=1,且满足a2n+l=3a2n-l与a2n+2-a2n+l=a2n,则数列｛a.n｝

的前12项的和为(C)

A.364B.728

C.907D.1635

解析：数列｛aj中ai=a2=l,且满足a2n+i=3a2n-b

贝！Ja3=3a1=3,a,5=3&3=9,a7=3a5=27,&9=33?=81,a“=3a9=243.

a2n+2-a2n+l=@22

所以a2n+2=H2n+l+a2n,

a.1=@3+己2=4,8^=35~^~34=13,H8=37~^36=40,3IO=3^9"^38=121,ai2=Hn~^aio=364,

所以数列｛an｝的前12项的和为1+1+3+4+9+13的7+40+81+121+243+

364=907.

故选C.

12.已知数列｛4｝满足皿③=2,a尸20,则血的最小值为(C)

nn

A.4V5B.4V5-1

C.8D.9

—=—=-=-=—

解析：由3n+ian2n知&2a,2X1,as&22X2,an&n-i2(n1),n22,

2

以上各式相加得an-ai=n-n,ne2,

2

所以an=n-n+20,n22,

当n=l时,a尸20符合上式，

所以佻=n+型-l,n£N*,

nn

所以当nW4时,血单调递减，当n15时,幺单调递增，

nn

因为手詈，

45

所以幺的最小值为？=?=8.故选C.

n45

13.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的

(如图)，其中0A1=A1A2=A2A3=-=A7A8=l,记OAbOA2,OA3,0A8的长度构

成的数列为｛aj(n£N*,nW8),则｛4｝的通项公式an=.

(n£N*,nW8)

解析：根据题意0A产AiA2=A2A3=f=A7A8=1,

所以咸=Wr+l(n22),且忧=1,

所以｛a分是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以嫌=n,an=Vn.

答案:诟

2

14.已知数列｛4｝的通项公式是an=n+kn+4.

(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a.有最小值?并求

出最小值；

⑵若对于n£N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.

解：(1)由n-5n+4<0,解得Kn<4.

因为n£N*,

所以n=2,3,

所以数列中有两项是负数，即为a2,a3.

22

因为an=n-5n+4=(n-|)-^,

由二次函数的性质，得当n=2或n=3时,a”有最小值，

其最小值为a2=a3=-2.

22

(2)由an+i>anKTW(n+1)+k(n+1)+4>n+kn+4,

整理得k>-2n-l,且对任意的n£N*恒成立，

所以ke(-3,+8),

所以实数k的取值范围为(-3,+8).

15.已知数列｛an｝中,ai=l,其前n项和为Sn,

且满足2Sn=(n+l)an(neN*).

⑴求数列｛an｝的通项公式；

n

(2)记bn=3-X成,若数列限｝为递增数歹U,求实数人的取值范围.

解：⑴因为2Sn=(n+l)an,

=

所以2Sn+i(n+2)an+i,

所以2an+i=(n+2)an+-(n+1)an,

即nan+i=(n+l)an,

所以为尸幺，

n+1n

所以血=也!=..=色=1,

nn-11

所以an=n(neN*).

⑵由⑴得,bn=3J人

=n+1-

bn+i-bn3A.(n+1)2-(3"-入r?)=2•3"-人(2n+l).

因为数列｛、｝为递增数列,

所以2•3-x(2n+l)>0,

n

即X<.2•3

2n+l

n

令盘=2•3

2n+l

m||Cn+i_2.31+i2TL+1_671+3

n>1.

'cn2n+32・3271+3

所以数列｛cj为递增数歹山

所以入＜C1=2,

即实数人的取值范围为(-8,2).

C级应用创新练

16.在数列｛x#中，X/W汕产,n21,设其前n项和为Sn,则下列命题

正确的是(D)

A.xw-x^lO(x2-xi)

B.9xi+xioWSioWxi+9xio

C.xW廿也

2

D.若XnH-Xn=-^-,贝1JSn>nX"l-""I"

n+12